高中数学解题思路和方法高中所有数学公式

【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而
得到。此种解法中，也体现 了方程思想和特殊值法。对于是否存
在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列1
3
＋2
3
＋…＋n
3
、1
2
＋
2
2
＋…＋n
2
求和的公式，也 可以抓住通项的拆开，运用数列求和
公式而直接求解：由n(n＋1)
2
＝n
3
＋2n
2
＋n得S
n
＝1·2
2
＋2·3
2
＋…＋n(n＋1)
2
＝(1
3
＋2
3
＋…＋ n
3
)＋2(1
2
＋2
2
＋…＋n
2
)＋ (1
n
2
(n?1)
2
＋2＋…＋n)＝
4
＋2×
n(n?1)(2n?1)n(n?1)
n(n?1)
＋＝(3n
2
12
62
＋11n＋10)，综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式
对一切自然数n都成立。
例4.有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形
盒子，问x为何值时，矩形盒子容 积最大，最大容积是多少？
【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件
选取 合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和
最小值的研究。
【解】依题意，矩 形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14
－2x)cm，高为xcm。
∴盒子容积V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x，
显然:15－x>0，7－x>0，x>0。
4
(15a－ax)(7b－bx)x(a>0,b>0）
ab
?
?a?b?1?0
要使用均值不等式，则
?

15a?ax?7b?bx?x
?
3
1
解得：a＝，b＝，x＝3。
4
4
1521
?
6415x364
21
从而V＝( －)(－x)x≤(
44
34443
4
3
设V＝
)
3
＝
64
3
×27＝
576。
所以当x＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm
3
。

【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满
足时要凑配系数，可以用“待定系 数法”求。本题解答中也可以
令V＝
4
(15a－ax)(7－x)bx
ab
或
4
(15－x)(7a－ax)bx，再由使用
ab
均值不等式的 最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系
数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 函数y＝log
a
x的x∈[2,+∞)上恒有| y|>1，则a的取值范
围是_____。
A.2>a>
1
且a≠1B.0 1
或12或01

222
2. 方程x
2
＋px＋q＝0与x
2
＋qx＋p＝ 0只有一个公共根，则
其余两个不同根之和为_____。
A.1B.－1C.p＋qD.无法确定
3. 如果函数y＝sin2x＋a·cos2x的 图像关于直线x＝－
π
对
8
称，那么a＝_____。
A.
2
B.－
2
C.1D.－1
12n
4. 满 足C
0
n
＋1·C
n
＋2·C
n
＋…＋n·Cn
<500的最大正整数是
_____。
A.4B.5C.6D.7
5. 无穷等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
＝a－
1< br>,则所有项的和
2
n
等于_____。
A.－
1
B.1C.
1
D.与a有关
22
6. (1＋kx)
9
＝b
0
＋b
1
x＋b
2
x
2
＋…＋b
9
x
9
，若b
0
＋b
1
＋b
2
＋…
＋b
9
＝－1，则k＝______。
7. 经过两直线11x－3y－9＝0与12x＋y－19＝0的交点，且
过点(3,-2) 的直线方程为_____________。
8.正三棱锥底面边长为2，侧棱和底面所成角为60° ，过底面一
边作截面，使其与底面成30°角，则截面面积为______________。
9.设y＝f(x)是一次函数，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)
成等比数 列，求f(1)＋f(2)＋…＋f(m)的值。

10.设抛物线经过两点(-1,6 )和(-1,-2)，对称轴与x轴平行，
开口向右，直线y＝2x＋7和抛物线截得的线段长是410
,求抛物
线的方程。
四、定义法
所谓定义法，就是直接用数学定 义解题。数学中的定理、公式、
性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内
涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确
概念。
定义是千百次实践后的 必然结果，它科学地反映和揭示了客观
世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体< br>的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到
定义中去。
Ⅰ、再现性题组：
1. 已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，A∪B的
元素个数为n，则______。
A.2≤n≤9B.7≤n≤9C.5≤n≤9D.5≤n≤7
2. 设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，
则_____。
3. 复数z
1
＝a＋2ｉ，z
2
＝－2＋ｉ，如果|z
1
|<|z
2
|，则实数a
的取值范围是_____。
A.－11C.a>0D.a<－1或a>1
4.
x
2
y
2
椭圆＋
25
9
＝ 1上有一点P，它到左准线的距离为，那么
5
2
P点到右焦点的距离为_____。
A.8C.7.5C.
75
D.3
4
T
f(－
2
5. 奇函数f(x)的最小正周期为T，则
.0C.D.不能确定
T
2
)的值为_____。

6. 正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角
的正切值为_____。
【简解】1小题：利用并集定义，选B；
2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B；
3小题：利用复数模的定义得
a
2
?2
2
<
5，选A；
|PF
左
|
4
4小题：利用椭圆的第二定义得到5
＝e＝，选A；
5
2
TT
5小题：利用周期函数、奇函数的 定义得到f(－)＝f(
22
T
－f(－)，选B；
2
)＝
6小题：利用线面角、面面角的定义，答案2。
Ⅱ、示范性题组：
例1.已知z＝1＋ｉ，①设w＝z
2
＋3
z
－4，求w的三角形式 ；
z
2
?az?b
②如果
2
＝1－ｉ，求实数
z? z?1
a、b的值。（94年全国理）
【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相
等的定义解答。
【解】 由z＝1＋ｉ，有w＝z
2
＋3
z
－4＝(1＋ｉ)
2
＋3
(1?i)
－4
＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w的三角形式是
5< br>?
sin
4
2
（cos
5
?
4
＋ｉ
）；
(1?i)
2
?a(1?i)?b
(a?b)?(a?2)i
z
2
?az?b
z＝1＋ｉ，有
2
＝＝＝
(1?i )
2
?(1?i)?1
z?z?1
i
由
(a＋2)－(a＋ b)ｉ。
由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ；
?
a?2?1
根据复数相等的定义，得：
?
，
?(a?b)??1
?
?
a??1
解得
?
。 b?2
?

【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义，由实部、虚部分别相等而建立方程
组，这是复数中经常遇到的。 例2.已知f(x)＝－x
n
＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝log
2
f(x)的定义域，判定在(
2
3
2
2,1)上的单调性。
【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出
函数的 解析式，再利用函数的单调性定义判断。
n
?
?
n?4
?
f(2)??2?2c??14
【解】
?
解得：
?
n
?< br>?
c?1
?
f(4)??4?4c??252
∴f(x)＝－x
4
＋x解f(x)>0得：0设
3
2
2
1
2
<1，则f(x
1
)－f(x
2
) ＝－x
1
4
+x
1
-（-x
2
4
+x2
）
2
，x
1
2
=(x
1
-x
2
)[1-(x
1
+x
2
)(x
1
2
+ x
2
2
)],
∵x
1
+x
2
>
3
+x
2
>
2
3
4
2
∴(x
1< br>+x
2
)(x
1
+x
2
)〉
22
3
3
2
×
3
4
2
＝1
∴f(x
1
)－f(x
2
)>0即f(x)在(
∵
2
2
22
,1)上是减函数
<1∴y＝log
2
f(x)在(
23
2
2
,1)上是增函数。
【注】关于函数的性质：奇偶性、单
A’A
D
调性、周期性的判断，一般都是直接应
C’C
用定义解题。本题还在求n、c的过程
OH
中，运用了待定系数法和换元法。
B’B
例3.如图，已知A’B’C’—ABC是
正三棱柱，D是AC中点。
① 证明：AB’∥平面DBC’；
② 假设AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度数。（94年
全国理）
【分析】由线面平 行的定义来证①问，即通过证AB’平行平面
DBC’内的一条直线而得；由二面角的平面角的定义作出 平面角，
通过解三角形而求②问。

