高中数学解题思路大全—组合问题的解决方案

组合问题的解决方案
一、对应思想解组合问题，即所研究的问题对应着某些元素的组合 ．解决此类问题要注意把握每一具
体问题中“对应”的确切含义．

例1(1)圆上有10个点,两两连成弦,这些弦在圆内最多可形成_____个交点.
(2)平面上有4条水平直线,5条竖直直线,能形成矩形______个.
（3）马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以
把 其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不
同 的关灯方法？
（4）如图是由12个小正方形组成的
3?4
矩形网格，一质点
沿网格线从点
A
到点
B
的不同路径之中 条 < br>A
B
解析：(1)每一个交点对应着两条相交弦，而两条相交弦又对应着圆上4点，故交 点数等于从圆上的10个
点中取4点的方法数，为
C
10
个.
22
(2) 每一个矩形对应着两条水平直线和两条竖直直线，所以形成的矩形数等于
C
4
?C
5
个.（3）把问题想象
4
成在可以移动的10盏 灯中关掉3盏灯后剩下7盏灯，在7盏灯产生的6个空位中选出3个位置安排移走
的3盏灯（为熄灭的灯 ）所对应的方法数，为
C
6
种；
（4）相邻两点算作一步，则从点
A
到点
B
的最短路径对应着7步，其中横向安排4步、纵向安排3步，
4所以最短路径对应着7步中安排4步横向走的方法数,有
C
7
?35
．
3
附：1、（2004湖北文科）将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，… ，10的10个盒子里，
每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数 为（ ）
．
A．120 B．240 C．360 D．720
解析： 每一种符合要求的方法对应着10个位置选定7个对号安排和余下3个位置的完全不对号安排，10
个位 置选定7个的方法数为
C
10
种，3个位置的完全不对号安排有2种，故总数为
C
10
?2?240
种．故选
（ B ）．
2、（2001全 国，16）圆周上有2n个等分点（n＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 . 解析：每一种符合要求的方法对应着选定一条直径的两个端点和在余下的2n-2个点中选择1点，方法数< br>为
C
n
?
?
2n?2
?
?2n
?< br>n?1
?
种．
1
77
二、至多至少组合问题:即分类后某元 素个数满足至多多少个或至少多少个的要求的组合问题.可分类
或用间接法,体会两者是可以相互转化的 ．此类问题一定要注意避免不完全分组会产生重复造成记数出错．

例2、某 班有54位同学，正、副班长和学习委员各1名，现选派6名同学参加某课外小组，在下列各
种情况中， 各有多少种不同的选法？
（1）正、副班长和学习委员至少有一人入选
（2）正、副班长和学习委员至多有一人入选
解析：（1）正、副班长和学习委员至少一人入 选可分为只有一
人入选、有两人入选和三人都入选三类，方法数为
15433
C
3
?C
51
?C
3
2
?C
51
?C3
?C
51
，本题也可用间接法：没有任何限
制的选法为
C54
，而不符合要求即正、副班长和学习委员都不
666
入选的方法数为
C
51
，所以满足题目要求的选法数为
C
54
?C
51；
6
对本题的进一步理解：从54人中选出题目要求的选法可画图理解为如图的分类，由此 可见本题既可用
直接分类法也可用间接排除法解决，这对至多至少组合问题具有一般性．
（2 ）由以上分类易知正、副班长和学习委员至多有一人入选包含两类:3人均不入选和3人中恰有1人
入选 ，则满足要求的方法数为
C
51
?C
3
C
51
.

附：1、(2005全国卷Ⅰ)从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名 女生，则不同的选
法有 种．
解：此题是典型的“至多至少组合问题”，可分 类（以选出3人中包含女生的人数分为3类），共有
121333
C
4
?C< br>6
2
?C
4
?C
6
?C
4
?100
种，或用间接法为
C
10
?C
6
?100
种．
615
2、（2005浙江卷）从集合{ P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6 ，7，8，9}中各任选2个元素排成一
排(字母和数字均不能重复)．每排中字母Q和数字0至多只能 出现一个的不同排法种数是_________．(用
数字作答)．
解：此题为“至多至少组 合问题”，计算出满足要求的2字母和2数字的组合的总数（采用间接法）为
221122114
C
4
?C
10
?C
3
?C
9
种，故不同 排法种数是
(C
4
?C
10
?C
3
?C
9
)?A
4
?5832
种．

三、分组搭配组合问题:即对 某些元素按一定要求分组或按一定要求分配的问题.要掌握平均分组和不
平均分组的处理方法；注意对平 均分组又分配和不平均分组又分配的两种处理方法—--“先分（分组）后
给（分配）”和“边分（分组 ）边给（分配）”的把握．
例3、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法或分法：
(1)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(2)分为三份，每份两本；

