高中数学解题方法系列：数列中求通项的10种方法

高中数学解题方法系列：数列中求通项的10种方法
一、公式法
n
例1 已知数列
{
a
n
}
满足
an?1
?2a
n
?3?2
，
a
1
?2
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
a
n?1
an
3
a
n?1
a
n
3
a
n
， 则，故数列
????{}
是
2
n?1
2
n
22n?1
2
n
22
n
a
n
3
a
3
2
以
1
为首项，以
为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得
，
??
1
?1?(n?1)
n
1
2
222
2
31
所以数列
{
a
n
}
的通项 公式为
a
n
?(n?)2
n
。
22
n
解 ：
a
n?1
?2a
n
?3?2
两边除以
2
n?1
，得
二、累加法
a
n
?a
n?1
?f
(
n
)
< br>，a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
例2 已知数列
{
a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
?2n?1
解：由
a
n?1
?a
n
?2n?1
得
a
n?1
?a
n
?2n?1
则
a
n
?(a
n
?a
n?1
)?(a
n ?1
?a
n?2
)?
L
?(a
3
?a
2< br>)?(a
2
?a
1
)?a
1
?[2(n?1)?1] ?[2(n?2)?1]?
L
?(2?2?1)?(2?1?1)?1
?2[(n?1 )?(n?2)?
L
?2?1]?(n?1)?1

(n?1)n
? 2?(n?1)?1
2
?(n?1)(n?1)?1
?n
2
2
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
? n
。
n
例3已知数列
{
a
n
}
满足a
n?1
?3a
n
?2?3?1，a
1
?3
， 求数列
{a
n
}
的通项公式。
n
解：
a
n?1
?3a
n
?2?3?1
两边除以
3
n?1
， 得
a
n?1
a
n
21
，
???
3
n?1
3
n
33
n?1
则
a
n?1
a< br>n
21
?
n
??
n?1

n?1
3333
三、累乘法
a
n
?f
(
n
)

a
n?1
n
例4 已知数列
{
a
n
}< br>满足
a
n?1
?2(n?1)5?a
n
，a
1
?3
，求数列
{a
n
}
的通项公式。

n
解：因为
a
n?1
?2(n?1)5?a
n
，a
1
?3
，所以
a
n
?0
，则
a
n?1
?2(n?1)5
n
，故
a
n
a
n
?
a
n
a
n?1
a
a
??
L
?
3?
2
?a
1
a
n?1
a
n?2
a2
a
1
?[2(n?1?1)5
n?1
][2(n?2?1)5
n?2
]?
L
?[2(2?1)?5
2
][2(1?1)? 5
1
]?3

?2
n?1
[n(n?1)?
L?3?2]?5
(n?1)?(n?2)?
L
?2?1
?3
?3 ?2
n?1
n(n?1)
2
?5?n!
n?1
所以数列{
a
n
}
的通项公式为
a
n
?3?2?5n(n?1)
2
?n!.

，a
n
?a
1?2a
2
?3a
3
?L?(n?1)a
n?1
(n?2 )
，求
{a
n
}
的通
例5已知数列
{
a< br>n
}
满足
a
1
?1
项公式。
解：因为a
n
?a
1
?2a
2
?3a
3
?L? (n?1)a
n?1
(n?2)

所以
a
n?1
?a
1
?2a
2
?3a
3
?L?(n?1)a
n? 1
?na
n

用②式－①式得
a
n?1
?an
?na
n
.

则
a
n?1
?(n?1)a
n
(n?2)

②
①
故
a
n?1
?n?1(n?2)

a
n
四、待定系数法（重点）
n
例6 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?2a
n
?3? 5，a
1
?6
，求数列
?
a
n
?
的通项公 式。
解：设
a
n?1
?x?5
n?1
?2(a
n
?x?5
n
)
④
nnn?1n
将
a
n?1
?2a
n
?3?5
代入④式，得
2a
n
?3 ?5?x?5?2a
n
?2x?5
，等式两边消去
2a
n
，
nn?1nn
得
3?5?x?5?2x?5
，两边除以
5
， 得
3?5x?2x,则x??1,
代入④式得
a
n?1
?5
n?1
?2(a
n
?5
n
)

n
例7 已知数列
{
a
n
}
满足
a
n?1
?3a< br>n
?5?2?4，a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。

解：设
a
n?1
?x?2
n?1
?y?3(a
n
?x?2
n
?y)
⑥
n
将
a
n?1
?3a
n
?5?2?4
代入⑥式，得
3a
n
?5?2
n
?4?x?2
n?1
?y?3( a
n
?x?2
n
?y)

整理得
(5
?< br>2
x
)
?
2
?
4
?y?
3
x?
2
?
3
y
。
nn
令
?
?< br>5?2x?3x
?
x?5
n?1n
，则
?
，代入⑥式 得
a
n?1
?5?2?2?3(a
n
?5?2?2)

