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高中数学中点弦问题的解题方法

作者:高考题库网
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2020-09-17 22:23
tags:高中数学解题方法

高中数学复习计划-高中数学人教版选修2-1导学案

2020年9月17日发(作者:曾苏民)


高中数学中点弦问题的解题方法
会泽县茚旺高级中学 杨顺武

解析几何中与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为 圆锥
曲线的中点弦问题。“中点弦”问题是一类很典型、很重要的问题.
一、方法介绍(解圆锥曲线的中点弦问题的方法有):
第一种方法:联立消元法即联立直线和 圆锥曲线的方程,借助于
一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数
法 求解。
第二种方法:点差法即设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐
标为
A(x< br>1
,y
1
)

B(x
2
,y
2)
,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式
作差,得到一个与弦
AB
的中点和斜率有关的式子,
可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方
法为“点差法”。
第三种方法:导数法即如果以圆、椭圆等图形的中心为中心,按
比 例缩小图形,则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB中点M相切(如
下图)。此时缩小的曲线方程如?
x?a
?
?
?
x?b
?
?
?
tR
?

222

x
2
?
ta
?
2
?
y
2
?
tb
?
2
?1
两边对
x
求导,可发现并不改变原方程求导的结果。因此,利用导数
法 求中点弦的斜率,就是
y
?
x
在中点处的值。
二、题型示例
题型一
以定点为中点的弦所在直线的方程
x
2
y
2< br>??1
内一点
M(2,1)
引一条弦,使弦被
M
点平分,求这 条弦所在直线例1、过椭圆
164
的方程。
第 1 页 共 10 页

< p>
解法一:设直线与椭圆的交点为
A(x
1
,y
1
)
B(x
2
,y
2
)

?

M(2,1)

AB
的中点
?
x
1
?x
2
?4

y
1
?y
2
?2

?

A

B
两点在椭圆上,则
x
1
?4y
1
?16
x
2
?4y
2
?16

两式相减得
(x
1
?x
2
)?4(y
1
?y
2
)?0

于是
(x
1
?x
2
)(x
1
? x
2
)?4(y
1
?y
2
)(y
1
?y< br>2
)?0

2222
2222
?
y
1
?y
2
x?x41
??
12
????

x
1
?x
2
4(y
1
?y
2
)4?22
1 1
,故所求直线的方程为
y?1??(x?2)
,即
x?2y?4?0

22
法二:由题意知所求中点弦斜率一定存在,设为
k
,则该弦方程为
y?1?k
?
x?2
?


k
AB
??
?
y?1?k
?
x?2
?
?
2
消去
y

?
xy
2
?1
?
?
?164
例2.
已知双曲线方程,求以A(2,1)
为中点的双曲线的弦所在的直线 方程;(2)过点B(1,1),能否作直线
第 2 页 共 10 页


,使
与所给双曲线交于P、Q两点,且点B
是弦PQ的中点?这样的直线如果存在,求出它的方程; 如果不存在,说明理由。
解:对
第 3 页 共 10 页
两边求导,得


(1)以A(2,1)为中点的弦的斜率
所以所求中点弦所在直线方程为
第 4 页 共 10 页



(2)以B(1,1)为中点的弦的斜率
所以所求中点弦所在直线方程为
第 5 页 共 10 页



但与双曲线方程
第 6 页 共 10 页

联立消去y得
,无实根。因此直线


与双曲线无交点,所以满足条件的直线
不存在。
注意:(1)求出的方程只是满足了必要性,还必须验证其充分性,即所求直线
与 双曲线确实有两个交点。
例3.已知直线
x?y?2
与抛物线
y?4x交于A,B两点,那么线段AB的中点的坐标
为 .
2< br>?
x?y?2
2
解析:设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?< br>,由
?
2

y?4y?8?0
,从而
?
y? 4x
y
1
?y
2
?4,x
1
?x
2
?y
1
?y
2
?4?8
,因此,线段AB的中点的坐标为
?
4,2
?

例4.过圆
O:x?y?4
内一点
M
?
1,1
?
引一条弦,使弦被
M
平分,求这条弦所在的直 线
22
方程。
题型二 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
第 7 页 共 10 页


x
2
y
2
??1
,直线
l
过点P(1,1)交椭圆C于A、B两点,求AB中点M例5.已知椭圆C:
43< br>的轨迹方程。
分析:此题涉及到弦AB的中点坐标,且弦的斜率等于MP的斜率。故采用“点差法”。
解: 设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2< br>),
M(x,y)
,则
22
?
?
3x
1< br>?4y
1
?12
?
3(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)?4(y
1
?y
2
)( y
1
?y
2
)?0

?
2
2
?< br>?
3x?4y
2
?12
?3x?4y?
y
1
?y
2
y?1
?0?3x?4y??0?3x(x?1)?4y(y?1)?0

x
1
?x
2
x?1
∵点P在椭圆内部,直线
l
与椭圆恒有两个交点,∴点M的轨迹方程为:
3x(x?1)?4y(y?1)?0

题型三、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
x
2
y
2
? ?1
,试确定的
m
取值范围,使得对于直线
y?4x?m
,椭圆上总 例6.已知椭圆
43
有不同的两点关于该直线对称。
解:设
P
1< br>(x
1
,y
1
)

