高中数学解题方法之分离变量法(含答案)

分离变量法
分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中 ，求参数的范围常常与
分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体 现数形结
合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都< br>可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,
越来 越多的压轴题都需要使用该思想方法.
分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到 不等号(等号)两端，使两
端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中 参数取值范围
的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.
解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量
后，对于不同问题 我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知
x
的范围，求
a
的范围：
定理1 不等式
f(x)?g(a)
恒成立
?
?
f(x)
?
min
?g(a)
（求解
f(x)
的 最小值）；不等
式
f(x)?g(a)
恒成立
?
?
f(x)
?
max
?g(a)
（求解
f(x)
的最大值）.
定理2 不等式
f(x)?g(a)
存在解
?
?
f(x)
?
max
?g(a)
（求解
f(x)
的最大值）； 不
等式
f(x)?g(a)
存在解
?
?
f(x)
?
min
?g(a)
（即求解
f(x)
的最小值）.
定理3 方程
f(x)?g(a)
有解
?
g(a)
的范围
?
f(x)
的值域（求解
f(x)
的值域）.
解决问题时需要注意 ：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定
是求最大值、最小值还是值域.
再现性题组：
1、已知当x
?
R时，不等式a+cos2x<5-4sin x恒成立，求实数a的取值范围。
2、若f(x)=
x?3x?3
在
x?[ ?1,4]
上有
f(x)?x?2a?1
恒成立，求a的取值范围。
23、若f(x)=
x?3x?3
在
x?[?1,4]
上有
f(x )?x?2a?5a?1
恒成立，求a的取值范围。
2
2
2?1?0
有解，请求a的取值范围 4、若方程
4?2a?< br>5、已知
y?
xx
1
3
1
2
x?ax?x? 1
是
(0,??)
上的单调递增函数，则
a
的取值范围是（ ）
32
A.a?0

B.?2?a?2

C.a?2

D.a?2

6、求使不等式
a?sinx?cosx,x?[0,
?
]
恒成立的实数a的范围。
再现性题组答案：
1、解：原不等式
?4sinx?cos2x??a?5
当x
?
R时，不等式a+cos2x<5-4sinx
恒成立
??a+5>( 4sinx+cos2x)
max
，设
f(x)=4sinx+cos2x
则
f(x)= 4sinx+cos2x=?2sin
2
x+4sinx+1=?2(s inx?1)
2
+3

∴
?a+5>3?a<2

2、解：
x?3x?3?x?2a?1
恒成立，即
2a?x?4x?2
在
x?[?1,4]
上恒成立,
只需
2a?( x
2
?4x?2)
min
，解得
a??3

3、解 ：
x?3x?3?x?2a?5a?1
在
x?[?1,4]
上恒成立
?

2a?5a?x?4x?2

在
x?[?1,4]
上恒 成立
?
2a?5a??3?1?a?
2
2
22
22223

2
1
t
x
4、解:令
t?2
(t>0)，则
t?2at?1?0?2a?t??2?a?1

1
在
(0,??)
上恒成立
?a?2

x
??
3
?
]
，显然函数有最大6、解：由于函
a?sinx?cos x?2sin(x?),x?
?
?[?,
4
444
5、解：
y'?x
2
?ax?1?0
在
(0,??)
上恒成立
?a?x?
值
2
，
?a?2
。
示范性题组：
例1. 已知函数
f
?
x
?
?x
2
?ax ?1,x?(0,1]
,且
|f
?
x
?
|?3
恒成 立,求
a
的取值范围.
?
x
2
?ax?1?3
?
,x?(0,1]
恒成立 ? 【分析】法一(二次函数):问题转化为不等式组
?
2
?
?
x? ax?1??3
f(x)?x
2
?ax?1
在
x?(0,1]
上的最大值与最小值 ? 以对称轴与定义域端点进行比较
分类,研究单调性.正确率较低. < br>?4?x
2
2?x
2
?a?
法二(分离变量):问题转化为在
x?(0,1]
上恒成立(除
x
时注意符号),
xx
?
?4?x
2
??
2?x
2
?
? 由定理1得
?
.求相应函数最值,正确率较高.
?a?
???
?< br>x
?
max
?
x
?
min
1
2例2.已知函数
f(x)?ax?2x(a?0),g(x)?lnx.
若
h(x )?f(x)?g(x)
存在单调递增
2
区间，求
a
的取值范围.
ax
2
?2x?1
?0
在
x?0
上有解,即
ax
2
?2x?1?0
在
x?0
上【分析】问题转化为
h '(x)?
x
有解.
解：法一(二次函数):此题
f(0)??1?0,分类是只需注意开后和轴,较为简捷.正确率不高,
原因在于没有注意特殊点,将问题分为1解, 2解,想得过于复杂.
法二(分离变量):问题转化为
a?
1?2x
在x?0
上有(存在)解 ? 由定理1.2得
2
x
?
1?2 x
?
a?
?
2
?
.求解相应范围上的最小值,正确率较高.
?
x
?
min
例3.已知
a
是实数，函数
f(x)?2ax?2x?3?a.
如果函数
y?f(x)
在区间
[?1,1 ]
上有零
点，求
a
的取值范围.
【分析】方法一(根的分布):这个题目是一个标准的根的分布问题,解题时需要考虑: 开口方
向,判别式,对称轴,特殊点的函数值.解题时需要分为大3类,小5类.学生能够部分得分,很
2< /p>

