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高中数学解题方法系列:概率的热点题型及其解法

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 22:29
tags:高中数学解题方法

高中数学三角函数式的变换-高中数学知全解 pdf

2020年9月17日发(作者:易希高)



高中数学解题方法系列:概率的热点题型及其解法
概率主要涉及等可能事件 ,互斥事件,对立事件,独立事件的概率的求法,对于这部分,我
们还应当重视与传统内容的有机结合, 在以后的高考中,可能出现概率与数列、函数、不等
式等有关内容的结合的综合题,下面就谈一谈概率与 数列、函数、不等式等有关知识的交汇
处命题的解题策略。
题型一:等可能事件概率、互斥事件概率、相互独立事件概率的综合。
例1:甲、乙两人各 射击一次,击中目标的概率分别是
23
和.假设两人射击是否击中目
34
标, 相互之间没有影响;每次射击是否击中目标,相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;
(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;
(Ⅲ)假设某 人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率
...
是多少 ?
解:(1)设“甲射击4次,至少1次未击中目标”为事件A,则其对立事件
A
为 “4次均击
65
?
2
?
中目标”,则
P
?
A
?
?1?PA?1?
??
?

381
??
??
4
(2)设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则
11
?
2
??
1
?
3
?
3
?
P
?
B
?
?C?
??
?
??
?C
4
?
??
??

?
3
??
3
??
4
?
48
2
4
223
(3)设“乙恰好射击5次后 ,被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必
然是最后两次未击中目标,第三次击 中目标,第一次及第二次至多有一次未击中目标。
2
?
?
3
?2
31
?
3
?
1
?
45
1

P
?
C
?
?
?
??
?C
2
??
?
??
??
?

444441024
??< br>??
?
??
?
例2:某单位组织4个部门的职工旅游,规定每个部门只 能在韶山、衡山、张家界3个景区
中任选一个,假设各部门选择每个景区是等可能的.
(Ⅰ)求3个景区都有部门选择的概率;
(Ⅱ)求恰有2个景区有部门选择的概率.
4
解:某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为3.由于是任意选择,这些结
果出现 的可能性都相等.
(I)3个景区都有部门选择可能出现的结果数为
C
4
?
3!
(从4个部门中任选2个作为1组,
另外2个部门各作为1组,共3组,共有C
4
?
6
种分法,每组选择不同的景区,共有
3!种选法),记 “3个景区都有部门选择”为事件A
1
,那么事件A
1
的概率为
2
C
4
?3!
4
?
.
P(A
1
)=
4
9
3
2
2
(II)解法一:分别记“恰有2 个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A
2



31
,事件A
2
的概率为
?
3
4
27< br>4114
P(A
2
)=1-P(A
1
)-P(A
3< br>)=
1???
.

92727
和A
3
,则事 件A
3
的概率为P(A
3
)=
解法二:恰有2个景区有部门选择可能 的结果为
3(
C
4
?
2!
?C
4
).(先从3个景区任意选
2
定2个,共有
C
3
?
3
种选法,再让4个部门来选择这2个景区,分两种情况:第一种情况,
12
从4个部门中任取 1个作为1组,另外3个部门作为1组,共2组,每组选择2个不同的
景区,共有
C
4
?
2!
种不同选法.第二种情况,从4个部门中任选2个部门到1个景区,另外
22
3(C
4
?2!?C
4
)
14
?.
2个部门在另1个景区,共有
C
种不同选法).所以P(A
2
)=
4
27
3
2
4
1
例3:某课程考核分理论与实验两部分进行, 每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”,两部
分考核都是“合格”则该课程考核“合格”,甲、乙、 丙三人在理论考核中合格的概率分别为
0.9,0.8,0.7
;在实验考核中合格的概率分别 为
0.8,0.7,0.9
,所有考核是否合格相互之间没
有影响
(Ⅰ)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率;
(Ⅱ)求这三人该课程考核都合格的概率。(结果保留三位小数)
解:记“甲理论考核合格” 为事件
A
1
;“乙理论考核合格”为事件
A
2
;“丙理论考 核合格”
为事件
A
3
;记
A
i

A
i
的对立事件,
i?1,2,3
;记“甲实验考核合格”为事件
B
1
;“乙实
验考核合格”为事件
B
2
;“丙实验考核合格”为事件< br>B
3

(Ⅰ)记“理论考核中至少有两人合格”为事件
C
, 记
C

C
的对立事件
解法1:
P
?
C< br>?
?PA
1
A
2
A
3
?A
1
A
2
A
3
?A
1
A
2
A
3?A
1
A
2
A
3


?PA
1
A
2
A
3
?PA
1
A< br>2
A
3
?PA
1
A
2
A
3
?P
?
A
1
A
2
A
3
?