P
2
(x
2
,y
2
)
为椭圆上关于直线
y?4x?m
的对称两点,
P(x,y)
为弦
P
1
P
2
的中点,则
3 x
1
?4y
1
?12
22

3x
2
?4y
2
?12
22
两式相减得,
3(x
1
?x
2
)?4(y
1
?y
2
)?0


3(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)?4 (y
1
?y
2
)(y
1
?y
2
)?0
2222
?
x
1
?x
2
?2x
,< br>y
1
?y
2
?2y

y
1
?y2
1
??

x
1
?x
2
4
?
y?3x
这就是弦
P
1
P
2
中点
P
轨迹方程。
它与直线
y?4x?m
的交点必须在椭圆内
联立
?
?y?3x
?
x??m
3
,得
?
则必须满足
y
2
?3?x
2

4
?
y? 4x?m
?
y??3m
213213
3
2
?m?

m
,解得
?
1313
4

(3m)
2?3?
题型四、
证明定值问题
第 8 页 共 10 页

x
2
y
2
例7.已知
AB
是椭圆
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
不垂直于
x
轴的任 意一条弦,
P

ab
AB
的中点,
O
为椭圆的中心 .求证:直线
AB
和直线
OP
的斜率之积是定值.
证明 设A?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?

x
1
?x
2
x
1
2
y
1
2
x
2
2
y2
2

2
?
2
?1
,(1)
2
?
2
?1
,(2)
abab
x
1
2
? x
2
2
y
1
2
?y
2
2
?
1
?
?
?
2
?
得:
2
??
2< br>,
ab
b
2
?
x
1
?x
2
?
b
2
?
x
1
?x
2
?
y1
?y
2
y
1
?y
2

?k
AB
?
.
???
2
??
2
x
1
?x
2
x
1
?x
2
a
?
y
1?y
2
?
a
?
y
1
?y
2
?

k
OP
y
1
?y
2
b
2
b
2
1
?

?k
AB
??
2
?

?k
AB
?k
OP
??
2
(定值).
x
1
?x
2
a
a
k
OP
题型五、 求参数的取值范围
例8.如图,在
R
t
?DEF
中,
?D EF?90?,|EF|?2,|EF?ED|?
5
,椭圆C:
2
x
2
y
2
??1
,以E、F为焦点且过点D,点O为坐标原点。
a
2
b
2
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若点K满足
OK?
1
ED.
,问是否存在不平行于EF的直线
l
与椭圆 C交于不同的
3
两点M、N且
|MK|?|NK|
,若存在,求出直线
l
的斜率的取值范围,若不存在,说明理由。
x
2
y
2
1
??1

K(0,)
解:(Ⅰ)略;
43
2
(Ⅱ)分析:∵
|MK|?|NK|
, < br>设MN的中点为H,则
KH?MN
,此条件
涉及到弦MN的中点及弦MN的斜率 ,故用“点差法”

M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),H(x
0
,y
0
)
,直线< br>l
的斜率为
k

k?0)


3x
1
?4y
1
?12?

3x
2
?4y
2
?12?
② 由①-②得:
2222
y
D
E O F
x
3(x
1?x
2
)(x
1
?x
2
)?4(y
1
?y
2
)(y
1
?y
2
)?0?3x
0
? 4y
0
k?0
又∵
|MK|?|NK|
,则
第 9 页 共 10 页


KH?MN
,∴
22
y
0
?
1
2
?k??1
,从而解得
x?2k,y??
3
, 点
H(x,y)
在椭圆内,
00
00
x
0
2
xy
111
2

0
?
0
?1?k????k?< br>且
k?0

43422
作者简介:杨顺武,男,1969年2月出生, 会泽待补人,中学高级教师,国家数学奥林匹克二级教练
员。 92年7月毕业于曲靖师范专科学校数学 系数学专业,本科学历,中共党员。论文《数学复习中的纠
错策略》荣获省级一等奖。《数学解题中的几 种常见错误》荣获省级一等奖。《圆锥曲线中的四心》荣获省
级二等奖。以上三篇论文的授奖单位均为云 南省教育科学院;《培养学生直觉思维能力的策略》荣获《云南
和谐教育论文》评优竞赛二等奖。《谈高 考数学规范化解题》荣获《云南和谐教育论文》评优竞赛一等奖。
论文《谈高考数学规范化解题》发表在 《云南省教育教学论文精选》一书中。论文《球的切接问题的解题
方法》发表在考试指南报2013年第 332期第6版上。教育教学中努力做到了自我教育,自我约束,主动研
究,自我提高,完善自我。做到 处处关心爱护学生,和学生建立“忘年交”,与他们做心心相印的朋友,建
立了美好和谐的师生感
情。

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