高中数学解题方法谈 线性规划问题新解法

线性规划问题新解法
简单的线性规划问题是高中数学新课标教材的重点内容，也是近年 高考命题的热点．线
性规划问题的常规解法是“截距法”，即利用线性目标函数
z?ax?by (b?0)
的几何意义：“
z
b
az
是直线
y??x?在
y
轴上的截距”来求解．而对于有些线性规划问题．也可以运用新的
bb
视角探究其解法．现以近年高考题为例向同学们介绍，以拓广同学们的解题思路．
一、函数单调性法
?
?
2x?y?4
≤
0，
例1 （高考福建卷）非负实数
x
则
x?3y
的最大值是
，y
满 足
?
x?y?3
≤
0，
?
?
．
解析：在平面直角坐标系中作出不等式组表示的平面区域，如右图．
令
z?x?3y
，由图知，使目标函数
z?x?3y
取得最大值的
点一定在边界
2x ?y?4?0
或
x?y?3?0
上取得．
，
?
2x?y? 4?0，
?
x?1
由
?
解得
?

x?y? 3?0，y?2．
??
（1）当
0
≤
x
≤
1
时，
z?x?3y?x?3(?x?3)??2x?9
，
1]
上为减函数 ，
∴x?0
时，
z
max
?9
； 在
[0，

（2）当
1
≤
x
≤
2
时，
z?x?3y?x?3(?2x?4)??5x?12
，
，2]
上也为 减函数，
∴x?1
时，
z
max
?7
； 在
[1
综上知当
x?0
时，
z?x?3y
有最大值为9．
点评：本解法是将二元一次函数转化为一元一次函数，然后利用函数单调性求解的．既
体现了函 数与不等式的密切转化关系，也说明了线性规划问题的“返璞归真”．
二、待定系数法
?
?
x?y?3
≥
0，
例2 （高考浙江卷）设
z ?x?y
式中变量
x
和
y
满足条件
?
则
z
的最小值
x?2y
≥
0，
?
?
为（ ）
Ａ．1 Ｂ．
?1
Ｃ．3 Ｄ．
?3

解析：令< br>z?x?y?m(x?y)?n(x?2y)?(m?n)x?(m?2n)y
，
1< br>?
m?，
?
，
?
m?n?1
?
3
则
?
解得
?

2
m?2n??1，
?
?n?．
?
3
?
1212
于是
z?x?y?(x?y)? (x?2y)
≥
?3??0?1
，
3333
?
x?y?3 ，
当且仅当
?
时，
z
取最小值1．故选Ａ．
x?2y?0
?

1

例3 （高考江苏卷）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能
出现的亏损．
某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别
为100%和50 %，可能的最大亏损率分别为30％和10％．投资人计划投资金额不超过10万
元，要求确保可能的资 金亏损不超过1．8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万
元，才能使可能的盈利最大？ ?
x?y
≤
10，
?
解析：设投资人分别用x万元、y万元投资 甲、乙两个项目，则由题意知
?
0.3x?0.1y
≤
1.8，
< br>?
x
≥
0，y
≥
0，
?
目标函数
z ?x?0.5y?m(x?y)?n(0.3x?0.1y)
，
，
?
m?0 .3n?1
?
m?0.25，
则
?
解得
?

?
m?0.1n?0.5，
?
n?2.5．
于是
z?0.25(x ?y)?2.5(0.3x?0.1y)
．
显然当且仅当
x?y
与
0.3x?0.1y
同时取得最大值时，
z
最大．
?
x?y?10 ，
?
x?4，
由
?
得
?

0.3x?0. 1y?1.8，y?6．
??
此时
z?x?0.5y?4?0.5?6?7
（ 万元）．
∴
当
x?4，y?6
时，
z
取得最大值． 故投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能确保在亏损不超过1．8万元
的前提下，使 可能的盈利最大．
点评：借助待定系数法求解线性规划问题的一般步骤是：①列出线性约束条件及目标 函数；
②用待定系数法构造变量组合；③解出“=”成立的条件

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