(3)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
(4)分给甲、乙、丙三人，每人两本；
⑸分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
解析：(1)此为不平均分组的题目，只须按三个步骤分别选出1本的一份、2本的一份和3本的一份即可，123
方法总数为
C
6
?C
5
?C
3
种；
(2) 此为平均分组的题目，只须先假定三个位置A、B、C，每个位置安排2本书，按三个步 骤分别选出2
222
本安排在A、B和C，共有
C
6
?C
4
?C
2
种方法，而此题为平均分组，上述算法已对每一分组在A、B、C
22 2
C
6
?C
4
?C
2
三个位置进行了排列，故满足 要求的平均分组为种；(3) 此为不平均分组又分配的题目，可
3
A
3
12 3
采用先分组后分配的方法，即第一步分组共有
C
6
?C
5
?C
3
种方法，第二步每一种分法得到的3组分给甲、
3
1233
乙 、丙三人的方法都是
A
3
种，故采用先分组后分配的方法得分配方法共
C6
?C
5
?C
3
?A
3
种；本题也可采
用“边分边给”的方法解决，即先选出1本书并将这本书分配给1人的方法数为
C
6
?C
3
种，再选出2本书
21
并将这2本书分配给1人的方法数为
C
5
?C
2
种，第三步选出3本书并将这3本书分配给1人的方法数为
31112131
C
3
?C
1
种，故采用“边分边给”的方法得方法 总数为
C
6
?C
3
?C
5
?C
2
?C
3
?C
1
种；(4)此为平均分组又分配
11
222< br>C
6
?C
4
?C
2
3
的问题，可采用“先分 （分组）后给（分配）”得方法数为种；若采用“边分（分组）边
?A
3
3
A
3
给（分配）”的方法理解本题可分三步完成：甲分得2本书、乙分得2本书、丙分得2本书， 方法数为
2
C
6
2
?C
4
?C
2
2
种；
4312322
⑸先分类再结合上述解法得方法数为
C
6< br>?A
3
+
C
6
?C
5
?A
3
+
C
6
?C
4
种．
例4、3名司机和6名售票员分别分 配到3辆不同的公交车上,每辆车上1名司机2名售票员,分配方法共多
少种?
解析：将问题 分两步：对3名司机和6名售票员分为3组，每组1名司机和2名售票员，先假定司机不动，
222则分组方法为
C
6
?C
4
?C
2
种，再对每一 分法分得的3组在3个位置（3辆不同的公交车）进行排列得分
2223
配方法共有
( C
6
?C
4
?C
2
)?A
3
种；若采用边 分边给的方法则分3步完成：第一、二、三辆公交车分别选
1名司机2名售票员,分配方法共
C
6
?C
3
?C
4
?C
2
?C
2< br>?C
1
种．
附：1、（2005北京卷）北京《财富》全球论坛期间，某高校 有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、
中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当 天不同的排班种数为( )
?
21
??
21
??
21
?

124
C
14
C
12
C< br>8
4
12443
CCCA
3
（A）
CCC
（B）
CAA
（C） （D）
141 28
3
A
3
12
14
4
12
4
8
12
14
4
12
4
8

解析：本题是典型 的分组搭配问题（平均分组），注意对该类问题的两种处理方法—--“先分（分组）后
给（分配）”和 “边分（分组）边给（分配）”的把握．在解答本题时请仔细体会“边分（分组）边给（分
配）”的运用 ．答案为(A ).
2、（2005湖北卷）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影 票全部分给4个人，每人至少分
1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ）
A．168 B．96 C．72 D．144
解析：本题是典型的分组搭配问题 （不平均分组），注意对该类问题的两种处理方法—--“先分（分组）
后给（分配）”和“边分（分组 ）边给（分配）”的把握．本题把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，
6的电影票分为4组的方 法数为6种，每一种分组的分配方法均为
A
4
，故本题的方法数为
6?A4
种．故选
（D）．请仔细体会“先分（分组）后给（分配）”的运用．
3、（ 2005江苏卷）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同
一 仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、
③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 ( )
（A）96 （B）48 （C）24 （D）0
解析：本题是典型的分组搭配问题（平均分组），本题适用“先分（分组）后给（分
配）”法，没有公共顶点的两条棱一组的分组有（PA，BC）、（PB，CD）、（PC，
AD）、（ PD，AB）或（PA，CD）、（PB，DA）、（PC，AB）、（PD，BC）共
2大组，而每大 组的4小组在4个位置的分配就是4个元素在4个位置的全排列，所以安全存放的不同方
4
法种 数为
2?A
4
?48
种．故选( B)．
44