高三数学答题方法反证法

七、反证法
与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是 从反面的角
度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法
国数 学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否
定其结论，就会导 致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并
把对命题结论的否定作为推理的已知条件， 进行正确的逻辑推理，使之得到与已
知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛， 矛盾的原因
是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
反证法所依据的 是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维
过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真 ，至少有一个是假的，这就是逻辑
思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“ A或者非
A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判
断，根 据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、
已知公理、定理、法则或者已经 证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”
必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这 一对立的互相否定的判断
不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思
维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。
反证法的证题模式可以简要的概括我为“否 定→推理→否定”。即从否定结
论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反 证法的
基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推
导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到“ 反设”进行推理，否则就不是反证法。
用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只 要将这种情况
驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么
必 须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
在数学解题中经常使 用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的
武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型 有：命题的结论以“否定形式”、
“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定 结论更明
显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结
论入手 进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
Ⅰ、再现性题组：
1.已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。
A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根
2 .已知a<0,－12
之间的大小关系是_____。
A. a>ab> ab
2
B. ab
2
>ab>a C. ab>a> ab
2
D. ab> ab
2
>a
3.已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b为异面直线，则_____。
A. a、b都与l相交 B. a、b中至少一条与l相交
C. a、b中至多有一条与l相交 D. a、b都与l相交

4 .四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法
有_____。(97年全 国理)
A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种
【简解】1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与
特例矛盾，选A；
2小题：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－0.5，选D；
3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B；
4
4小题：分析清楚结论的几种情 况，列式是：C
10
－C
4
6
×4－3－6,选D。

Ⅱ、示范性题组：
S
例1. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O

是底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB
C
不垂直。

【分析】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考
A O
虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再
B
肯定“不垂直”。
【证明】 假设AC⊥平面SOB，
∵ 直线SO在平面SOB内， ∴ AC⊥SO，
∵ SO⊥底面圆O， ∴ SO⊥AB，
∴ SO⊥平面SAB， ∴平面SAB∥底面圆O，
这显然出现矛盾，所以假设不成立。
即AC与平面SOB不垂直。
【注】否定性的 问题常用反证法。例如证明异面直线，可以假设共面，再把
假设作为已知条件推导出矛盾。
例2. 若下列方程：x
2
＋4ax－4a＋3＝0， x
2
＋(a－1)x＋a
2
＝0, x
2
＋2ax
－2a＝0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。
【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均
没有实根。先求出 反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。
【解】 设三个方程均无实根，则有：
1
?
3
??a?
?
22
?
△
1< br>?16a
2
?4(?4a?3)?0
?
?
3
1
?
22
,解得
?
a??1或a?
,即－?
△
2
?(a?1)?4a?0
2
3
?
?
2
?
△
2
?4a?4(?2a)?0
?
?2?a?0
?
?
3
时，三个方程至少有一个方程有实根。
2
【注】“至少”、 “至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。
本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集 R），也可以从正面直接求解，
即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a的取值范围，再将三个范围并 起来，
所以当a≥－1或a≤－

即求集合的并集。两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透
彻。
1
x?1
例3. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝ (其中x∈R且x≠) ，
ax?1
a
证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴； ②.这个
函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。(88年全国理)。
【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻
假设。
【证明】 ① 设M
1
(x
1
,y
1
)、M
2
(x
2
,y
2
)是函数图像上任意两个不同的点，则
x
1
≠x
2
,
x
1
?1
x
2?1
假设直线M
1
M
2
平行于x轴，则必有y
1
＝y
2
，即＝，整理得a(x
1
ax
1
?1
ax
2
?1
－x
2
)＝x
1
－x
2

∵x
1
≠x
2
∴ a＝1， 这与已知“a≠1”矛盾，
因此假设不对，即直线M
1
M
2
不平行于x轴。
② 由y＝
y?1
x?1
得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝，
ay?1
ax?1
即原函数y＝
x?1x?1
的反函数为y＝，图像 一致。
ax?1ax?1
x?1
的图
ax?1
由互为反函数的两个 图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝
像关于直线y＝x成轴对称图像。
【注】对于“ 不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，
容易得到一些性质，经过正确无误的推理 ，导出与已知a≠1互相矛盾。第②问
中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对 反函数求法和
性质运用熟练。