?0.9?0.8?0.3?0.9?0.2?0.7?0.1? 0.8?0.7?0.9?0.8?0.7

?0.902

解法2:
P
?
C
?
?1?PC?1?PA
1
A
2
A
3
?A
1
A
2
A
3
?A
1A
2
A
3
?A
1
A
2
A
3< br>
??
??????
??
??
?1?
?
PA
1
A
2
A
3
?PA
1
A
2
A
3
?PA
1
A
2
A
3
?PA
1
A
2
A
3
?

??
????????< br>?1?
?
0.1?0.2?0.3?0.9?0.2?0.3?0.1?0.8?0.3 ?0.1?0.2?0.7
?

?1?0.098?0.902

所以,理论考核中至少有两人合格的概率为
0.902

(Ⅱ)记“三人该课程考核都合格” 为事件
D



P
?
D
?
?P
?
?
?
A
1
?B
1
?
?
?
A
2
?B
2
?< br>?
?
A
3
?B
3
?
?
?
? P
?
A
1
?B
1
?
?P
?
A2
?B
2
?
?P
?
A
3
?B
3
?

?P
?
A
1
?
?P
?B
1
?
?P
?
A
2
?
?P
?
B
2
?
?P
?
A
3
?
?P
?
B
3
?

?0.9?0.8?0.8?0.8?0.7?0.9

?0.254016?0.254

所以,这三人该课程考核都合格的概率为
0.254

题型二:概率与排列组合、等差数列、等比数列的综合。
例4:将1,2,3,…,9,这9个数平均分成三组,则每组的三个数都成等差数列的概
率为( )
A、
1
111
B、 C、 D、
336
5670420
33
C
9
?C
6
解 析:共有
三组的平均值可能是456,357,258,348,267,
?280
种 分组的方法,
3
A
3
且各有一种分组的方法,所求的概率为
51,故选A
?
28056
3
,按照向量
5
例5:从原点 出发的某质点
M
,按照向量
a
?(1,0)
移动的概率为
b
?(2,0)
移动的概率为
2
,设可到达点
(n,0)
的概 率为
P
n

5
(Ⅰ)求概率
P
1

P
2

(Ⅱ)求
P
n?2

P
n

P
n?1
的关系并证明数列
?
P
n?2
?P
n?1
?
是等比数列;
(Ⅲ)求
P
n

解 (Ⅰ)
M
点到达点
(1,0)
的概率为
P
1
?
3

M
点到达 点
(2,0)
的事件由两个互斥事
5
件组成:①A=“
M
点 先按向量
a?(1,0)
到达点
(1,0)
,再按向量
a
? (1,0)
到达点
(2,0)
”,
此时
P(A)?()
2< br>;
②B=“
M
点先按向量
b
?(2,0)
移动直接 到达点
(2,0)
”,此时
P(B)?
3
5
2

5
3
2
19
P
2
?
P(A)?P(B)?
()
2
?
?

55
25
(Ⅱ)
M
点到达点
(n?2,0)
的事件由两个互斥事件组成:

A
n?2
?
“从点
(n?1,0)
按向量
a
?( 1,0)
移动到达点
(n?2,0)
”,此时
P(A
n?2
)?

