高中数学解题方法系列：函数问题中抽象函数的4种策略

高中数学解题方法系列：函数问题中抽象函数的4种策略

抽象函数是指没有给 出函数的具体解析式，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则
的函数问题。对考查学生的创新精神、 实践能力和运用数学的能力，有着十分重要的作用。
化抽象为具体,联想类比思维都有助于问题的思考和 解决。
一、数形结合使抽象函数具体
一般地讲，抽象函数的图象为示意图居多，有的示意图 可能只能根据题意作出n个孤立
的点，但通过示意图却使抽象变形象化，有利于观察、对比、减少推理、 减小计算量等好处。
例1、设奇函数
f(x)
的定义域为
[?5,5]，若当x
?
?
0,5
?
时，
f(x)
是增函数 且f(2)=o
求不等式x
f(x)?0
的解。
分析：f(x)的图像如图所示
x>0时2?5

x<0时-2?0


例2、已知函数f（x）对一切实数x都有f（2+x）= f（2-x），如果方程f（x）=0恰好有
4个不同的实根，求这些实根之和。
分析：由f（2+x）=f（2-x）知直线x=2是函数图象的对称轴，又f（x）=0有四根，现从
大到小依次设为x
1
、x
2
、x
3
、x
4
，则x
1
与x
4
，x
2
与x
3
均 关于x=2对称，
∴x
1
+x
4
= x
2
+x
3
=2×2=4， ∴x
1
+x
2
+x
3
+x
4
=8。
评注：一般地，若函数f（x）满足f（a+x）=f（a-x），则直线x=a是函数图象的对称轴，
利用对称性，数形结合，可使抽象函数问题迎刃而解。

二、利用单调性定义使问题具体
加上函数符号f即为“穿”，去掉函数符号f即为“脱”。对 于有些抽象函数，可根据
函数的单调性，实现对函数符号的“穿脱”，以达到简化的目的。
例3已知f(x)是定义在（0，
等式。f(x+5)- f(
）上的增函数，且f(
x
)=f(x)-f(y)，若f(6)=1，解不
y
1
)<2 < br>x
x
36
)=f(x)-f(y)得：f()=f(36)-f(6)，所以f (36)=2。而 f(x+5)-
y
6
11
2
f()<2“穿”f号得f(x+5)- f()x?5x)
xx
分析：由f(6)=1，f(