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高中数学解题方法系列:函数中恒成立问题解题策略

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 22:36
tags:高中数学解题方法

高中数学如何说课稿-高中数学理科必修一知识点总结

2020年9月17日发(作者:费晴湖)


高中数学解题方法系列:函数中恒成立问题解题策略
函数的内容作为高中数学知识体系 的核心,也是历年高考的一个热点.函数
类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立 问题,在高中数
学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与
对数函数等函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思
想方法,有利于考查学生 的综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面
起到了积极的作用.
恒成立问题在解题 过程中有以下几种策略:①赋值型;②一次函数型;③二
次函数型;④变量分离型;⑤数形结合型.
现在我们一起来探讨其中一些典型的问题.
策略一、赋值型——利用特殊值求解
等式中的恒成立问题,常常用赋值法求解,特别是对解决填空题、选择题能
很快求得.
例1.由等式x
4
+a
1
x
3
+a
2
x
2
+a
3
x+a
4
= (x+1)
4
+b
1
(x+1)
3
+ b
2
(x+1)
2
+b
3
(x+1)+b
4 < br>定
义映射f:(a
1
,a
2
,a
3
,a4
)→b
1
+b
2
+b
3
+b
4,则f:(4,3,2,1) → ( )
A.10 B.7 C.-1 D.0
略解:取x=0,则 a
4
=1+b
1
+b
2
+b
3
+b
4
,又 a
4
=1,所以b
1
+b
2
+b
3
+b
4
=0 ,故选D
?
例2.如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象 关于直线x=
?
对称,那么
8
a=

).
?
A.1 B.-1 C.
2
D. -
2
.略解:取x=0及x=
?
,则
4
?
f(0)=f(< br>?
),即a=-1,故选B.
4
此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.
策略二、一次函数型——利用单调性求解
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0), 若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0,则根
据函数的图象(线段)(如下图) 可得上述结论等价于
?
a?0
?
a?0
?
f(m)?0< br>ⅰ)
?
,或 ⅱ)
?
可合并定成
?
< br>f(m)?0f(n)?0f(n)?0
???
?
f(m)?0
同理, 若在[m,n]内恒有f(x)<0,则有
?

?
f(n)?0
y y




x x
o m n o m n


例3.对于满足|a|
?
2的所有实数a,求使不等式x
2
+ax+1>2a+x恒成立的x
的取值范围.
分析:在不等式中出现了两个字母:x及a ,关键在于该把哪个字母看成是一


个变量,另一个作为常数.显然可将a视作自变量,则 上述问题即可转化为在[-2,
2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.
解:原不等式 转化为(x-1)a+x
2
-2x+1>0在|a|
?
2时恒成立,
设f(a)= (x-1)a+x
2
-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0,故有:
2
?
x?3或x?1
?
f(?2)?0
?
?
x?4x ?3?0

?
2
解得:
?

?
f(2)?
x?1或x??1
?
?
?
?
x?1?0
∴x<-1 或x>3. 即x∈(-∞,-1)∪(3,+∞)
此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n] 上的图象是一线段,故只需保
证该线段两端点均在x轴上方(或下方)即可.
策略三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解
对于二次函数f(x)=ax
2
+bx+c=0(a≠0)在实数集R上恒成立问题可利用判别
式直接求解,即
f(x)>0恒成立
?
?
a?0
;f(x)<0恒成立
?< br>?
?
??0
?
a?0
.
?
?
?? 0
若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系
数的分布知识求解 .
例4. 若函数
f(x)?(a
2
?1)x
2
?(a? 1)x?
取值范围.
分析:该题就转化为被开方数
(a
2
?1)x
2
?(a?1)x?
题,并且注意对二次项系数的讨论.
解:依题意,当< br>x?R时,
(a
2
?1)x
2
?(a?1)x?
所以 ,①当
2
2
的定义域为R,求实数
a

a?1
2
?0
在R上恒成立问
a?1
2
?0
恒成立,
a? 1
a
2
?1?0,
a?1?0,即当{时,a?1,
a?1?0,< br>此时
(a
2
?1)x
2
?(a?1)x?
2
?1?0,?a?1.

a?1
②当
a
2
?1?0时,即当 {时,
2
??(a?1)
2
?4(a
2
?1)?0
a?1
a
2
?1?0,

a
2
?1
{2
?1?a?9,

a?10a?9?0,
综上所述,f(x)的定义域为R时,
a?[1,9]

例5.已知函数
f(x)?x
2
?ax?3?a
,在R上
f (x)?0
恒成立,求
a
的取值范
围.


分析:y?f(x)
的函数图像都在X轴及其上方,如右
图所示:
略解:
?? a
2
?4
?
3?a
?
?a
2
?4a?12 ?0
??6?a?2

变式1:若
x?
?
?2,2
?
时,
f(x)?0
恒成立,求
a
的取
值范围.
分析:要使
x?
?
?2,2
?
时,
f(x)?0
恒 成立,只需
f(x)
的最小值
g(a)?0
即可.
a
?< br>a
2
?
解:
f(x)?
?
x?
?
? ?a?3
,令
f(x)

?
?2,2
?
上的最小值 为
g(a)
.
2
?
4
?
2
⑴当
?
a7
??2
,即
a?4
时,
g(a)?f(?2)?7? 3a?0
?a?