B
n?2
?
“从点
(n,0)
按向量
b?(2,0)
移动到达点
(n?2,0)
”,此时
P(B
n?2
)?
3

P
n?1

5
2
P
n

5



322
P
n?1
?P
n
,即
P
n?2
?
P
n?1
?
?(P
n?1
?P
n
)

555
4
2
为首项,公比为
?
的等比数列。
?
数列
?
P
n?2
?P
n?1
?
是以
P
2
?P
1
?
25
5
422
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知
P
n?2
?
P
n?1
?
(?)
n?2
?(?)
n

2555
22
P
n? 1
?P
n
?
(?)
n?1

P
n
?
P
n?1
?
(?)
n?2
……
55
2222
P
2
?P
1
?
(?)
2

P
n
?P
1
?(?)
2
?(?)
3
???(?)
n

5555
22< br>?[1?(?)
n?1
]
22222
5
??[1?(?)n?1
]???(?)
n?1

?
5
2
75 775
1?
5
32221122
n?1
?P
n
?? ?(?)
n?1
??(?)

57753575
?P
n?2
?
例6:设事件
A
发生的概率为
p
,若在
A
发生的条件下发生
B
的概率为
p
,则事件
A,B

时发生的概率为
p?p
根据这一事实解答下列问题:
一种掷硬币走跳棋的游戏:棋 盘上有第0,1,2,3…,100,共101站,一枚棋子开始在第
0站(即
p
0< br>?1
)由棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若出现正面,则棋子向前跳动
一站,若 出现反面则向前跳动两站;直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时,
游戏结束。已知硬 币出现正、反两面的概率相等,设棋子在跳跃的过程中经过第
n
站的概率

p
n

(1) 求
P
1
,P
2
,P
3

(2) (2)设
a
n
?P
n
?P
n?1
(1?n?100)
,求证数列{
a
n
}是等比数列。
(3) 求玩游戏获胜的概率。 解析:(1)
QP
0
?1,?P
1
?
'
'1111311315
,P
2
????,P
3
?????

2222422428
(2)棋子跳到第
n
站,必须是从第
n? 1
站或第
n?2
站跳来的
(2?n?100)
,所以
11 11
P
n?1
?P
n?2
,?P
n
?P
n ?1
??(P
n?1
?P
n?2
)

?a
n
??a
n?1
(2?n?100),

2222
111
a
,故{}是以公比为,首项为的等比数列 。
? ?
a
1
?P?P??
n
10
22
2
Pn
?
(30由(2)知
a
1
?a
2
?a
3
?L?a
99
?(P
1
?P
0
)?(P
2
?P
1
)?L?(P
99
?P
98
)

=
(?)?(?)
2
?L?(?)
99
?P
99< br>?
1
2
1
2
1
2
2121
(1?< br>100
)
,所以获胜的概率为
P
99
?(1?
100
)

3232



例7:质点
A
位于 数轴
x?0
处,质点
B
位于
x?2
处。这两个质点每隔1秒 就向左或向右
12
,向右移动的概率为。
3
3
(Ⅰ)求3秒后,质 点
A
位于点
x?1
处的概率;
移动1个单位,设向左移动的概率为
(Ⅱ)求2秒后,质点
A,B
同时在点
x?2
处的概率;
(Ⅲ)假若质点
C

x?0,x?1
两处之间移动,并满足:当质点
C

x?0
处时,1秒后必
移到
x?1
处;当质点
C

x?1
处,1秒后分别以
1
的概率停留在
x?1
处或移动到
x?0
2
处,今质点
C

x?1
处, 求8秒后质点
C

x?1
处的概率。
解析:(1)3秒后,质点< br>A

x?1
处,必须经过两次向右,一次向左移动;
214
? P?C
3
2
()
2
()?

339
(2) 2秒后,质点
A,B
同时在点
x?2
处,必须质点
A
两次向 右,且质点
B
一次向左,一
次向右;故
P?
222116
1
??C
2
???

333381
(3)设第
n秒后,质点
C

x?1
处的概率为
x
n
,质点
C

x?0
处的概率为
y
n
依题意知:
1 11
x
n
?y
n
,由
x
n
?y
n
?1,

x
n?1
?1?x
n
,?3x
n ?1
?2?(3x
n
?2)(?)

222
111
所以{
3
x
n
?
2
}是首项为
3x
1?2?3??2??
,公比为
?
的等比数列。所以
2
22
x
n?1
?
1
?
1
?
171
171x
n
?
?
2?(?)
n
?

