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高中数学解题方法系列:函数问题中抽象函数的4种策略

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 22:41
tags:高中数学解题方法

高中数学不等式的基本性质说课-高中数学辅导书难

2020年9月17日发(作者:焦光俊)


高中数学解题方法系列:函数问题中抽象函数的4种策略

抽象函数是指没有给 出函数的具体解析式,但给出了函数满足的一部分性质或运算法则
的函数问题。对考查学生的创新精神、 实践能力和运用数学的能力,有着十分重要的作用。
化抽象为具体,联想类比思维都有助于问题的思考和 解决。
一、数形结合使抽象函数具体
一般地讲,抽象函数的图象为示意图居多,有的示意图 可能只能根据题意作出n个孤立
的点,但通过示意图却使抽象变形象化,有利于观察、对比、减少推理、 减小计算量等好处。
例1、设奇函数
f(x)
的定义域为
[?5,5],若当x
?
?
0,5
?
时,
f(x)
是增函数 且f(2)=o
求不等式x
f(x)?0
的解。
分析:f(x)的图像如图所示
x>0时2?5

x<0时-2?0


例2、已知函数f(x)对一切实数x都有f(2+x)= f(2-x),如果方程f(x)=0恰好有
4个不同的实根,求这些实根之和。
分析:由f(2+x)=f(2-x)知直线x=2是函数图象的对称轴,又f(x)=0有四根,现从
大到小依次设为x
1
、x
2
、x
3
、x
4
,则x
1
与x
4
,x
2
与x
3
均 关于x=2对称,
∴x
1
+x
4
= x
2
+x
3
=2×2=4, ∴x
1
+x
2
+x
3
+x
4
=8。
评注:一般地,若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),则直线x=a是函数图象的对称轴,
利用对称性,数形结合,可使抽象函数问题迎刃而解。

二、利用单调性定义使问题具体
加上函数符号f即为“穿”,去掉函数符号f即为“脱”。对 于有些抽象函数,可根据
函数的单调性,实现对函数符号的“穿脱”,以达到简化的目的。
例3已知f(x)是定义在(0,
等式。f(x+5)- f(
)上的增函数,且f(
x
)=f(x)-f(y),若f(6)=1,解不
y
1
)<2 < br>x
x
36
)=f(x)-f(y)得:f()=f(36)-f(6),所以f (36)=2。而 f(x+5)-
y
6
11
2
f()<2“穿”f号得f(x+5)- f()x?5x)
xx
分析:由f(6)=1,f(

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