【解】①连接B’C交BC’于O,连接OD
∵A’B’C’—ABC是正三棱柱
∴四边形B’BCC’是矩形
∴O是B’C中点
△AB’C中，D是AC中点∴AB’∥OD
∴AB’∥平面DBC’
② 作DH⊥BC于H，连接OH∴DH⊥平面BC’C
∵AB’∥OD,AB’⊥BC’∴BC’⊥OD
∴BC’⊥OH即∠DOH为所求二面角的平面角。
设AC＝1，作OE⊥BC于E，则DH＝sin60°＝
EH＝；
Rt△BOH中 ，OH
2
＝BH×EH＝
∴OH＝
3
4
1
2
3
3
，BH＝，
4
4
1
4
3
，
16
＝DH∴∠DOH＝45°，即二面角D—BC’—C的度数为
45°。
【注】对于二面角D—BC’—C的平面角，容易误认为∠DOC即
所求。利用二面角的平面角定义， 两边垂直于棱，抓住平面角的
作法，先作垂直于一面的垂线DH，再证得垂直于棱的垂线DO，最
后连接两个垂足OH，则∠DOH即为所求，其依据是三垂线定理。
本题还要求解三角形十分熟练，在 Rt△BOH中运用射影定理求OH
的长是计算的关键。
此题文科考生的第二问为：假设AB ’⊥BC’，BC＝2，求AB’
在侧面BB’C’C的射影长。解答中抓住斜线在平面上的射影的定< br>义，先作平面的垂线，连接垂足和斜足而得到射影。其解法如下：
作AE⊥BC于E，连接B’E 即所求，易得到
OE11
＝，EF＝B’E。在
B'B23
EF
OE ∥B’B，所以
BF
＝
Rt△B’BE中，易得到BF⊥BE,由射影
13
3
。 定理得：B’E×EF＝BE
2
即B’E
2
＝ 1，所以B’E＝

例4.求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心
率为的椭 圆的下顶点的轨迹方程。
1
2
y
MF
Ax
【分析】 运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，所以M到准
线距离为2。抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到
|AF|1
＝建立
22
一个方程，再由离心率的定义建立一个方程。
【解】设A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，则椭圆上定点M到准
线距离为2，下顶点A 到准线距离为y。根据椭圆的统一性定义和
离心率的定义，得到：
4
(y?)
2
m得：（x－1）
2
＋
2
3
＝1，
()2
3
4
(y?)
2
所以椭圆下顶点的轨迹方程为（x－1）2
＋
2
3
＝1。
()
2
3
1
?
22
(x?1)?(m?2)?×2
?
2
?
，消
?
m?y
1
?
?
?
y2
?
【注】求曲线 的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲
线上动点所满足的条件，根据条件列出动点所满足的关系 式，进
行化简即可得到。本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方
程组，消去参数m就得 到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线
的轨迹方程。在建立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义
和离心率的定义。一般地，圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率
等问题，常用定义法解决；求圆 锥曲线的方程，也总是利用圆锥
曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的
恰当选用。
Ⅲ、巩固性题组：
1． 函数y＝f(x)＝a
x
＋k的图像 过点(1,7)，它的反函数的图
像过点(4,0)，则f(x)的表达式是___。
2.过 抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B
在抛物线准线上的射影分别为A
1< br>、B
1
,则∠A
1
FB
1
等于_____。
A.45°B.60°C.90°D.120°

3.已知A＝{0,1}，B ＝{x|x
?
A}，则下列关系正确的是_____。
A.A
?
BB.A
?
BC.A∈BD.A
?
B
4.双曲线3x
2
－y
2
＝3的渐近线方程是_____。
A.y＝±3xB.y＝±
1
xC.y＝±
3
xD.y＝±
3x
3
3
5.已知定义在R上的非零函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋ f(y)，则f(x)是_____。
A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇既偶函数
6. C
3n
＋C
21?n
＝________。
7. Z＝4(sin140°－ｉcos140°)，则复数
1
2
的辐角主值是_____ _____。
z
38?n3n
8. 不等式ax
2
＋bx＋c>0 的解集是(1,2)，则不等式bx
2
＋cx＋a<0解集是__________。
9. 已知数列{a
n
}是等差数列，求证数列{b
n
}也是等差数 列，其中b
n
＝
1
(a
1
＋a
2
＋…n
＋a
n
)。
2
2
10.已知F
1
、F
2
是椭圆
x
2
＋
y
2
＝1(a>b> 0)的两个焦点，其中F
2
与抛物线y
2
＝12x的焦
a
b
7
点重合，M是两曲线的一个焦点，且有cos∠MF
1
F
2
·cos∠MF
2
F
1
＝
23
，求椭圆方程。
五、数学归纳法
归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分
完全归 纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一
类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类 事物全体都具有
的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归
纳推理是在考察 了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种
推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学
论证方法，论证的第一步是证明 命题在n＝1(或n
0
)时成立，这是
递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立 ，再证明n＝k＋1
时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正
确性能否由 特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有
限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完 成了这两步，
就可以断定“对任何自然数（或n≥n
0
且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全
归纳。
运用数学归纳法证 明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推
证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目 标进

行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最
终实现目标 完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等
式、代数不等式、三 角不等式、数列问题、几何问题、整除性问
题等等。
Ⅰ、再现性题组：
1.用数学 归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2
n
·1·2…(2n
－1)（n∈ N），从“k到k＋1”，左端需乘的代数式为_____。
A.2k＋1B.2(2k＋1)C.< br>2.用数学归纳法证明
2k?1
2k?3
D.
k?1
k?1
1
1
1
1＋＋＋…＋
n
1)时，由
2< br>3
2?1
n＝
k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数 式的个
数是_____。
A.2
k?1
B.2
k
－1C. 2
k
D.2
k
＋1
3.某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈ N)时该命题成立，那
么可推得n＝k＋1时该命题也成立。现已知当n＝5时该命题不成
立， 那么可推得______。(94年上海高考)
A.当n＝6时该命题不成立B.当n＝6时该命题成立
C.当n＝4时该命题不成立D.当n＝4时该命题成立
4.数列{a
n
} 中，已知a
1
＝1，当n≥2时a
n
＝a
n?1
＋2n－1 ，依次
计算a
2
、a
3
、a
4
后，猜想a
n
的表达式是_____。
A.3n－2B.n
2
C.3
n?1
D.4n－3
5.用 数学归纳法证明3
4n?2
＋5
2n?1
(n∈N)能被14整除，当n＝k
＋1时对于式子3
4(k?1)?2
＋5
2(k?1)?1
应变形为
_______________________。
6.设k棱柱有f(k)个对角面，则 k＋1棱柱对角面的个数为
f(k+1)＝f(k)＋_________。
【简解】1小题 ：n＝k时，左端的代数式是(k＋1)(k＋2)…(k
＋k),n＝k＋1时，左端的代数式是(k ＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋
2)，所以应乘的代数式为
(2k?1)(2k?2 )
，选
k?1
B；

2小题：（2
k?1
－ 1）－（2
k
－1）＝2
k
，选C；
3小题：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，
则n＝k命题不成立，选C。
4小题：计算出a
1
＝1、a
2
＝4、a
3
＝9、 a
4
＝16再猜想a
n
，选
B；
5小题：答案（3
4k?2
＋5
2k?1
）3
k
＋5
2k?1
（5
2
－3
4
）；
6小题：答案k－1。
Ⅱ、示范性题组：
例1.
8·1
已知数列
22
1·3
8·n
，得， …，
(2n?1)
2
·(2n?1)
2
，…。S
n
为其
前n项和，求S
1
、S
2
、S
3
、S
4
，推测S
n
公式，并用数学归纳法证
明。（93年全国理）
【解 】计算得S
1
＝，S
2
＝
猜测
8
9
80< br>2448
，S
3
＝，S
4
＝，
2549
8 1
(2n?1)
2
?1
S
n
＝(n∈N)。
(2n?1)
2
当n＝1时，等式显然成立；
(2k?1)
2?1
假设当n＝k时等式成立，即：S
k
＝，
(2k?1)
2
8·(k?1)
当n＝k＋1时，S
k?1
＝S
k
＋ (2k?1)
2
·(2k?3)
2
8·(k?1)
(2k?1)
2
?1
＝＋
(2k?1)
2
(2k?1)
2·(2k?3)
2
(2k?1)
2
?(2k?3)
2
? (2k?3)
2
?8·(k?1)
＝
(2k?1)
2
·( 2k?3)
2
(2k?1)
2
?(2k?3)
2
?(2k? 1)
2
＝
(2k?1)
2
·(2k?3)
2
(2k ?3)
2
?1
＝,
2
(2k?3)
由此可知，当n＝k＋1时等式也成立。
综上所述，等式对任何n∈N都成立。
【注】把要证的等式
(2k?3)
2
?1
S
k?1
＝作为目标，先通分使分母
(2k?3)
2< br>含有(2k＋3)
2
，再考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得
到（2k ＋3）
2
－1。这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题

