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高中数学解题方法系列:数列中周期数列的解题策略

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 22:40
tags:高中数学解题方法

高中数学正态分布的均值计算-高中数学表面积体积

2020年9月17日发(作者:廖理)


高中数学解题方法系列:数列中
周期数列的解题策略

我们在学习函数 时,通常会围绕着函数的单调性、奇偶性和周期性进行研究;那么,数
列作为一种特殊的函数,它是否有 周期性呢?有周期性的数列又有哪些特点呢?
1、周期数列的概念及主要性质
类比周期函数 的概念,我们可定义:对于数列
{
a
n
}
,如果存在一个常数
T
(T?N)
,使得
对任意的正整数
n?n
0
恒有
a
n?T
?a
n
成立,则称数列
{
a
n
}
是从第
n
0
项起的周期为
T
的周
期数列.若n
0
?
1
,则称数列
{a
n
}
为纯周 期数列,若
n
0
?2
,则称数列
{a
n
}
为混周期
数列,
T
的最小值称为最小正周期,简称周期.
通过周期数列的定义以及所学过的周期函数的性质,发现周期数列满足以下性质:
(1)如果
T
是数列
{
a
n
}
的周期,则对于任意的
k?N
?

kT
也是数列
{a
n
}
的周期 .
(2)若数列
{
a
n
}
满足
a
n?a
n?1
?a
n?2

n?N
?
,且
n?2
),则6是数列的一个周期.

(3)已知数列
{
a
n
}
满足
a
n?t
?a
n

n,t?N
,且
t
为常数),
S
n
分别为
{a
n}
的前
n
项的
和,若
n?qt?r

0?r? t

r?N
?
),则
a
n
?a
r

S
n
?qS
t
?S
r

特别地:数列
{
a
n
}
的周期为6,(即:
a
n?6
? a
n
)则
S
2012
?335S
6
?S
2

(4)若数列
{
a
n
}
满足
a
n
?a
n?k
?s
(n?k,n?N)
,则数列
{a
n
}
是周期数列;
若数列
{
a
n
}
满 足
a
n
?a
n?1
???a
n?k
?s
( n?k,n?N)
,则数列
{a
n
}
是周期数列.
若数列
{
a
n
}
满足
a
n
?a
n?1< br>???a
n?k
?s
(n?k,n?N,s?0)
,则数列
{ a
n
}
是周期数列.
特别地:数列
{
a
n}
满足
a
n
?a
n?1
?s
(n?k,n?N )
,则数列
{a
n
}
周期T=2;
数列
{
a
n
}
满足
a
n
?a
n?1
?a
n?2
?s
(n?k,n?N)
,则数列
{a
n
}
周期T=3
数列
{
a
n
}
满足
a
n< br>a
n?1
?s
(n?k,n?N)
,则数列
{a
n< br>}
周期T=2;
数列
{
a
n
}
满足
a
n
a
n?1
a
n?2
?s
(n?k,n?N)
,则数列
{a
n
}
周期T=3
(5)若数列
{< br>a
n
}
满足
a
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
aa
n?1
?b< br>,
a+d=0,则数列
{
a
n
}
是周期T=2; < br>ca
n?1
?d
3a
n?1
?7
,
则数列< br>{a
n
}
是周期T=2;;
a
n?1
?3
例:数列
{
a
n
}
满足
a
n
?



2、周期数列性质的简单应用
(1)求周期数列的通项公式

例1已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
?2

a
n?1
?1?1
,求
a
n

a
n
分析:周期数列的通项公 式通常都可以分段表示,所以只需求出它的一个最小正周期即可.
解:∵
a
n?1< br>?1?
1111
?1?a
n
?1?a
n

??
,∴
a
n?2
?1?
,从而
a
n?3
?1?
a
n?2
a
n
a
n?1
a
n
?1
即数列
{
a
n
}
是以3为周期的周期数列.又
a
1
?2

a
2
?1?
11
1
?

a
3
?1???1
,所以
a
1
2< br>a
2
?
2,
n?3k?1
?
1
a
n
?
?
,n?3k?2

?
2
n?3k?3
?
?1,
1
?
2a, (0?a?)
n
?
6
?
n
2
?
?
;若
a
1
?
,则
a
20
的值为( ).
7
?
2a?1, (
1
?a?1)
nn
?2
?
例2、若数列
{
a
n
}
满足
a< br>n?1
6531
B. C. D..
7777
6536
解析:紧扣分段函数 的定义,代入
a
1
=求得
a
2
=,并依次求出
a< br>3
?,a
4
?
,?
.故
7777
5
此数列是周期为3的周期性数列,故
a
20
?a
2
?
.故选 B.
7
A.
(2)求周期数列中的项