难列出所有不等式组.
方法二(分离变量):问题转化为
2 ax?2x?3?a?0
在
x?[?1,1]
上恒有解 ? 分离变
2< br>3?2x
22
,
x?[?1,?)?(?,
2x
2
? 1
22
3?2x
2
函数
g(x)?
在
x?[?1, ?)?(?
2
2x?1
2
量得
a?
22
)?(,1 ]
有解 ? 由定理1.3得只需求
22
2222
单独
,)?( ,1]
上的值域即可,
?
2222
考虑.此法思维两较小,运算量较二次函数略大,得分率略有增加. 通过对上述三道题目解答过程中出现的两种做法的比较,不难体会到,分离变方法的优越
性:思维量 小,过程简捷明快,思维严谨性的要求有所降低.不足之处:个别时候,分离后产生的
函数,在求解其最 值或值域时运算量较大.总体来说,多数时候,应优先使用分离变量法。
例4、已知函数
f( x)?x
3
?3ax?1
的导函数为
f

(x)
，< br>g(x)?f

(x)?ax?3
.
（1）若
x?g

(x)?6?0
对一切
x?2
恒成立，求实数
a
的取值范围 ；
（2）若对满足
0?a?1
的一切
a
的值，都有
g(x )?0
，求实数
x
的取值范围.
解：（1）
?f

(x)?3x
2
?3a?g(x)?3x
2
?3a?ax?3

?g

(x)?6x?a

6
对一切
x?2
恒成立
x
66

记
h(x)?6x?
，则在
x?2
上
a?h(x)
恒成立，
?
h(x)?6?
2
在
x?2
上恒大于0，
xx
6
?
h(x)?6x?
在
x?2
上单调递增，
?h(x)< br>min
?h(2)?15

?a?15

x
即
6x?ax?6?0
对一切
x?2
恒成立
?
即
a ?6x?
2
（2）即
g(x)?3x
2
?3a?ax?3
对 一切
0?a?1
恒成立
若
x?3
，则
g(x)?3x2
?3a?ax?3?24?0
不满足
?x?
?

3?3x
2
3?3x
2
1
?1?0?x?
若x?3
，则
a?
对一切
0?a?1
恒成立
?
3 ?x3?x3
3?3x
2
3?3x
2
?0?3?3x
2?0
若
x?3
，则
a?
对一切
0?a?1
恒 成立
?
3?x3?x
??1?x?1

?x?
?

综上所述：
0?x?
巩固性题组：
1、已知函数
f
?x
?
?lg
?
x?
值范围。

1

3
?
?
a
?
?2
?
，若对任意
x ?
?
2,??
?
恒有
f
?
x
?
? 0
，试确定
a
的取
x
?

x2x< br>2、已知
x?
?
??,1
?
时，不等式
1?2?a? a?4?0
恒成立，求
a
的取值范围。
??



3、已知函数
f(x)?x
3
?2x
2
?x?4
,
g(x)?x
2
?ax?7
.若对任意的
x?[0,??)
都有
f'(x)?g(x)
，求实数
a
的取值范围.



4、设函数
f(x)?
1
3
x?(1?a)x
2
?4ax?24a
，其中常数
a?R
.
3
（1）当
a?1
时，求函数
f(x)
的单调区间； （2）若
x?3
时，
f'(x)?0
恒成立，求实数
a
的取值范围。



5、在
?
ABC中，已知
f (B)?4sinBsin(
求实数m的范围。



6、求使不等式
a?sinx?cosx,x?(



2
?
4
?
B
)?cos2B,且|f(B)?m|?2
恒成立 ，
2
?
3
?
4
,
4
)
恒成立的实 数a的范围。
1?2
x
?a
?
4
x
,
其 中
a?R
，如果
x?(??.1)
时，
f(x)
恒有意义， 求
a
的7、设
f(x)?lg
3
取值范围。




8、设函数是定义在
(??,??)
上的增函数，如果不等式< br>f(1?ax?x)?f(2?a)
对于任
意
x?[0,1]
恒成立， 求实数
a
的取值范围。
2

分离变量法巩固训练题答案：
1、解：根据题意得：
x?
2
a?2?1
在
x?
?
2,??
?
上恒成立，
x
即：
a??x?3x
在
x?
?
2,??
?
上恒成立，
3
?
9
?
设
f
?
x
?
??x?3x
，则
f
?
x
?
??
?x?
?
?