的方向。 本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出
归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关 于探索性问题
的常见证法，在数列问题中经常见到。假如猜想后不用数学归纳
法证明，结论不一 定正确，即使正确，解答过程也不严密。必须
要进行三步：试值→猜想→证明。
【另解】用裂项相消法求和：
8·n
11
＝－得，
(2n?1)
2
(2n?1)
2
(2n?1)
2
·(2n?1)
2
11
111
S
n
＝（1－
2
）＋（
2< br>－
2
）＋……＋－
(2n?1)
2
(2n?1)
2< br>335
1

(2n?1)
2
由a
n
＝
＝1－
(2n?1)
2
?1
＝。
(2n?1)
2
此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，但要求发现
8·n
(2n?1)
2
·(2n?1)
2
1
＝
(2n?1)
2
1
－
(2n?1)
2
的裂项公式。可以说，用试值
1
2
猜想证 明三步解题，具有一般性。
例2.设a
n
＝
1×2
＋
2× 3
＋…＋
n(n?1)
(n∈N),证明：n(n
＋1)n<(n＋1)
2
。
【分析】与自然数n有关，考虑用数学归纳法证明。n＝1时 容
易证得，n＝k＋1时，因为a
k?1
＝a
k
＋
(k?1 )(k?2)
,所以在假设n
＝k成立得到的不等式中同时加上
(k?1)(k?2)
，再与目标比较而
进行适当的放缩求解。
【解】当n＝1时，a
n
＝
∴n＝1时不等式成立。
假设当n＝k 时不等式成立，即：k(k＋1)k
<(k＋1)
2
，
当n＝ k＋1时，k(k＋1)＋
(k?1)(k?2)
k?1
<(k＋1)< br>2
＋
(k?1)(k?2)
,
1
2
1
2< br>1
2
1
2
2
，
1
2
111
n(n+1)＝，(n+1)
2
＝2，
222

1
2
k(k＋1)＋
(k?1)(k?2)
>
1
2
1
2
k(k＋1)＋(k＋1)＝
1
2
(k＋1)(k＋
3)>(k＋1 )(k＋2)，
111
(k＋1)
2
＋
(k?1)(k?2)＝(k＋1)
2
＋
k
2
?3k?2
<(k＋1)
2
＋(k
222
1
3
＋)＝(k＋2)
2
， < br>2
2
11
所以(k＋1)(k＋2)k
<(k＋2)2
，即n＝k＋1时不等式也成
22
立。
综上所述，对所有的n∈N， 不等式n(n＋1)n
<(n＋1)
2
恒
成立。
【注 】用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适
当选用放缩法。本题中分别将
(k?1 )(k?2)
缩小成(k＋1)、将
(k?1)(k?2)
放大成(k＋
3< br>)的两步放缩是证n＝k＋1时不等式成立
2
1
2
1
2
的关键。为什么这样放缩，而不放大成(k＋2)，这是与目标比较
后的要求，也是遵循放缩要适当的 原则。
本题另一种解题思路是直接采用放缩法进行证明。主要是抓住
对
n(n?1)
的分析，注意与目标比较后，进行适当的放大和缩小。
1
2
111
由
n(n?1)
n
<1＋2＋3＋…＋n＋×n＝n(n＋1) ＋
222
11111
n＝(n
2
＋2n)<(n＋1)
2< br>。所以n(n＋1)n
<(n＋1)
2
。
22222< br>解法如下：由
n(n?1)
>n可得，a
n
>1＋2＋3＋…＋n＝n (n＋1)；
例3.设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若对于所有 的自然数n，都
有S
n
＝
n(a
1
?a
n
)
，证明{a
n
}是等差数列。（94
2
年全国文）
【分 析】要证明{a
n
}是等差数列，可以证明其通项符合等差数
列的通项公式的形式，即 证：a
n
＝a
1
＋(n－1)d。命题与n有关，
考虑是否可以用数 学归纳法进行证明。
【解】设a
2
－a
1
＝d，猜测a
n
＝a
1
＋(n－1)d

当n＝1时，a
n
＝a
1
，∴当n＝1时猜测正确。
当n＝2时，a
1
＋(2－1)d＝a
1
＋d＝a
2
，∴当n＝2时猜测正确。
假设当n＝k（k≥2）时，猜测正确，即：a
k
＝a
1
＋(k－1)d，
当n＝k＋1时，a
k?1
＝S
k? 1
－S
k
＝
(k?1)(a
1
?a
k?1
)k(a?a)
－
1k
，
22
将a
k
＝a
1
＋(k－1)d代入上式，得到2a
k?1
＝(k＋1)(a
1
＋a
k?1
)
－2ka
1
－k(k－1)d，
整理得(k－1)a
k?1
＝(k－1)a
1
＋k(k－1)d，
因为k≥2,所以a
k?1
＝a
1
＋kd，即n＝k＋1时猜测正确 。
综上所述，对所有的自然数n，都有a
n
＝a
1
＋(n－1)d ，从而
{a
n
}是等差数列。
【注】将证明等差数列的问题转化成证明数学 恒等式关于自然
数n成立的问题。在证明过程中a
k?1
的得出是本题解答的关键，< br>利用了已知的等式S
n
＝
n(a
1
?a
n
)
、数列中通项与前
2
n项和的关系
a
k?1
＝S
k ?1
－S
k
建立含a
k?1
的方程，代入假设成立的式子a
k
＝a
1
＋
(k－1)d解出来a
k?1
。另外本题注意的 一点是不能忽视验证n＝1、
n＝2的正确性，用数学归纳法证明时递推的基础是n＝2时等式
成立，因为由(k－1)a
k?1
＝(k－1)a
1
＋k(k－1)d得到a
k?1
＝a
1
＋kd
的条件是k≥2。
【另解】可证a< br>n?1
－a
n
＝a
n
－a
n?1
对于任意n ≥2都成立：当n
n(a
1
?a
n
)
(n?1)(a
1
?a
n?1
)
≥2时，a
n
＝S
n
－ S
n?1
＝－；同理有a
n?1
＝S
n?1
2
2< br>(n?1)(a
1
?a
n?1
)n(a?a)(n?1)(a
1
?a
n?1
)
－S
n
＝－
1n
；从而a
n?1
－a
n
＝－
222
(n?1)(a
1
?a
n?1
)
n(a
1
＋a
n
)＋，整理得a< br>n?1
－a
n
＝a
n
－a
n?1
，从而{a
n
}
2
是等差数列。
一般地，在数列问题中含有a
n与S
n
时，我们可以考虑运用a
n
＝
S
n
－S
n?1
的关系，并注意只对n≥2时关系成立，象已知数列的S
n
求a
n
一类型题应用此关系最多。
Ⅲ、巩固性题组：

