一篇收全高中数学解题基本方法

一篇收全高中数学解题基本方法
一、 配方法
配方法是对数 学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁
为简 。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。< br>有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主 要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不
等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺x y项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) 2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基
本配方形式，如：

Ⅰ、再现性题组：

Ⅱ、示范性题组：

二、换元法

三、待定系数法
要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这 些未知系数的方法叫待定系数法，其理
论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充 要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者
两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的 数学问题，
通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主 要是看所求解的数学
问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分 解因式、拆分分式、数列求和、
求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数 学表达形式，所以都可以用待定系数法求
解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；

第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；
第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方
面着手分析： ①利用对应系数相等列方程；
②由恒等的概念用数值代入法列方程； ③利用定义本身的属性列方程； ④利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系 数；再把
几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系 数，并把求出的系
数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
Ⅰ、再现性题组：

四、定义法
所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等， 都是由定义和公理推演出来。定义
是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性 来明确概念。
定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。 简单地说，定义是基本概念
对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定 义中去。

焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的
定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。
Ⅲ、巩固性题组：

五、数学归纳法
归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完 全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推
理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断 该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论
证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一 类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推 理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递
推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝ 1(或n0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命
题成立，再证明n＝k＋1时命题也 成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一
般，实际上它使命题的正 确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断
定“对任何自然 数（或n≥n0且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于
完 全归纳。

运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命 题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的
解题目标进行分析比较，以此确定和调控 解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自 然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、
整除性问题等等。
Ⅰ、再现性题组：

六、参数法
参数法 是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，
再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数 的
典型例子。
辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学 的任务就是要揭示事物之间的内在联
系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化 状 态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现
了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数 学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知 和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问
题。

七、反证法
与前面所讲的方法不同，反证 法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设
而否定结论，从而导 出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假
设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推
理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确 的命题等
相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同 时
都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简 单地说“A
或者非A‖，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根 据“矛盾律”，这些
矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经 证明为正确的命题都是真的，
所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这 一对立的互相否定的判断不能同时为假，
必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思 维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。
反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推 理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑
矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的 基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论
→ 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到 “反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的
方面情况只有一种，那么 只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，
那么必须将所 有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
在数学解题中经常使用反 证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来
证明的题型有： 命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否
定结论 更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，
问题可能解决得十分干脆。
Ⅰ、再现性题组：
1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。
A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根