高中数学解题方法之设而不求(含答案)

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设而不求法
例1、一家火车车票售票点共有三个售票 窗口，每个窗口售票速度相同，在门口保安以固定
速度放旅客进入售票大厅，在售票窗口打开以前的早晨 6点20分，保安就按此速度开始放
旅客进入大厅，售票窗口打开后，若同时打开2个窗口，8分钟后大 厅内所有旅客能买到票，
若同时打开3个窗口，则5分钟后大厅内所有旅客能买到票。则售票窗口打开的 时间是多少？
解：设保安每分钟放X名旅客进入大厅，每个窗口每分钟售票Y张，打开售票窗口时大厅
内已经有m名旅客。则依题意得
?
?
m?8x?16y
?
y ?3x
m
?
?
??40
，
x
?
m?5x ?15y
?
m?40x
即从6点20分钟开始放旅客进入大厅后，经过40分钟后才打 开售票窗口，
因此打开售票窗口的时间是7点。
点评：本题中，共设有三个未知数X、Y、 m，而这三个未知数的值均不需要求出，就可以
得到问题的结果。这种解题方法就叫设而不求法。 例2、一项工程一批工人共同完成需工作9小时，若先安排了1人去做之后每隔
t
小时（< br>t
为
整数）增加1人直到工程完工；结果最后一人的工作时间恰好是第一人工作时间的< br>1
。求第
5
一人工作几小时？
解：设最后一人工作x小时，共有n个 人，则从最后一人至第一人工作时间依次为
x,x?t,x?2t,
?
?
?< br>x?(x?t)?
?
?
,x?(n?1)t
。于是由题意得：
x?(n?1)t?5x
?
(n?1)t?4x
?
?
?
2 x?(n?1)t
?x?3

n[2x?(n?1)t]
?[x?(n?1) t]??9n?9
?
2?2
于是第一人工作
x?(n?1)t?5x?15< br>（小时）。
点评：本题中设了三个求知数x、t、n，则字母t、n的值不需要求出来，就可以 使问题得到
解决。
例3、王老师预计用3000元购买一批白粉笔和彩色粉笔，而甲厂的两种 粉笔每盒都比王老
师的预算多1元，若少买20盒白粉笔，仍超支70元；乙厂的两种粉笔每盒都比王老 师的预
算多
0.5
元、若少买卖2盒白粉笔，仍超支60元；问王老师预计购买两种粉 笔共多少盒？
解：设王老师预计购买x盒白粉笔，y盒彩色粉笔，白粉笔价格为每盒a元，彩色粉笔价 格
为每盒b元。依题意得。
ax?by?3000
?
?
(x?y) ?20a?90
?
x?y?350
?
(x?20)(a?1)?(b?1)y ?3070??

???
?
(x?2)(a?0.5)?y(b?0.5)? 3060
?
0.5(x?y)?2a?61
?
a?2
?
点评 ：本题中设了四个未知数x、y、a、b、而x、y、b的值不而要求出来就解决了问题。
例4、某厂 有九个车间，现在每车间原有成品一样多，每天每个车间生产的成品也一样多；
有A、B两组检验员，A 组有8名检验员，他们先用2天将第一、二两个车间的所有成品（包
括原有的成品和后来生产的成品）检 验完毕后，再去检验第三、四车间的所有成品，又用去
3天；同时用这5天时间，B组也检验完余下5个 车间的所有成品。若每个检验员的检验速
度是一样快，求B组检验员的人数。
1

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解：设每个车间原有x件成品，每个车间每天生产y件 成品，每个检验员每天检查m件成
品，B组检验员的人数为n。则依题意得：
16m
?
2x?4y
?
?2mx?
??
83
x?2y?8m
?
??
4m
?
2x?10y
??

?3m?x? 5y?12m?y?
???
83
??
x?5y?nm
?
?< br>?
5x?25y
?
n?12
?5m
??
n
? ?
点评：本题中设有四个未知数x、y、m、n，而x、y、m的值不需要求出就解决了问题。 例5、甲乙两车在一个环形跑道内进行耐力测试，两车从现一地点同时起步后，乙车速度超
过甲车速 度，在第8分钟时甲车开始提速，在第12分钟时甲车追上乙车并开始超过乙车，
在第17分钟时，甲车 再次超追上乙车。已知甲乙两车均匀速行驶，若甲车不提速，乙车首
次超过甲车是在第几分钟？
解：设甲车没提速时的速度为
V
甲
，甲车提速后的速度为
V
甲?
，乙车的速度为
V
乙
，环形跑道
长为
S
米， 若甲车不提速，乙车首次超过甲车是在第n分钟。依题意得：
?
8(V?V)?4(V?
?V)
乙
甲
?
乙
甲
?
V
甲
?
?V
乙
?2(V
乙
?V
甲
)
? ?
5(V
甲
?
?V
乙
)?S?
?

