高中数学解题方法系列：函数求最值问题的7种方法

高中数学解题方法系列：
函数求最值问题的7种方法

最值问题遍及代 数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛
的应用。最值问题长期是各类考试的热 点，求函数最值常用方法有：
一、配方法
配方法是求二次函数最值或可转化为二次函数的函 数最值的基本方法，形如
F(x)?a[f
2
(x)?bf(x)?c]
的函 数最值问题，均可使用配方法。
x
例1、 已知
f
(
x
)
?
2
?
log
3
,
x?
[1,3]
，求函数
y?
[
f
(
x
)]
?f
(x
)
最值。
22
解
2
：
2
由
x
f
(
x
)
?
2
?
log
3< br>,
x?
[1,3]
， 得
y?[f(x)]?f(x)?(2?log)?2?log

x2xx
?( log
3
)?6log
3
?6?(log
3
?3)
2
?3
。 又函数f(x)定义域[1,3]，所以函数
x2
2
x< br>2
2
1
x
y?[f(x)]
2
?f(x
2< br>)
定义域为
1?x
2
?3
，解得
1?x?3
，所以
log
3
?[0,
]
。由二次
2
函数单调性 得，
6?y?
{
1?x?3
37
37
，所求函数最大值为< br>，最小值为6。
4
4
评注:利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的取值 范围，和对称轴与区间的
相对位置关系。
二、判别式法
主要适用于可化为关于x的 二次方程的函数,把函数转化成关于x的一元二次方程，
通过方程F(x,y)=0有实根，判别式??0
，当x的范围是R时,仅考虑即可,当X的范
a
1
x
2< br>?b
1
x?c
1
(a
2
,a
2
不同
围非R时,还需要结合图形另解不等式。特别的，形如
y?
2
a
2< br>x?b
2
x?c
2
是为0）分子、分母无公因式的函数最值常用此法。
例2、 求下列函数最值
2x
2
?4x?7
3x
（1）< br>y?
2
；（2）
y?
2
。
x?2x?3
x?4
解；（1）由
y?
3x
2
，得
yx?3x?4y?0
。
2
x?4
333
?y?
, 故原函数最小值为
?
，最大
444
当y=0时, x=0; 当
y?0
时,由
??0
得
?

值为
3
。
4
22
（2）将已 知函数式变形为
yx?
2
yx?
3
y?
2
x?4
x?
7
,
即
(
y?
2)
x?< br>2(
y?
2)
x?
3
y?
7
?
0< br>，显然
y?2
，将上式视做关于x的一元二次
方程。
2
?x?R
,即上述关于x的一元二次方程有实根，所以
[2(y?2)]
2
?4(y?2)(3y?7)?0
，
解得?
99
?y?
2
。又
y?2
，函数最小值为
?
。
22
评注:若在解的过程中经过变形,从而扩大了的取值范围,利用判别式求出的 范围后，
应综合函数的定义域,将扩大部分剔除。
三、换元法
主要有三角换元和代 数换元换两种。用换元法时,要特别关注中间变量的取值范围。
特别的，形如
y?ax?b?c x?d(a,b,c,d
均为常数，且
a?0
）的函数常用此法求解。
例3、 求函数
y?2x??2x?1
最小值。
1?t
2
155
解：令
t?1?2x(t?0)
，则
x?
，则
y??t
2
?t?1??(t?)
2
??
，
2
244
所以，所求函数最小值为
5
。
4
注：（ 1）换元前后的等价性。题中
t?1?2xt?0
，而不是看解析式有意义的t取
值范 围；
（2）换元后可操作性。
1?x?2x
2
?x
3
?x
4
例4 、 求函数
y?
的最大值和最小值。
1?2x
2
?x
4
?
1?x
2
?
1?2x
2
?x
4
x?x
3
x
?
?
??
解:
y?
，令x=tan， 则
?
2424
2
?
2
1?2x?x1?2x?x
2
?
1?x
?
1?x
2
11
1
?
17
?
f(x)=f(θ)=
cos
2
?
?sin
?
??sin
2
?
?sin
?
?1
??
?
sin
?
?
?
?
，
22
416
??
2