2
?
4
?
2
2< br>当
x?2
时，
f
?
x
?
max
?2
所以
a?2

x
2、解：令
2?t
，
?x?
?
??,1
?

?t?
?
0,2
?
所以原不等式可化为：
a?a?
2
t?1
，
2
t
要使上式在
t?
?
0,2
?
上恒成立，只须求出
f
?
t
?
?
22
t?1
在
t?
?
0 ,2
?
上的最小值即可。
t
2
1
?
1
t ?1
?
1
?
1
?
11
?
1
??
f
?
t
?
?
2
?
??
??
?
?
?
?

?
?
?
,??
?

t
?
2
t
?
?
t
?
t
?
t2
?
4?f
?
t
?
min
?f
?
2
?
?
331
2

?a?a???
442
22
?a
3
?

2
3、解：
?f'(x)?g(x)
即
3x?4x?1?x?ax?7


?ax?2x?4x?8

若
x?0
，则
0?8
恒成立，
?a?R

若
x?0
，则
a?2x?
综上所述：
?a?12

2
4、解：（1）
?f
?
(x)?x?2(1?a)x?4a?(x ?2)(x?2a)
，又
a?1
，由
f
?
(x)?0
得：
2
8
88
?4
，
又?2x??4?22x??4? 12
，
?a?12

x
xx
x?(??,2)?(2a,? ?)
，由
f
?
(x)?0
得
2?x?2a
，因此< br>f(x)
的单调增区间有
(??,2)
与
(2a,??)
，< br>f(x)
的单调减区间有
(2,2a)

2
（2）
x ?3
时，
f'(x)?0
恒成立
?
x?3
时，
x? 2(1?a)x?4a?0
恒成立。
?
x?3
时，
(x?2)(x ?2a)?0
恒成立
?
x?3
时，
2a?x
恒成立，
?2a?3?a?
5、解:
f(B)?4sinBsin(
2
3

2
?
4
?
B
)?cos2B?2sinB?1,
?
0?B?
?
,?sinB?(0,1]
，
2
f(B)? (1,3]
，
?|f(B)?m|?2
恒成立，
??2?f(B)?m?2< br>，
即
?
?
m?f(B)?2
恒成立，
?m?(1, 3]

?
m?f(B)?2

6、解：由于函
a?sinx?cosx?2sin(x?
?
),x?
?
?(0,)
，令
y?sinx?cosx
，
4
42
?
则由于
y?sinx?cosx
的最大值取不到
2
，即a取
2
也满足条件， 所以
a?2

7、
解：如果
x?(??.1)
时，
f(x)
恒有意义
?1?2
x
?a4
x
?0
，对< br>x?(??,1)
恒成立.
1?2
x
?a??
x
? ?(2
?x
?2
?2x
)
x?(??.1)
恒成立。令t?2
?x
，
g(t)??(t?t
2
)

4
11
又
x?(??.1)
则
t?(,??)
?a?g(t)
对
t?(,??)
恒成立，
22
1133
又
?g (t)
在
t?[,??)
上为减函数，
g(t)
max
?g ()??
，
?a??
。
2244
8、分析：本题可利用函数的单调 性把原不等式问题转化为
1?ax?x?2?a
对于任意
2
x?[0,1]< br>恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。
解：
?f(x)
是增函数
?f(1?ax?x
2
)?f(2?a)
对于任意
x?[0,1]
恒成立
?1?ax?x
2
?2?a
对于任意
x?[0,1]
恒成立
?x
2
?ax?1?a?0
对于任意
x?[0,1]
恒成立 ，
令
g(x)?x?ax?1?a
，
x?[0,1]
，所以原问题
?g(x)
min
?0
，
2
?
1?a,???? ??a?0
?
g(0),??????a?0
?
2
?
a?
a
?
?a?1,?2?a?0
又
g(x)
min< br>?
?
g(?),?2?a?0
即
g(x)
min
?< br>?
?
2
?
4
?
?
?
?
2, ???????????a??2
?
2,???????????a??2
易求得a?1
。