?
4?y?3y
?
y?2
⑦
2
例8 已知数列
{
a
n
}
满足
a
n?1
?2a
n
?3n?4n?5，a
1
?1
，求数列
{a
n
}< br>的通项公式。
22
解：设
a
n?1
?x(n?1)?y(n ?1)?z?2(a
n
?xn?yn?z)
⑧
2
将
a
n?1
?2a
n
?3n?4n?5
代入⑧式，得
2a< br>n
?3n
2
?4n?5?x(n?1)
2
?y(n?1)?z ?2(a
n
?xn
2
?yn?z)
，则
2a
n< br>?(3?x)n
2
?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2a
n
?2xn
2
?2yn?2z

等式两边消去
2
a
n
，得
(3?x)n?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2xn?2yn?2z，
22
?
3?x?2x
?
x?3
??
解方程 组
?
2x?y?4?2y
，则
?
y?10
，代入⑧式，得
?
x?y?z?5?2z
?
z?18
??
a
n?1
?3(n?1)
2
?10(n?1)?18?2(a
n
?3n
2
?10n?18)
⑨
五、对数变换法
n5
例9 已知 数列
{
a
n
}
满足
a
n?1
?2?3?a
n
，
a
1
?7
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
n5n5
解：因为
a
n?1
?2?3?a< br>n
，a
1
?7
，所以
a
n
?0，a
n?1
?0
。在
a
n?1
?2?3?a
n
式两边取
常用对数得
lga
n?1
?5lga
n
?nlg3?lg2
⑩

设
lga
n?1
?x(n?1)?y?5( lga
n
?xn?y)

六、迭代法
11
○
3(n?1)2
例10 已知数列
{
a
n
}< br>满足
a
n?1
?a
n
，a
1
?5
， 求数列
{a
n
}
的通项公式。
n
3(n?1)23n?2
解：因为
a
n?1
?a
n
，所以
a
n?a
n?1
nn?1
3(n?1)?2
?[a
n
]3n?2
??

?2
n?2n?1
七、数学归纳法
例11 已知
a
n?1
?a
n
?
呢？）
解：由
a
n?1
?a
n
?
8(n?1)8
，a?< br>，求数列
{a
n
}
的通项公式。（其他方法
1
(2n ?1)
2
(2n?3)
2
9
8(n?1)
8
及，得
a?
1
(2n?1)
2
(2n?3)
2
9
8(1?1)88?224
???
22
(2?1?1)(2?1?3)99 ?2525
8(2?1)248?348
a
3
?a
2
??? ?

22
(2?2?1)(2?2?3)2525?4949
8(3?1)4 88?480
a
4
?a
3
????
(2?3?1)
2
(2?3?3)
2
4949?8181
a
2
?a
1
?
(2n?1)
2
?1
由此可猜测
a
n
?
，往下用数学归纳法证明这个结论。
(2n?1)
2
(2?1?1)2
?18
?
，所以等式成立。 （1）当
n?1
时，
a
1
?
2
(2?1?1)9
(2k?1)
2
?1（2）假设当
n?k
时等式成立，即
a
k
?
，则当n?k?1
时，
(2k?1)
2
8(k?1)

(2 k?1)
2
(2k?3)
2
a
k?1
?a
k
?

(2k?1)
2
?18(k?1)
??
(2k? 1)
2
(2k?1)
2
(2k?3)
2
[(2k?1)2
?1](2k?3)
2
?8(k?1)
?
(2k?1)
2
(2k?3)
2
(2k?1)
2
(2k?3)
2
?(2k?3)
2
?8(k?1)
?
(2k?1)
2
(2 k?3)
2
?
(2k?1)(2k?3)?(2k?1)
(2k?1)
2
(2k?3)
2
222

(2k?3)
2
?1
?
(2k?3)
2
[2(k?1)?1]
2
?1
?
[2(k?1)?1]
2
由此可知，当
n?k?1
时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何
n?N
*
都成立。
八、换元法
例12 已知数列
{
a
n
}
满足a
n?1
?
解：令
b
n
?
1
?
24
a
n
，则
a
n
?
故
a
n? 1
?
1
求数列
{a
n
}
的通项公式。
( 1?4a
n
?1?24a
n
)，a
1
?1
，
16
1
2
(b
n
?1)

24
1
2
1
(b
n?1
?1)
，代入
a
n?1
?(1?4a
n
?1?24a
n
)
得
2416
1
2
11
2
(b
n?1
?1)?[1?4(b
n?1)?b
n
]

241624
22
即
4b< br>n?1
?(b
n
?3)

因为
b
n
?
1
?
24
a
n
?
0
，故
bn?1
?1?24a
n?1
?0

则
2b
n? 1
?b
n
?3
，即
b
n?1
?
九、不动点 法
例13 已知数列
{
a
n
}
满足
a
n?1
?
131
b
n
?
，可化为
b
n?1
?3?(b
n
?3)
，
222
21a
n
?24
，a
1
?4
，求数列
{a
n
}
的通 项公式。
4a
n
?1
解：令
x?
21x?2421x?2 4
2
，得
4x?20x?24?0
，则
x
1
?2， x
2
?3
是函数
f(x)?
的
4x?14x?1