1. 用数学归纳法证明：6
2n?1
＋1(n∈N)能被7整除。
2. 用数学归纳法证 明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝
n(n＋1)
2
(n∈N)。
3. n∈N，试比较2
n
与(n＋1)
2
的大小，并用证明你的结论。
4. 用数学归纳法证明等式：cos
x
·cos
x
·cos
x
·…·cos
x
2
2
2
2
3
2
n
＝
sinx
2
n
·sin
x
2
n(81年全国高考)
5. 用数学归纳法证明：|sinnx|≤n|sinx|（n∈N）。（85年
广东高考）
6. 数列{a
n
}的通项公式a
n
＝
1
(n∈N)，设f(n) ＝(1－a
1
)(1
(n?1)
2
－a
2
)…(1 －a
n
)，试求f(1)、f(2)、f(3)的值，推测出f(n)的值，
并用数学 归纳法加以证明。
7. 已知数列{a
n
}满足a
1
＝1，an
＝a
n?1
cosx＋cos[(n－1)x]，
(x≠kπ，n≥2 且n∈N)。
①．求a
2
和a
3
；②.猜测a
n
，并用数学归纳法证明你的猜测。
8.设f(log
a
x)＝
a(x?1)
,①.求f(x)的定义域；②.在y＝f(x)
2
x(a
2
?1)
的图像上是否存在两个不同点，使经过这两点的直线与x轴平
行？证明你的结论。③.求证：f (n)>n(n>1且n∈N)
六、参数法
参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与 题目研究的数
学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析
和综合，从而解决 问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数
法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。
辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰
富多采的，科学的任务就是要揭示事物之 间的内在联系，从而发
现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示
变化因素 之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的
思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运 用参数法解题
已经比较普遍。

参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通 已知和未知之
间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。
Ⅰ、再现性题组： < br>1.设2
x
＝3
y
＝5
z
>1，则2x、3y、5z 从小到大排列是
________________。
?
?
x??2?2t
2.（理）直线
?
上与点
?
?
y?3?2t
A(- 2,3)的距离等于
2
的点的
坐标是________。
（文）若k<－1 ，则圆锥曲线x
2
－ky
2
＝1的离心率是_________。
3.点Z的虚轴上移动，则复数C＝z
2
＋1＋2ｉ在复平面上对应
的轨迹图像为__ __________________。
4.三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，
则其体积为______。
5.设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
且当x> 0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。(填“增”
或“减”)
x2
6.椭圆
16
＋
y
2
4
＝1上的点到直线x ＋2y－
2
＝0的最大距离是
_____。
A.3B.
11
C.
10
D.2
2

【简 解】1小题：设2
x
＝3
y
＝5
z
＝t，分别取2、3、5 为底的
对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z； 2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝±
2
时，即
(-4,5 )或(0,1)；（文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝
e＝－
1
k
k
2
?k
；
1?
1
k
，所以
3小题：设z＝bｉ ，则C＝1－b
2
＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)
出发平行于x轴向右的射线；
4小题：设三条侧棱x、y、z，则xy＝6、yz＝4、xz＝3,
所以xyz＝24,体积 为4。
1
2
1
2
1
2

5小题：f (0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，
答案：减；
6小题 ：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝
|4sin
?
?4cos
?
?2|
5
的最大值，选C。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 实数a、 b、c满足a＋b＋c＝1，求a
2
＋b
2
＋c
2
的最小< br>值。
【分析】由a＋b＋c＝1想到“均值换元法”，于是引入了新
的参数，即设a＝ ＋t
1
，b＝＋t
2
，c＝＋t
3
，代入a
2＋b
2
＋
c
2
可求。
【解】由a＋b＋c＝1，设a ＝＋t
1
，b＝＋t
2
，c＝＋t
3
，
其中t1
＋t
2
＋t
3
＝0，
∴a
2
＋b
2
＋c
2
＝（＋t
1
）
2
＋（＋t
2
）
2
＋(＋t
3
)
2
＝＋(t
11
＋t
2
＋t
3
)＋t
1
＋t
2＋t
3
＝＋t
1
2
＋t
2
3
1
所以a
2
＋b
2
＋c
2
的最小值是。
3
2222
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
2
3
＋t
3
2
1
≥
3
【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究
进行了简化，是本题此种解法的一个技巧 。
本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，
解法是：a
2＋b
2
＋c
2
＝(a＋b＋c)
2
－2(ab＋bc＋ ac)≥1－2(a
2
＋
b
2
＋c
2
)，即a2
＋b
2
＋c
2
≥。
两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我
们的代数变形能力。
例2.
x
2
椭圆
16
1
3
＋
y
2
4
＝1上有两点P、Q，O为原点。连OP、OQ，
1
4
若k
OP
·k
OQ
＝－，

①．求证：|OP|2
＋|OQ|
2
等于定值；②.求线段PQ中点M的轨
迹方程。
?
x?4cosθ
【分析】由“换元法”引入新的参数，即设
?
（椭圆y?2sinθ
?
参数方程），参数θ
1
、θ
2
为P、 Q两点，先计算k
OP
·k
OQ
得出一
个结论，再计算|OP|2
＋|OQ|
2
，并运用“参数法”求中点M的坐
标，消参而得。 x
2
【解】由
16
＋
y
2
4
?
x?4cosθ
＝1，设
?
，P(4cosθ
1
,2sinθ1
)，
y?2sinθ
?
Q(4cosθ
2
,2sin θ
2
),
则
2sin
?
1
2sin
?< br>2
?
k
OP
·k
OQ
＝
4cos
?
1
4cos
?
2
1
＝－，整理得到：
4
cosθ
1
cosθ
2
＋sinθ
1
sinθ
2< br>＝0,即cos（θ
1
－θ
2
）＝0。
∴|OP|
2
＋|OQ|
2
＝16cos
2
θ
1
＋4sin< br>2
θ
1
＋16cos
2
θ
2
＋4sin2
θ
2
＝8＋12(cos
2
θ
1
＋cos< br>2
θ
2
)＝20＋6（cos2θ
1
＋cos2θ
2
)＝
20＋12cos（θ
1
＋θ
2
）cos（θ
1
－θ
2
）＝20，
即|OP|
2
＋|OQ|
2
等于定值20。
由中点坐标公 式得到线段PQ的中点M的坐标为
?
x
M
?2(cos
?
1
?cos
?
2
)
，
?
y?sin
??sin
?
12
?
M
x
所以有()
2
＋y
2
＝2＋2(cosθ
1
cosθ
2
＋sinθ
1
sinθ
2
)＝2,
2
x
2
y
2
即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为＋＝1。
82
【注】由椭圆方程，联想到a
2
＋b
2
＝1,于是进行 “三角换元”，
通过换元引入新的参数，转化成为三角问题进行研究。本题还要
求能够熟练使用 三角公式和“平方法”，在由中点坐标公式求出
M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即 （cosθ
22
1
＋cosθ
2
）＋（sinθ
1
＋sinθ
2
），这是求点M轨迹方程“消
参法”的关键一步。一般地，求动点的轨迹 方程运用“参数法”
时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成为一个或几个参数的函

< br>数，再运用“消去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方
程。
本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P、Q两点坐
标再求：
设直线OP的斜率k，则OQ的斜率为－
OQ相交于PQ两点有：
?
x2
?4y
2
?16?0
4
，消y得(1＋4k
2
)x
2
＝16,即|x
P
|＝；
?
2
y?kx
1?4k
?
?
x
2
?4y
2
?16?0< br>|8k|
1
?
2
，消y得(1＋
2
)x＝16，即| x
Q
|＝；
?
1
2
4k
1?4k
?y??
4k
x
?
4|8k|
1
2
1?
?
所以|OP|
2
＋|OQ|
2
＝(
1?k
2?
)＋（）
2
22
16k
1?4k1?4k
2
1
4k
，由椭圆与直线OP、

20?80k
2
＝
1?4k
2
＝20。即|OP|
2
＋|OQ|
2
等于定值2 0。
在此解法中，利用了直线上两点之间的距离公式|AB|＝
1?k
AB
2
?
|x
A
－x
B
|求|OP|和|OQ|的长。
例3.已知正四棱锥S—ABCD的侧面与
S
底面的夹角为β，相邻两侧面的夹角为α,