?n?8 ,x
8
?
;所以8秒后质点
C

x?1
处的概率为

3
?
2
?
256
256
题型三:概率 与函数的综合。
例8: 猎人在距离100米处射击一野兔,其命中率为
1
,如果 第一次射击未中,则猎人
2
进行第二次射击,但在发射瞬间距离为150米,如果第二次射击又 未中,则猎人进行第三
次射击,且在发射瞬间距离200米,已知猎人的命中的概率与距离的平方成反比 ,求猎人
命中野兔的概率。
解析:记三次射击命中野兔的事件依次为
A,B,C,由
P(A)?
1k
,

P(A)?,

2 100
2
1k5000250001
,于是
?,?k?5000P(B)?? ,P(C)??

222
21
猎人命中野兔的事件为:
A?A?B? A?B?C,

A,A?B,A?B?C
为互斥事件,且
A,B;A,B,C
都是相互独立事件;故所求概率为
P?P(A)?P(AB)?P(ABC)

=
P(A)?P(A)?P(B)?P(A)?P(B)?P(C)
=
112121 95

?(1?)??(1?)(1?)??
229298144
例9:袋中 有红球和白球100个,从这只袋中任取3只,问袋中有几个红球时,使取得



的3个球全为同色的概率最小?
解:设
x,y
分别为红球,白球的个数,则 有
x
?
y
?
100,x,y
?
N
,从10 0个球中任取3
3
C
x
x?(x?1)?(x?2)
个球,全为红色 球的概率为
P
;从100个球中任取3个球全为
??
1
3
C
100
100?99?98
3
C
y
3
C
1 00
?
白色的概率为
P
2
??
y(y?1)(y?2),所以取得3个同色球的概率为
100?99?98
x(x?1)(x?2)?y(y?1 )(y?2)
(x
3
?y
3
)?3(x
2
?y2
)?2(x?y)
=
P?P
1
?P
2
?< br>970200
100?99?98
970200?294xyx
2
?1 00x
1
2
?
?1?
==
1?

(x? 50)?2500
?
??
9702003300
3300
?当x?5 0
时,
P
最小,此时
P?
8

33
【点 评】此题是一道集等可能事件概率,互斥事件和的概率,二次函数于一体的一道综合题。
题型四:概率与不等式的结合。
例10:如图:每个电子元件能正常工作的概率均为
P(0pPp1)
,问甲、乙两个系统那个
正常工作的概率大?
2224
解:
P

?1?(1?P)?2P?P;

(甲)
22222
??
P

?
?
1?( 1?P)
?
?(2P?P)?P(4?4P?P)

22222
QP

?P(2?P?4?4P?P)??2P(1?P)p0


?P
2
(乙)
所以,乙正常工作的概率较大。
例11 :北京某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案,方案一:考试三门
课程,至少有两门及格 为考试通过;方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格
为考试通过。假定某应聘者对三门课 程的考试及格的概率分别为
a,b,c
,且这三门课程考试
是否及格相互之间没有影响 。
(1) 分别求应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;
(2) 试比较应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小;
解:记应聘者对三门课程考试及格的事件分别 为
A,B,C
,则
P(A)?a,P(B)?b,P(C)?c

(1) 应聘者用方案一,考试通过的概率
P
1
?P(ABC)?P(ABC )?P(ABC)?P(ABC)

=
abc?(1?a)bc?a(1?b)c?a b(1?c)
=
ab?bc?ac?2abc

应聘者用方案二,考试通过的概率为



1111
P
2
?P(A?B)?P(B?C)?P(A?C)?(ab?bc?ac)

3333< br>(2)
Qa,b,c?
?
0,1
?

22
=
?P?P?(ab?bc?ac)?2abc
?
(1?a)bc?a(1?b)c?a b(1?c)
?
?0
,所
P
1
?P
2

12
33
该应聘者采用方案一通过考试的概率较大。
总之,概率是新教材中 的一个重要内容,在现实生活中应用广泛,同时它和排列、组合、函
数、数列、不等式等都有着密切联系 ,在今后的高考中,概率在知识交汇点处命题可能性很
大,请大家引起注意。

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