a
1
?3 ,a
2
?5
且对于大于
2
的正整数,
例3已知数列
{
a
n
}
中,总有
a
n
?a
n?1
?a
n?2
,则
a
2009
等于( ).
A.-5 B.-2 C.2 D.3.
解析:由性质(2)知,数列
{
a
n
}
是以6为 周期的周期数列,而
2009?6?334?5
,再由
性质(3)可得
a2009
?a
5
?a
4
?a
3
?
(< br>a
3
?a
2
)
?a
3
??
5
,故选A.
例4已知实数列
{
a
n
}
满足
a< br>1
?a

a
为实数),
a
n
?
3a
n?1
?1
3?a
n?1
(
n?N
),求
a
2000

?
33
a
n?1
?
3a< br>n?1
?1
3
.我们发现
a?
3

?
解:
a
n
?
(
n?N
)可变形为
a
n< br>?
n
33
3?a
n?1
1?a
n?1
1?a
n?1
33
a
n?1
?


三角式
ta n(x?
?
6
tanx?tan
)?
?
6
十分相似 ,因此可把此三角式认为是原递推关系的原
1?tanxtan
?
6
n
?
(n?1)
?
,.显然此数列的周期是6.而
a
n?1
?tan
66
型.通过运算,发现本题中可取
a
n
=
tan
,得
a
2000
?a
2
?
2000?333?6? 2
,再由性质(3)
3a?1
3?a

注:此类问题也可采用不动点法求解,有兴趣的朋友不妨试一下.

(3)求周期数列的前
n
项和
,a
3
?2
,且对
n?N
,有
a
n
a
n?1
a
n?2
a
n?3
=
例5、设数列
{
a
n
}
中,
a
1
?a
2
?1
a
n
?a
n?1
?a
n?2
?a
n?3

a
n
a
n?1
a
n?2
?1
)成立,试求该数列前100项和
S
1 00

解:由已知条件,对任何自然数
N
?
,有
a
n
a
n?1
a
n?2
a
n?3
=
an
?a
n?1
?a
n?2
?a
n?3
,把式中

n
换成
n?1
,得
a
n?1
a
n?2
a
n?3
a
n?4
=
a
n?1
?a
n?2
?a
n?3
?a
n?4
.两式相减得,
a< br>n?1
a
n?2
a
n?3
(a
n
?a
n?4
)?a
n
?a
n?4
.因为
a
n?1a
n?2
a
n?3
?1
,所以
a
n?4
?a
n
(n?N
?
)
.所

{
a
n
}
是以4为周期的周期数列,而
100?4?25
,再由性质(3),得
S
100
?25S
4
?25?(1?1?2?4)?200

?
例6若数列
{
a
n
}
满足
a
n?2
?a
n?1
?a
n
(n?N)

S
n

{a
n
}
的前
n
项和,且
S
2
?2008

S
3
?2010
,求
S
2008

解析:由
a
n?2
?a
n?1
?a< br>n
及性质(2),可知所以数列
{
a
n
}
是以6为周 期的周期数列.由
S
2
?2008

S
3
?201 0
,知
a
1
?a
2
?2008

a
1
?a
2
?a
3
?2010
,再结合
a
3
?a
2
?a
1

可求得
a
1
?
1003

a
2
?1005

a
3
?2
;由递推关系式可进一步求得
a
4
??1003

a
5
??1005

a
6
??2
.因为
20 08?6?334?4
,由性质(3),得
S
2008
?334S
6
?S
4
?334?0?1007?1007

(4)求周期数列的极限
例7、在数列
{
a
n
}
中,
a
1

a
2
是正整数,且
a
n
?a
n?1
?a
n?2

n?3,4,5?
,则称
{a
n
}

“绝对差数列”.若“绝对差数列”
{
an
}
中,
a
20
?3

a
21
?0
,数列
{b
n
}
满足
b
n
?an
?a
n?1
?a
n?2

n?1,2,3?
,分别判断当
n??
时,数列
{a
n
}

{bn
}
的极限是否
存在,如果存在,求出其极限值.
a
21?0

解析:因为在绝对差数列
{
a
n
}
中< br>a
20
?3
,所以自第20项开始,该数列是
a
20
?3


a
21
?0

a
22
?3

a
23
?3

a
24
?0

a
25
?3

a
26
?3

a
27
?0
….即自第 20 项开
始,每三个相邻的项周期地取值3,0, 3.所以当
n??
时,
a
n
的极限不存在.当
n?20时,
b
n
?a
n
?a
n?1
?a
n? 2
?6
,所以
limb
n
?6

n??

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