E
2
求证：cosα=-cosβ。

2
【分析】要证明cosα=-cosβ，考虑
DC
求出α、β的余弦，则在α和β所在的三
OF
AB
角形中利用有关定理求解。
【解】连AC、BD交于O，连SO；取BC
中点F，连 SF、OF；作BE⊥SC于E，连DE。则∠SFO＝β，∠DEB
＝α。
设BC＝a(为 参数)，则SF＝
SC＝
SF
2
?FC
2
OF
co sβ
＝
a
,
2cosβ
＝
(
aa
)2
?()
2
2cosβ2

＝
a
1?cos
2
β

2cosβ
SF·BC
a
2
?
又∵BE＝＝
2cosβ
SC< br>1
a
1?cos
2
?
2cos
?
＝
a
1?cos
?
2

＝在△DEB中，由余弦定理有：cosα＝< br>a
2
2??2a
2
2
1?cos
?
a
2
2?
1?cos
2
?
2BE
2
?BD
2
2BE
2
＝－cos
2
β。
所以cosα＝－cos
2
β。
【注】设参数a而不求参数a，只是利用其 作为中间变量辅助
计算，这也是在参数法中参数可以起的一个作用，即设参数辅助
解决有关问题 。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知复数z满足|z|≤1，则复数z＋2ｉ在复平面上表示的
点的轨迹是________________。
2. 函数y＝x＋2＋
1?4x?x
的值域是________________。
3. 抛物线y＝x
2
－10xcosθ＋25＋3sinθ－25sin
2
θ与x 轴
两个交点距离的最大值为_____
A.5B.10C.2
3
D.3
4. 过点M(0,1)作直线L，使它与两已知直线L
1
：x－3y＋10
＝0及L
2
：2x＋y－8＝0所截得的线段被点P平分，求直线L
方程。
5. 求半径为R的球的内接圆锥的最大体积。
6. f(x)＝(1－
a
cos
2
x)sinx，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的实
2
2数a的取值范围。
7.若关于x的方程2x
2
＋xlg
(a
2
?1)
3
8a
3
＋lg
2
(
a
2
?1
)＋lg
2
2a
＝0
2a
a?1
有< br>模为1的虚根，求实数a的值及方程的根。

8.给定的抛物线y
2＝2px(p>0)，证明：在x轴的正向上一定存
在一点M，使得对于抛物线的任意一条过点M的 弦PQ，有
1
＋
|MP|
2
1
|MQ|
2
为定值。
七、反证法
与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，
是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，
从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿 达玛(Hadamard)对反证法
的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对
命题结论的否定作为推理的已知条件 ，进行正确的逻辑推理，使
之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确
的命 题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结
论，从而使命题获得了证明。
反证 法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。
在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能 同时都为真，至少
有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾
的判断不能同 时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维
中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾 的判断，根
据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已
知条件、已知公理、 定理、法则或者已经证明为正确的命题都是
真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论 与
“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有
一真，于是我们得到原结论必 为真。所以反证法是以逻辑思维的
基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。
反证法的证题 模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。
即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾 ，达到新
的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用
反证法证明的主要三步 是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。
实施的具体步骤是：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推
理导出矛盾；
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到“ 反设”进行推理，否则就
不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只
有一种 ，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归
谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必 须将所有的反面情
况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
在数学解题 中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数
学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证 明的题型
有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、
“无限”形式出现 的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的
命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从 结论
入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
Ⅰ、再现性题组：
1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝
0______。
A.至多一个实根B.至少一个实根C.一个实根D.无实根
2. 已知a<0,－12
之间的大小关系是_____。
A.a>ab>ab
2

2
>ab>>a>ab
2
>ab2
>a
3. 已知α∩β＝l，aα，bβ，若a、b为异面直线，则_____。
A.a、b都与l相交B.a、b中至少一条与l相交
C.a、b中至多有一条与l相交D.a、b都与l相交
4. 四面体顶点和各棱的中点共1 0个，在其中取4个不共面的
点，不同的取法有_____。(97年全国理)
A.150种B.147种C.144种D.141种
【简解】1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导
出其中三个与特例矛盾，选A；
2小题：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－0.5，选D；
3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B；

4
4小题：分析清 楚结论的几种情况，列式是：C
10
－C
4
6
×4－3－
6 ,选D。
1.
S

1元素与集合的关
C
系:
x?A?x?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.< br>
?A?A??

AO
2集合
{a
1
,a
2
,,a
n
}
的子集个数共有
2
n
个；真
B
子集有
2
n
?1
个；非空子集有
2
n
?1
个；非空的真子集有
2
n
?2
个.
3二次函数的解析式的三种形式：
(1)一般式
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)
2
?k(a?0)
;（当已知抛物线的 顶点坐标
(h,k)
时，设为此式）
(3)零点式
f(x)?a(x?x< br>1
)(x?x
2
)(a?0)
；（当已知抛物线与
x
轴的交
点坐标为
(x
1
,0),(x
2
,0)
时， 设为此式）
（4）切线式：
f(x)?a(x?x
0
)
2
?(kx?d),(a?0)
。（当已知抛物线与
直线
y?kx?d
相切且切 点的横坐标为
x
0
时，设为此式）
4真值表：同真且真，同假或假
5常见结论的否定形式;
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一一个也没有
个
都是 不都是 至多有一至少有两个
个
大于 不大于 至少有
n
至多有（
n?1
）
个 个
小于 不小于 至多有
n
至少有（
n?1
）
个 个
对所有
x，成存在某
x
，不
p
或
q

?p
且
?q

立 成立
高中数学常用公式及结论

对任何
x
，不存在某
x
，成
p
且
q

?p
或
?q

成立 立
6四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆
命题与否命题同真同假.）
原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ
充要条件：(1)、
p?q
，则P是q的充分条件，反之，q是p的
必要条件；
（2）、
p?q
，且q≠>p，则P是q的充分不必要条件；
(3)、p≠>p，且
q?p
，则P是q的必要不充分条件；
4、p≠>p，且q≠>p，则P是q的既不充分又
不必要条件。
7函数单调性:
增函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而增大。
（2）、数学符号表述是：设f（x） 在x
?
D上有定义，若
对任意的
x
1
,x
2
?D,且x
1
?x
2
，都有
f(x
1
)?f( x
2
)
成立，则就叫f（x）在x
?
D上是增函数。D
则就 是f（x）的递增区间。
减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。
（2）、数 学符号表述是：设f（x）在x
?
D上有定义，
若对任意的
x
1,x
2
?D,且x
1
?x
2
，都有
f(x< br>1
)?f(x
2
)
成立，则就叫f（x）在x
?
D上 是减函数。D
则就是f（x）的递减区间。

单调性性质：(1)、增函数+增 函数=增函数；（2）、减函数+减函
数=减函数；
(3)、增函数- 减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=
减函数；
注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左
边两个函数定义域的交集。
复合函数的单调性：
函数单调 单调性
内层函数 ↓ ↑ ↑ ↓
外层函数 ↓ ↑ ↓ ↑
复合函数 ↑ ↑ ↓ ↓
等价关系：
(1 )设
x
1
,x
2
?
?
a,b
?
, x
1
?x
2
那么
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是增函
x
1
?x
2
f(x< br>1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
x
1
?x
2
数；
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
??0?
上是减函
数.
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内 可导，如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为
增函数 ；如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为减函数.
8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须
关于原点对称）
奇函数：
定义：在前提条件下，若有
f(?x)??f(x)或f(?x)?f(x)?0
，
则f（x）就是奇函数。
性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；
（2）、奇函数在x>0和x<0上具有
相同
的单调区间；
（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0.
偶函数：
定义：在前提条件下，若有
f(?x)?f(x)
，则f（x）就是偶函数。