Qa?4

23
?a
不存在.
aa
2
a
⑵当
?2???2
,即
?4?a?4时,
g(a)?f()???a?3?0
??6?a?2
24
2

Q?4?a?4??4?a?2

a
⑶当
??2
,即a??4
时,
g(a)?f(2)?7?a?0
?a??7

Q a??4
2
??7?a??4
综上所述,
?7?a?2
. < br>变式2:若
x?
?
?2,2
?
时,
f(x)?2恒成立,求
a
的取值范围.
解法一:分析:题目中要证明
f(x)?2

?
?2,2
?
上恒成立,若把2移到等号
的左边,则把原 题转化成左边二次函数在区间
?
?2,2
?
时恒大于等于
0的问题.
略解:
f(x)?x
2
?ax?3?a?2?0
,即
f(x )?x
2
?ax?1?a?0

?
?2,2
?
上成
立.

??a
2
?4
?
1?a
?
?0
??2?22?a??2?22

?
??a
2
?4( 1?a)?0
?
f(2)?0
?
?
??5?a??22?2

?
f(?2)?0
?
?
?
a
?2或?
a
??2
?
?22
—2 2
综上所述,
?5?a?22?2
.
解法二:(运用根的分布)


⑴当
?
a5

a?4
时,
g(a)?f(? 2)?7?3a?2
?a??
?
4,??
?
?a
??2
23
不存在.
aa
2
a
⑵当
?2???2
,即
?4?a?4
时,
g(a)?f()???a?3?2

24
2
-22?2?a?22?2??4?a?22?2

⑶当
?
a

a??4
时,
?a??5??5?a??4
g(a)? f(2)?7?a?2

?2

2
综上所述
?5?a?22 ?2
.
此题属于含参数二次函数,求最值时,轴变区间定的情形,对轴与区间的位
置 进行分类讨论;还有与其相反的,轴动区间定,方法一样.
对于二次函数在R上恒成立问题往往采用判 别式法(如例4、例5),而对于
二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值 问题
策略四、变量分离型——分离变量,巧妙求解
运用不等式的相关知识不难推出如下结论 :若对于x取值范围内的任何一个
数都有f(x)>g(a)恒成立,则g(a)m in
;若对于x取值范围内的任何一个数,
都有f(x)f( x)
max
.(其中f(x)
max
和f(x)
min
分别 为f(x)的最
大值和最小值)
例6.已知三个不等式①
x
2
?4 x?3?0
,②
x
2
?6x?8?0
,③
2x
2< br>?9x?m?0
.要使同时满足①②的所有x的值满足③,求m的取值范围.
略解:由①②得2要使同时满足①②的所有x的值满足③,即不等式
2x
2
?9x?m?0

x?(2,3)
上恒成立,

m??2x
2
?9x在x?(2,3)
上恒成立,又
?2x
2?9x在x?(2,3)上大于9,
所以
m?9

例7. 函数f(x)
是奇函数,且在
[?1,1]
上单调递增,又
f(?1)??1
,若
f(x)?t
2
?2at?1
对所有的
a?[?1,1]
都成立,求
t
的取值范围 .
解:据奇 函数关于原点对称,
f(1)?1,

?f(x)在[?1,1]上单调递增f(x)
max
?f(1)?1

?f(x)?t
2
?2at?1< br>对所有的
a?[?1,1]
都成立.因此,只需
t
2
?2at ?1
大于或


等于
f(x)在[?1,1]上
的最大值1, < br>?t
2
?2at?1?1?t
2
?2at?0
又?对所有a? [?1,1]都成立

即关于a的一次函数在[-1,1]上大于或等于0恒成立,
t
2
?2t?0
?{
2
t?2t?0
?t?2或t?0或t ??2
即:
t?(??,?2]?{0}?[2,??)

利用变量分离解决恒成立问题,主要是要把它转化为函数的最值问题.
策略五、数形结合——直观求解
例8.
对任意实数x,不等式x?1?x?2?a恒成立,求实数a
的取值范围.
分析:设y=|x+1|-|x-2|,
对任意实数x,不等式x?1?x?2?a恒成立即转
化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值,画出此函数的图象即可求得a的取值范围.
x??1
?
?3
?
解:令
y?x?1?x?2?
?
2x?1?1?x?2
?
3x?2
?

在直角坐标系中画出 图象如图所示,由图象可看出,
要使
对任意实数

x,不等式x?1?x?2 ?a
恒成立,

a??3
.
?3).
故实数
a 的取值范围是(??,
本题中若将
对任意实数x,不等式x?1?x?2?a恒成立,求实数a
改为①
对任意实数x,不等式x?1?x?2?a恒成立,求实数a
,同样由图象可得 a>3;

对任意实数
画出图象,
x,不等式x?1?x?2?a恒成立,求 实数a
,构造函数,
得a<3.
利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出 符合已知条件的图形,
再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参< br>数的范围.
恒成立的题型和解法还有很多,只要我们充分利用所给定的函数的特点和性
质,具体问题具体分析,选用恰当的方法,对问题进行等价转化,就能使问题获
得顺利解决. 只有这样才能真正提高分析问题和解决问题的能力.

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