∴
当sinθ=
1171
时,
f(x )
最大值为，当sin=-1时,
f(x)
最小值为
?
。
4162
四、数形结合法
主要适用于具有几何意义的函数,通过函数的图象求最值。
例5、 已知x
+y-2x+4y-20=0求x+y
的最值。
分析:本题 已知条件转化为(x-1)
+(y+2)=25,可用三角代换转化为三角函数最值问
题处理, 也可借助几何图形数形结合处理。
解: 作x+y-2x+4y-20=0的图形,它是圆心在P(1 ,-2)半径为5的圆,依题意有
x+y=2x-4y+20,设x+y=z,则z=2x-4y+20 即
y?
2222
22
22
2222
120?z1
, 其图形是斜率为
且与已知
?
242
圆相交的一簇平行线,于是求z的最值问题 就是求这簇平行线中在y轴的截距最大或最小
问题。由平面几何知识知,圆心P(1,-2)到切线2x -4y+20-z=0的距离小于或等于半径,即
|2?1?4?(?2)?20?z|
2?( ?4)
22
22
?5
，即
|30?z|?105
，故
30?105?z?30?105
，故
x+y最小值为
z
1
?30 ?105
，最大值为
z
2
?30?105
。
五、函数的单调性法
（1）关于自变量x的一次根式，如
y?ax?b?dx?c< br>，用换元法求解,当ad>0时，
也可利用单调性求最值；；（2）形如
y
?< br>x
?
k
(k?0)
的函数常考虑利用单调性，当x>0
x时，函数单调减区间
(0,k]
，单调增区间为
[k,??)
，因其函数 图象形如“√”，故称为
对号函数，其分界点为
(k,2k)
。对于x<0情况，可依 据函数奇偶性解决；（3）复合
函数的最值，常用此法求解。
x
2
?2x?
例6、求函数
y?
x
1
2
,
x?[1,??)的最小值。
x
2
?2x?
解：由
y?
值为
f (1)?
x
1
2
?x?
1
?
2
在
[1,??)
上是增函数，得f(x)在
[1,??)
上最小
2x
7
。
2
?2x?1
的最小值 例8、求函数
y??x?
解： 设
y
1
??
x,y
2
?
1
?
2x
，
?y
1
,y
2
均为减函数，所以y也是减函数。又

y??x??2x?1
定义域为
1?2x?0
，即
x??
数最小值为
?
111
。当
x?
时，
y
mi n
??
，故原函
222
1
。
2
例7、求函数y?
??
?
1
?
?
3
?
?x
2
?x?
9
4
的最小值。
991
?
1
?
解：设
u??x
2
?x?
，则
y?
??
。 由
u??x
2
?x???(x?
)
2
?
2
，知 当
442
?
3
?
x?
11
?
1?
?
1
?
时，u为减函数；当
x?
时,u为增函数，而
y?
??
为减函数，故
y?
??
22
?
3
?
?
3
?
u
u
?x
2
?x?9
4
在
x?
111
时为增函数，在
x?
时为减 函数，所以
x?
时，原函数最小值为
222
?2
y
min< br>?
1
?
?
??
?
3
?
?9
。
六、不等式法运用不等式法求最值必须关注三个条件即”一正、二定、三相等”．
ax
2
?x?1
例8、求函数
y?
(x>-1 ，a>0)的最小值。
x?1
ax
2
?x?1
aa
解:< br>y?
=
ax??(1?a)?a(x?1)??1?2a

x?1
x?1x?1
?2a(x?1)?
七、导数法
a
a
?1?2a?1
，当
a
(
x?
1)
?
,即 x=0时等号成立,
x?1
x?1
=1。
设函数f(x)在[a,b]上连 续在(a,b)上可导,则f(x)在[a,b]上的最大值和最小值应
为f(x)在(a,b)内的各 极值与f(a),f(b)中的最大值和最小值。
例9、 动点P(x,y)是抛物线y=x-2x-1上的点,O为原点,当x=2时，
OP
2
取
2
得极小 值,求
OP
2
的最小值。
解:
OP
2
=x+y=x+( x-2x-1)=x-4x+3x+4x+1，令f(x)= x-4x+3x+4x+1,
2222 2432432
则
f
?
(x)
=4x
-12x+6x+4= 4(x-2)(x-
32
1?31?3
)(x-,
22
令
f
?
(x)
=0,得x=2,
1?31?3
,
22

??
1?31?3
? ?
1?3
?
1?3
?
?
??,
?
?
1?3

?
?
2
,
2
?
?
1?3

?
?
2
,2
?
?
2 x
?
2
??
2
????
2

f
(x)
f(
x)
- 0 + 0 - 0
极小
值
(2,
??
)
+
]

极小值
Z

极大值
]

Z

因定义域为R,故所求最小值为两个极小值中较小的一个,f(
f(2)=5,故f(x)的最小值，即
OP
2
的最小值为

1?3
11?63
)=
，
4
2
11?63
。
4