性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称；
（2）、偶函数在x>0和x<0上具有
相反
的单调区间；
奇偶函数间的关系：
(1)、奇函数·偶函数=奇函数；（2）、奇函数·奇函数=偶函
数；
(3)、偶 奇函数·偶函数=偶函数；(4)、奇函数±奇函数=奇函
数（也有例外得偶函数的）
(5)、偶函数±偶函数=偶函数；(6)、奇函数±偶函数=非奇非
偶函数
奇函数 的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过
来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这 个函数是奇函数；
如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
9函数的周期性：
定义：对函数f（x），若存在T
?
0，使得f（x+T ）=f（x），则
就叫f（x）是周期函数，其中，T是f（x）的一个
周期。
周期函数几种常见的表述形式：
(1)、f（x+T）=-f（x），此时周期为2T；
（2）、f（x+m）=f（x+n），此时周期为2
m?n
；
(3)、
f(x?m)??
1
，此时周期为
f(x)
2m。
10常见函数的图像：
11对于函数
y?f(x)
(
x?R
),
f(x?a)?
对称轴是
x?
a?b
;两个函数
y?
2
f(b?x)
恒成立,则函数
f(x)
的
f(x?a)< br>与
y?f(b?x)
的图象关于
直线
x?
b?a
对称 .
2
12分数指数幂与根式的性质：
(1)
a
m
n?
n
a
m
?
m
n
（
a?0,m,n? N
?
，且
n?1
）.
1
m
n
（2）a??
1
n
a
a
m
（
a?0,m,n?N?
，且
n?1
）.

（3）
(
n
a)
n
?a
.
（4）当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
；当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
?
a, a?0
.
?
?a,a?0
13指数式与对数式的互化式:
log< br>a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.
指数性质：
(1)1、
a
?p
?
1
a
p
；（2）、
a
0
?1
（
a?0
）；(3)、
a
mn
?(a
m
)
n

rsr?s
m< br>n
(4)、
a?a?a(a?0,r,s?Q)
；(5)、
a?
n
a
m
；
指数函数：
(1)、
y?a
x
(a?1)
在定义域内是单调递增函数；
（2）、
y?a
x
(0?a?1)
在定义域内是单调递减函数。注：指数< br>函数图象都恒过点（0，1）
对数性质：
(1)、
log
a
M?log
a
N?log
a
(MN)
；（2）、
log< br>a
M?log
a
N?log
a
M
；
Nn
?log
a
b
；(5)、
log
a
1?0< br>
m
(3)、
log
a
b
m
?m?log< br>a
b
；(4)、
log
a
a
n
?
m
b
(6)、
log
a
a?1
；(7)、
a
logb
?b

对数函数：
(1)、
y?log
a
x(a?1)
在定义域内是单调递增函数；
（2）、
y?log
a
x(0?a?1)
在定义域内是单调递减函数 ；注：对
数函数图象都恒过点（1，0）
(3)、
log
a
x?0 ?a,x?(0,1)或a,x?(1,??)

(4)、
log
a
x?0?a?(0,1)则x?(1,??)
或
a?(1,??)则x?(0,1)

14对数的换底公式:
m?1
,
N?0
).
log
a
N?
log
m
N
log
m
a
(
a?0
,且
a?1
,
m?0
,且
对数恒等式：
a
log
推论
log
a
n
?
m
b
a
N
?N
(
a?0
,且
a?1
,
N?0).
n
log
a
b
(
a?0
,且
a ?1
,
N?0
).
m
?log
a
M?log
a
N
;
15对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)
log< br>a
(MN)?log
a
M?log
a
N
;(2)log
a
M
N

(3)
log
a
M
n
?nlog
a
M(n?R)
;(4)
log
a
m
N
n
?
n
log
a
N(n,m?R)< br>。
m
16平均增长率的问题（负增长时
p?0
）：
如果原 来产值的基础数为N，平均增长率为
p
，则对于时间
x
的总产值
y< br>，有
y?N(1?p)
x
.
17等差数列：
通项公式：（ 1）
a
n
?a
1
?(n?1)d
，其中
a
1
为首项，d为公差，n
为项数，
a
n
为末项。
（2）推广：
a
n
?a
k
?(n?k)d

（3）
a
n
?S
n
?S
n?1
(n?2)
（注：该公式对任意数列都
适用）
前n项和：（1）
S
n
?n(a
1
?a
n
)
；其中
a
1
为首项 ，n
2
为项数，
a
n
为
末项。
（2）
S
n
?na
1
?
n(n?1)
d

适用）
（4）
S
n
?a
1
?a
2
??a
n
（注：该公式对任意数列都
2
（3）
S
n
?S
n ?1
?a
n
(n?2)
（注：该公式对任意数列都
适用）
常用性质：（1）、若m+n=p+q，则有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
注：若
a
m
是a
n
,a
p
的等差中项，则有
2
a
m
?a
n
?a
p
?
n、m、p成等差。
（2）、若
?
a
n
?
、
?
b
n
?
为等差数列，则
?
a
n
?b
n
?
为等差数
列。
（3）、
?
a
n
?
为等差数列，
S
n
为其前n项和，则
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S2m
也成等差数列。
（4）、
a
p
?q,a
q
?p,则a
p?q
?0
；
（5）1+2+3+…+n=
n(n?1)

2
等比数列：

通项公式：（1）
a
n
?a
1
q
n?1< br>?
a
1
n
?q(n?N
*
)
，其中
a
1
为首项，n
q
为
项数，q为公比。
（2）推广：
a
n
?a
k
?q
n?k
< br>（3）
a
n
?S
n
?S
n?1
(n?2)< br>（注：该公式对任意数列都
适用）
前n项和：（1）
S
n
? S
n?1
?a
n
(n?2)
（注：该公式对任意数列都
适用 ）
（2）
S
n
?a
1
?a
2
??an
（注：该公式对任意数列都
适用）
?
na
1
（3）
S
n
?
?
?
a
1
(1?q
n)
?
1?q
?
(q?1)
(q?1)

常用性 质：（1）、若m+n=p+q，则有
a
m
?a
n
?a
p< br>?a
q
；
注：若
a
m
是a
n
,a
p
的等比中项，则有
a
m
2
?a
n
?a< br>p
?
n、m、p成等比。
（2）、若
?
a
n
?
、
?
b
n
?
为等比数列，则
?
an
?b
n
?
为等比
数列。
18
ab(1?b )
n
分期付款(按揭贷款)：每次还款
x?
元(贷款
a
元,
n
次还
(1?b)
n
?1
清,每期利率为
b
).
19三角不等式：
（1）若
x?(0,
?
)
，则
sinx?x?tanx
.
2
(2)若
x?(0,
?)
，则
1?sinx?cosx?2
.
2
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
20同角三角函数的 基本关系式：
sin
2
?
?cos
2
?
?1
，
tan
?
=
sin
?
，
cos
?
21正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
22和角与差角公式
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
cos (
?
?
?
)?cos
?
cos
?
sin< br>?
sin
?
;

tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1tan
?
tan
?
.
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)

(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决定,
tan< br>?
?
b
).
a
23二倍角公式及降幂公式
sin 2
?
?sin
?
cos
?
?
2
2tan< br>?
.
2
1?tan
?
222
1?tan
2
?
cos2
?
?cos
?
?sin
?
?2 cos
?
?1?1?2sin
?
?
1?tan
2
?
2tan
?
sin2
?
1?cos2
?
.
tan2
?
?tan
?
??
1?tan
2
?1?cos2
?
sin2
?
.
24三角函数的周期公式 函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为
常数，且A≠0)的周期
x?k
?
?
T?
2
?|
?
|
；函数
y?tan(
?
x?
?
)
，
?
2
,k?Z
(A,ω,
?
为常数，且A≠0 )的周期
T?
?
.
|
?
|
三角函数的图像：
25正弦定理?：
26余弦定理：
a
2
?b
2
? c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b< br>2
?2abcosC
.
abc
???2R
（R
si nAsinBsinC
为
?ABC
外接圆的半径）.
27面积定理： （1）
S?
1
ah
a
?
1
bh
b?
1
ch
c
（
h
a
、h
b
、 h
c
分别表示a、b、c边上的
222
高）.
（2）
S?
1
absinC?
1
bcsinA?
1
casinB
.
222
(3)
S
?OAB
?
1
2
( |OA|?|OB|)
2
?(OA?OB)
2
.
28三角形内角和定理：
在△ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)

