高中数学解题方法谈：例谈复数解题中的几种常用方法

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复数解题规律总结


一．利用复数的代数形式
由复数的代数形式
z?x?yi(x,y?R)
，以代入法解题是最基本而常用的方法． 例１．若复数
z
满足
|z|?z?
10
，则复数
z等于（ ）
1?2i
A．
?3?4i
B．
?3?4i
C．
3?4i
D．
3?4i

解答：设
z?x?yi(x,y?R)
，则有：
z?x?yi(x,y?R)

代入并且化简得：
x
2
?y
2
－（
x?yi)＝
2?4i

由复数相等的充要条件得：
?
?
x
2
?y
2
?x?8

?
解得：
x?3,y?4
，故答案为D．
?
?
y?4

二．利用复数相等的充要条件
在复数集
C?
?
a?bi|a,b?R
?
中，任取两个数
a?bi, c?di
（
a,b,c,d?R
），
则有
a?bi?c?di
?a?c且b?d

两复数相等的充要条件是解有关 复数题的“万宝囊”，特别是新教材更突出
了以复数相等的充要条件解题．
例２．设存在复数
z
同时满足下列条件：
（1）复数在复平面内对应的点位于第二象限；
（2）
zz?2iz?8?ai(a?R)

求
a
的取值范围．
解答：设
z?x?yi(x?0,y?0)
代入
zz?2iz?8?ai
得

x
2
?y
2
?2y??2xi?8?ai

由复数相等的充要条件得：
?
x
2
?y
2
?2y?8

?

?
2x?a
a
2
由此得实系数方程为：
y?2y??8?0

4
2
方程有正实解（
y?0
）的充要条件得：
.

.
a
2
a
2

??4?4(?8)
?0
①，且
?8?0
②
44
解①得
?6?a?6
，解②得
a??42或a?42

又
x?0
③
由①、②、③可得：
?6?a??42

?
因此，实数
a
的取值范围是
?
?
?6,?42
?


三．利用复数除法法则以及虚数
i
的运算性质
a?bi
1．形如，可以乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”；
c?di
2．
i
的乘方规律：
i
2
??1,i
3
??i, i
4
?1
LL

3．特殊式的化简：
(1?i)
2
?2i,(1?i)
2
??2i
；
例３．（由2005年重庆理2改 ）．
(
A．
－1
B．－
i

1?i1?i
?i
，
??i

1?i1?i

1?i
2005
＝ （ ）
)
1?i
C．
2
2005
D．－
2
2005

1?i(1?i)
2
?
解答：因为＝
i

1?i1
2
?1
2
所以
(
1?i
)
2005
＝
i
2006
＝(i
2
)
1003
＝
(?1)
1003
??1

1?i
故答案A

四．利用共轭复数
复 数
a?bi
与复数
a?bi
（
a,b
是实数）是一对互为共 轭复数．
例４．若
3?2i
是方程
2x
2
?bx?c ?0(b、c?R)
的一个根求
c
的值．
解答：因为
b,c
是实数，所以两根之和是实数，两根之积是实数；
又因为
3?2i
是方程的一个根，因此满足条件的另一个根必定是它的共轭复
c
数< br>3?2i
，因此，
(3?2i)(3?2i)?
解得
c
＝26
2
另解：把
x?3?2i
代入方程得
3b?c?10?(24?2b)i?0
，根据复数的相等
得
3b?c?1 0?0
且
24?2b?0
，解得
c?26

例５．若
z
1
?a?2i
,
z
2
?3?4i
，且
z
1
为纯虚数，则实数a的值为 ．
z
2
.

.
解答：
z
1
a?2i
(a?2i)(3?4i)3a?8?(6?4a)i
＝＝
?
22
z
2
3?425
3?4i
因为
8
z
1
为纯虚数，所以
3a?8?0
，得
a?
z
2
3
注：①两共轭复数的积：（
a?bi
）（
a?b i
）＝
a
2
?b
2

②复数
a?bi为纯虚数的充要条件是其实部
a?
０，虚部
b?0

例６．若
z
1
,z
2
?C
，则
z
1
z2
?z
1
z
2
是（ ）
A．
纯虚数
B．实数 C．虚数 D．不能确定
解答：若一个数的共轭复数是它的本身，则这个数是实数．
由
z
1
z
2
?z
1
z
2
＝
z
1
z
2?z
1
z
2
可知
z
1
z
2
? z
1
z
2
为实数
故答案B

五．利用复数的几何意义
1．利用复数的模
复数
z?a?bi
的模
|z|?a
2
?b
2

(4?3i)
2
(?1?2i)
10
例７．已知
z?
，求
|z|

12
(1?i)
(4 ?3i)
2
(?1?2i)
10
|4?3i|
2
g|?1? 2i|
10
解：
|z|
＝
|

|
＝< br>1212
(1?i)|1?i|
5
2
?3
5
6065
＝＝
2
6
64
注：如果先化简再求模就会增大计算量．
２．利用复数加法及减法的几何意义
（1）复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则进行运算．
例８．设复数
z
1
,z
2
满足
|z
1
|?|z
2
|?2,| z
1
?z
2
|?23
，求
|z
1
?z2
|

解：根据题意
画出如图所示的平行四边形
2
2
?2
2
?(23)
2

cos?OBC?

2?2?2
A
ur
z
1

uruur
z
1
?z
2

C
＝－
1

2
O
uur
z
2

B
.

.
所以，
cos?AOB?
1
2

因此，
AB
2
?2
2
?2
2
?2?2?2COS?AOB
＝４
AB＝2
得，
|z
1
?z
2
|
＝2

（2）复数减法以及复数模的几何意义
例9．复数
z
的模为1，求
|z?(1?i)|
的最大值和最小值． 解法一：（几何法）由题设
|z|?1
表示了以原点为圆心以一为半径的
圆，|z?(1?i)|
表示了圆上的点到A（1，1）的距离（如图）．
由于点Ａ到原点的距离是
2
，
y
A
因此圆上的点到圆心的最大距离
是
2
＋1，最小距离是
2
－1．




o

1
x

图１
解题评注：此题如果以代数法，设
z?x?yi
，以二次函数法解就会非常麻烦．
六．利用复数与实数的类比关系
例10（见例9）解法二．不等式法
可以证明不等式：
|
|z
1
|?|z
2
|
|?|
z
1
?z
2
|?|z
1
|?|z
2
|

|
|z|?2
|
?|z?(1?i)|?|z|?2

又：
|z|?1
，
|1?i|?2

所以：
2?1?|z?(1?i)|?2?1

于是：
|z?(1? i)|
的最大值和最小值分别是
2
＋1和
2
－1．
注：此题主要考察了把复数与实数类比得到的不等式的性质．此
解法简捷易懂．
我们看到上面的解题方法互相关联，因此在解题时．要注意灵活解
题，综合运用所学知识．

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