?
??
n(V
乙
?V
甲
)?5(V
甲
?
?V
乙
)
?
n(V
乙
?V
甲
)? S
?
?
?n(V
乙
?V
甲
)?10(V
乙
?V
甲
)?n?10

点评：本题中设有五个未知数
V甲
、
V
甲
?
、
V
乙
、
S、n，而
V
甲
、
V
甲
?
、
V
乙
、
S
的值不需要求
出就解决了问题。
例6、【牛吃草问题】：牧 场上有一片青草，每天都在匀速地生长，这片青草可供10头牛
吃20天，或者可供15头牛吃10天。 如果有25头牛来吃，那么可以吃多少天？
解：设牧场原有草量为m，每天牧场生长的草量为n,每头 牛每天吃的草量为x，25头牛可
?
m?20n?200x
?
m?100x< br>??
以吃y天。则
?
m?10n?150x?
?
n?5x，答：25头牛可以吃5天。
?
m?yn?25nx
?
y?5
??
点评：本题中共设有m、n、x、y共4个变量，其中m、n、x都无法求得值，只有y能求得。
巩固性题组
1、某商店有甲乙两种糖果，购买2kg甲种糖果的钱可以购买3kg乙种糖果， 市场调查发现，
将两种糖果按一定比例混合后销售，可得较好销售效果。现在糖果售价有了调整，甲种糖 果
上涨
30%
，乙种糖果下跌
10%
，若混合后的售价要保持不变， 则甲、乙两种糖果的混合比
例是多少？
2、某人经营甲乙两种商品，每件甲种商品的利润率为
40%
，每件乙种商品的利润率为
60%
，
当售出的乙种商品的件 数比甲多50%件时，此人所得总利润率为
50%
，若此人售出的乙种
商品的件数比甲 种商品少50%件时，此人所得的总利润率为多少？
3、某厂生产冬装，9月份销售每件冬装的利润是 出厂价的25%（每件冬装的利润=出厂价
?
2

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成本），10月份每件冬装的出厂价降10%（成本不 变），销售件数比9月份增加80%，则
10月份销售的利润总额比9月份的利润总额增长的百分率是多 少？
4、云南大旱，某水库每天流入定量的水，按原来的放水量，水库中的水可使用80天，但因干旱，现在流入量减少了20%，若在放水量不变的情况下只能用60天，若仍需使用80天，
则每 天的放水量要减少百分之几？
5、甲乙两人同时从圆形跑道上同一点出发，沿顺时针放向匀速跑步，过 一段时间后，甲第
一次从背后追上乙，这时甲立即转身，以原来速度逆时针方向跑去，当两人再次相遇时 ，乙
恰好跑了4圈。则甲的速度是乙的速度的几倍？
6、小王骑车在环城路上行驶，每隔4分 钟有一辆公交车从对面驶来，每隔16分钟又有一辆
公交车从后面开过，若公交车是匀速行驶，且不计乘 客上下车的时间，则公交车每隔多少分
钟发一辆车？
巩固性题组答案：
1、 解：设甲种糖果的售价是每千克a元，则乙种糖果的售价是
m千克乙种糖混合，销售的效果好。依题意得
2a
元，设1千克甲种糖与
3
a?
2a2a
m(1?30% )a?(1?10%)m
33
??m?4.5

1?m1?m
答：甲、乙两种糖果的混合比例是2：9
2、 解：设甲、乙两种商品 每件的成本分别是m元，n元。总利润率为50%时，甲、乙两种
商品分别销售了x件，y件。由题意可 得
?
40%mx?60%ny
?50%
?
mx?ny
3< br>?
mx?ny
??m?n

??
2
?
y?x (1?50%)
?
y?x(1?50%)
?
又设乙种商品比甲种商品少销售5 0%件时，甲销售了a件，乙销售了b件，
所得的总利润率为Z，则
?
40%ma? 60%nb
?z
?
(z?0.4)ma?(0.6?z)nb
?
?< br>?
am?bn
?
b?(1?50%)a
?
?
b?(1 ?50%)a
?
?(z?0.4)
31
?(0.6?z)?z?0.45
22
答：当此人售出的乙种商品的件数比甲种商品少50%件时，此人所得的总利润率为45%
3、 解：设9月份每件冬装出厂价为a元，则9月份每件冬装利润为0.25a元,成本为0.75a
元。再设9月份的销售件数为x件，则10月份销售件数为1.8x件，每件冬装出厂价为
0. 9a元，每价装利润为0.15a元，成本仍为0.75a元。依题意，10月的销售利润比9月
份的利 润总额增长的百分率为
1.8x0.15a?x0.25a
100%?8%

x0.25a
点评：本题设了未知数x，a，但未求x与a的值，就得到了结果。
4、 解：设原来水库存水量为m，原来每天流入水量为x，原来每天放水量为y，依题意得：
80x?m?80y
??
y?1.6x

?
??
?
60(1?20%)x?m?60y
?
m?48x
3

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若干旱时仍需使用80天，则每天的放水量应为Z，则
80(1?20%)x?m?80Z?Z?1.4x?
答：每天的放水量要减少数12.5%.
y?z1.6x?1.4x
??12.5%

y1.6x
5、解：设 圆形跑道长一圈长为S，甲，乙二人的速度分别为
V
甲
、
V
乙
，甲顺时针方向跑的
时间为
t
1
，甲逆时针方向跑的时间为
t2
，依题意得
?
(V
甲
?V
乙
)t
1
?S
1?17
1?17
?
(V?V)t?S?V?V
，即 甲的速度是乙的速度的倍。
?
甲
乙2乙
甲
4
4
?
V(t?t)?4s
?
乙12
6、解：设小王的行驶速度是
v
1
，公交车的行驶速度是
v
2
，公交车每隔
t
分钟发一辆 车
则
4(v
2
?v
1
)?16(v
2
? v
1
)?v
2
t?t?
答：公交车每隔

32

5
32
分钟发一辆车。
5
4