?
C
?
A?B
?2C? 2
?
?2(A?B)
.
??
222

29实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：
(1)结合律：λ(μ
a
)=(λμ)
a
;
(2)第一分配律：(λ+μ)
a
=λ
a
+μ
a
;
(3)第二分配律：λ(
a
+
b
)=λ
a
+λb
.
30
a
与
b
的数量积(或内积)：
a< br>·
b
=|
a
||
b
|
cos
?。
31平面向量的坐标运算：
(1)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y2
)
，则
a
+
b
=
(x
1
? x
2
,y
1
?y
2
)
.
(2)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=< br>(x
2
,y
2
)
，则
a
-
b
=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(3)设A
(x
1
,y
1
)
，B< br>(x
2
,y
2
)
,则
AB?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
.
(4)设
a
=
(x,y),
?
?R
，则
?
a
=
(
?
x,
?
y)
.
(5)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=< br>(x
2
,y
2
)
，则
a
·
b
=
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)< br>.
32两向量的夹角公式：
cos
?
?
a?b
?
|a|?|b|
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2
1
2
1
2
2
22
(
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
).
33平面两点间的距离公式：
d
A,B
=
|AB|?AB?AB< br>?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
(A
(x
1
,y
1
)，B
(x
2
,y
2
)
).
34向量的平行与 垂直：设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，且
b
?< br>0
，则：
a
||
b
?
b
=λ
a< br>?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
.（交叉相乘差为零）
a
?
b
(
a
?
0
)
?
a
·
b
=0
?x
1
x
2< br>?y
1
y
2
?0
.（对应相乘和为
零）
3 5线段的定比分公式：设
P
1
(x
1
,y
1
)，
P
2
(x
2
,y
2
)
，
P (x,y)
是线段
P
1
P
2
的分
?
x1
?
?
x
2
x?
?
OP
?
1 ?
?
1
?
?
OP
2
OP?
点,
?
是实数，且
PP
，则
?
?
PP
?
?
12
1?
?
?
y?
y
1
?
?
y
2
?
1?
?
?

?
OP?tOP
1
?(1?t)OP
2
（
t?
1
）.
1?
?
36三角形的重心坐标公式：△ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
, y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、< br>C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心的坐标是

G(
x
1
?x
2
?x
3
y
1< br>?y
2
?y
3
,)
.
33
37三角形五“心”向量形式的充要条件：
设
O
为
? ABC
所在平面上一点，角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
，
则
222
?OA?OB?OC
（1）
O
为
?AB C
的外心.
（2）
O
为
?ABC
的重心
?OA? OB?OC?0
.
（3）
O
为
?ABC
的垂心
? OA?OB?OB?OC?OC?OA
.
（4）
O
为
?ABC的内心
?aOA?bOB?cOC?0
.
（5）
O
为
?ABC
的
?A
的旁心
?aOA?bOB?cOC
.
38常用不等式：
（1）
a,b?R
?
a
2
?b
2
?2ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2）
a,b?R
?
?
a?b
?
2
（3）
a
3
?b
3
?c
3
?3abc(a?0,b?0,c?0).

ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（4）
a?b?a?b?a?b
.
2aba?ba
2
?b
2
（5）
?ab??
a?b22
(当且仅当a＝b时取“=”号)。
39极值定理:已知
x,y
都是正数，则有
（1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
；
（2）若和
x?y
是定值
s
，则当
x?y时积
xy
有最大值
1
s
2
.
4
（3 ）已知
a,b,x,y?R
?
，若
ax?by?1
则有
1 111byax
??(ax?by)(?)?a?b???a?b?2ab?(a?b)
2。
xyxyxy
ab
（4）已知
a,b,x,y?R
?
，若
??1
则有
xy
40一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0(或?0)(a?0,??b
2
?4ac?0)
，如果
a< br>与
ax
2
?bx?c
同号，则其解集在两根之外；如果
a与
ax
2
?bx?c
异
号，则其解集在两根之间.简言之：同号 两根之外，异号两
根之间.即：
x
1
?x?x
2
?(x? x
1
)(x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
；

x?x
1
,或x?x
2
?(x?x1
)(x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
.
41含有绝对值的不等式：当a>0时，有
x?a?x
2
?a
2
??a?x?a
.
x?a? x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.
42斜率公式：
k?
y
2
?y
1
x
2< br>?x
1
（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）.
43直线的五种方程：
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距). （3）两点式
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)).
y?y
1
x?x
1
?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
(
y
1
?y
2
)(
P
1
(x
1
,y
1
)
、
两点式的推广：
(x
2
?x
1
)(y?y
1
)?( y
2
?y
1
)(x?x
1
)?0
（无任何限制条件！）
(4)截距式
a?0、b?0
)
xy
??1
ab
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
（5）一般式
Ax?By ?C?0
(其中A、B不同时为0).
l
?
?(A,B)
，
l?(B,?A)
直线
Ax?By?C?0
的法向量：方向向量：
44夹角公式：
(1)tan
?
?|
(2)
k
2
?k
1
|< br>. (
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1
k
2
??1
)
1?k
2
k
1
AB?A< br>2
B
1
tan
?
?|
12
|
.(< br>l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
A
1
A
2
?B
1
B
2
,
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0< br>).
直线
l
1
?l
2
时，直线
l
1
与
l
2
的夹角是
?
.
2
45
l
1
到
l
2
的角公式：
(1)
tan
?
?
k
2
?k
1
1?k2
k
1
.(
l
1
:y?k
1
x?b< br>1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
,< br>k
1
k
2
??1
)

(2)
tan
?
?
A
1
B
2
?A
2
B< br>1
A
1
A
2
?B
1
B
2
. (
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1
A
2
?B
1
B< br>2
?0
).
直线
l
1
?l
2
时， 直线
l
1
到
l
2
的角是
?
.
2
46点到直线的距离：
Ax?By?C?0
).
d?
| Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
(点
P (x
0
,y
0
)
,直线
l
：
47圆的四种 方程：
（1）圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
（2）圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
(
D
2
?E
2
?4F
＞0 ).
?
x?a?rcos
?
（3）圆的参数方程
?
. < br>y?b?rsin
?
?
（4）圆的直径式方程
(x?x
1)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0(圆的直径的端点
是
A(x
1
,y
1
)
、B(x
2
,y
2
)
).
48点与圆的位置关系：点< br>P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关
系有三种：
若
d?(a?x
0
)
2
?(b?y
0
)
2
， 则
d?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点
P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
49直线与圆的位置关系：直线< br>Ax?By?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种(
d?
Aa?Bb?C
A?B
2 2
):
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
50两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O
1，O
2
，半径分
别为r
1
，r
2
，
O
1
O
2
?d
，则：
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
内含内切
相交
外切
相离
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
d
r
1
+r
2
d
r
2
-r
1
o
d
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
d

51椭圆< br>?
x?acos
?
x
2
y
2
??1(a?b ?0)
的参数方程是
?
a
2
b
2
?
y?b sin
?
. 离心率
cb
2
e??1?
2
aa
，
a
2
c
准线到中心的距离为
b
2
距)
p?
c
， 焦点到对应准线的距离(焦准
。
52
b
2
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：
2
.
a
x
2
y
2
椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角
ab
a
2
PF
1
?e(x?)?a?ex
c
?FPF
S
?F
1
PF
2
?c|y
P
|?b
2
tan
1< br>2
形的面积:
，
。
a
2
PF
2
?e(?x)?a?ex
c
；
53椭圆的的内外部:
22
x
0
y
0
x
2
y
2
（1）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b ?0)
的内部
?
2
?
2
?1
.
abab
22
x
0
y
0
x
2
y
2
（2）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?< br>2
?1(a?b?0)
的外部
?
2
?
2
?1
.
abab
54椭圆的切线方程:
(1)椭圆
x
0xy
0
y
?
2
?1
.
2
ab
x
2
y
2
??1(a?b?0)
a
2
b
2
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
x
2
y
2
（2）过椭圆
2
?
2
?1外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
ab
x
0
xy
0
y
?
2
?1.
2
ab
x
2
y
2
（3）椭圆
2< br>?
2
?1(a?b?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条 件是
ab
A
2
a
2
?B
2
b
2< br>?c
2
.
55
x
2
y
2
cb2
双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的离心率e??1?
2
ab
aa
，准线到中心的

a
2
距离为
c
，焦点到对应准线的距离(焦准距)
b
2
p?
c
。过焦点
b
2
且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：
2< br>.
a
a
2
a
2
焦半径公式
PF
1
?|e(x?)|?|a?ex|
，
PF
2
?|e(?x)|?|a ?ex|
，
cc
两焦半径与焦距构成三角形的面积
S
?F
1
PF
2
?b
2
cot
?F
1
PF
。
2
56双曲线的方程与渐近线方程的关系:
(1）若双曲线方程为
x
2
y
2
b
??0?
y??x
.
22ab
a
x
2
y
2
??1
?
a
2
b
2
渐近线方程：
xy
(2)若渐近线方程为
y??b
x
?
x
?
y
?0
?
双曲线可设为< br>2
?
2
??
.
ab
ab
a
x2
y
2
x
2
y
2
(3)若双曲线与
2
?
2
?1
有公共渐近线，可设为
2
?
2
? ?

ab
ab
（
??0
，焦点在x轴上，
??0< br>，焦点在y轴上）.
22
(4)焦点到渐近线的距离总是
b
。
57双曲线的切线方程:
(1)双曲线
x
0
xy
0
y
?
2
?1
.
a
2
b
x
2< br>y
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上一点
P(x0
,y
0
)
处的切线方程是
2
ab
x
2
y
2
(2)过双曲线
2
?
2
?1
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程
ab
xxyy
是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
x
2
y
2
（3）双曲线
2
?
2
?1
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
ab
A2
a
2
?B
2
b
2
?c
2
.
58抛物线
y
2
?2px
的焦半径公式:
抛物线
y
2
?2px(p?0)
焦半径
CF
过焦点弦长
CD?x< br>1
?
?x
0
?
p
.
2
pp
?x
2
??x
1
?x
2
?p
.
22< /p>

b
2
4ac?b
2
59二次函数
y?ax?b x?c?a(x?)?
(a?0)
的图象是抛物线：
2a4a
b4ac?b
2
)
；（2）焦点的坐标为（1）顶点坐标为
(?,
2a4a
b4ac?b
2
?1
(?,)
；
2a4a
4ac?b< br>2
?1
（3）准线方程是
y?
.
4a
2
6 0直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

或
AB? (1?k
2
)[(x
2
?x
1
)
2
?4x
2
?x
1
]?|x
1
?x
2
|1?tan
2
?
?|y
1
?y
2
|1?cot
2?

（弦端点A
(x
1
,y
1
),B(x2
,y
2
)
，由方程
?
ax
2
?bx ?c?0

?
y?kx?b
消去
?
F(x,y)?0
y得到
的倾斜角，
k
为直线的斜率，
|x
1
?x
2
|?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
.
61证明直线与平面的平行的思考途径:
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
62证明直线与平面垂直的思考途径:
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。
63证明平面与平面的垂直的思考途径：
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直；
(3)转化为两平面的法向量平行。
64向量的直角坐标运算：
设
a
＝
(a
1
,a< br>2
,a
3
)
，
b
＝
(b
1
,b
2
,b
3
)
则：
(1)
a
＋
b
＝
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
；
??0
AB
,
?
为直线

(2)
a
－
b
＝(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a3
?b
3
)
；
(3)λ
a
＝
(?
a
1
,
?
a
2
,
?
a3
)
(λ∈R)；
(4)
a
·
b
＝
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3b
3
；
65夹角公式：
设
a
＝
(a
1
,a
2
,a
3
)
，
b
cos?a,b ??
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a< br>3
b
3
a?a?a
2
1
2
2
23
＝
(b
1
,b
2
,b
3
)
，则
b?b?b
2
1
2
2
2
3
.
66异面直线间的距离：
d?
|CD?n|
(
l
1
,l
2
是两异面直线，其公垂向量为
n
，
C、D
是
l
1
,l
2
上
|n|
任一点，
d
为l
1
,l
2
间的距离).
67点
B
到平面
?
的距离：
d?
|AB?n|< br>（
n
为平面
?
的法向量，
A?
?
，
AB
是
?
的一条斜线
|n|
段）.
68球的半径是R，则 其体积
V?
4
?
R
3
,其表面积
S?4
?
R
2
．
3
69球的组合体：
(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体
对角线长.
(2) 球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱
长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角 线长,正方
体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3)球与正四面体的组合体:棱长为
a
的正四面体的内切球的半径
为
6
a

12
(正四面体高
高
6
3
a
的
3
4
6
1
a
的
3
4
),外接球的半径为
6
a
( 正四面体
4
).
?m
n
.
?m
n
.
70分类计数原理（加法原理）：
N?m
1
?m
2
?
分步计数原理（乘法原理）：
N?m
1
?m
2
?

< br>71排列数公式：
m?n
)．规定
0!?1
.
m
A
n
=
n(n?1)?(n?m?1)
=
n！
.(
n
(n?m)！
，
m
∈N，且
*
72组合数公式：
C
=
m
n
A
n
m
m
A
m
=
n(n?1)
?
(n?m?1)
=
1?2?
?
?m
n！
*
(
n
∈N，
m?N
，
m！?(n? m)！
且
m?n
).
组合数的两个性质:(1)
C
nm
=
C
n
n?m
;(2)
C
n
m+
C
n
m?1
=
C
n
m
?1
.规定
0
C
n
?1
.
1n?12n?22rn?rrnn
ab?C
n
ab?
?
?C
n
ab?
??C
n
b
; 73二项式定理
(a?b)
n
?C
n
0
a
n
?C
n
二项展开式的通项公式
T
r?1
?C
n
r
a
n?r
b
r
(r?0 ，1，2?，n)
.
f(x)?(ax?b)
n
?a
0
? a
1
x?a
2
x
2
??a
n
x
n
的展开式的系数关系：
a
0
?a
1
?a
2
??a
n
?f(1)
；
a
0
?a
1
?a
2
??(?1)
n
a
n
?f(?1)
；
a
0
?f(0)
。
74互斥事件A，B分别发生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
n
个互斥事件分别发生的概率的和：P(A
1
＋A
2
＋…＋
A
n
)=P(A
1
)＋P(A
2
)＋…＋P(A
n
) ．
75独立事件A，B同时发生的概率：P(A·B)=P(A)·P(B).
n个独立事 件同时发生的概率：
P(A
1
·A
2
·…·A
n
) =P(A
1
)·P(A
2
)·…·P(A
n
)．
76n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率：
kk
P
n
(k)?C< br>n
P(1?P)
n?k
.

77数学期望：
E
?
?x
1
P
1
?x
2
P
2
?? x
n
P
n
?

数学期望的性质
（1）
E (a
?
?b)?aE(
?
)?b
.（2）若
?
～< br>B(n,p)
,则
E
?
?np
.
(3)若
?
服从几何分布,且
P(
?
?k)?g(k,p)?q
k?1
p
，则
E
?
?
2
1
.

p78方差：
D
?
?
?
x
1
?E
??
2
?p
1
?
?
x
2
?E
?
?
2
?p
2
?
标准差：
??
=
D
?
.
方差的性质：
(1)
D
?
a
?< br>?b
?
?aD
?
；
2
?
?
xn
?E
?
?
?p
n
?

(2）若?
～
B(n,p)
，则
D
?
?np(1?p)
.