高中数学解题思路大全—例析反函数的几种题型及解法

例析反函数的几种题型及解法

反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学 生学习的难点之一。在历年高考中也占有一定的比例。为
了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析 关于反函数的几种题型及其解法。
一. 反函数存在的充要条件类型
例1. （2004年 北京高考）函数
f(x)?x?2ax?3
在区间
1，2
上存在反函数的充要 条件是（ ）
A.
a???，1

2
??
?
?


B.
a?2，??

D.
a?1，2

?
?
C.
a???，1?2，??

2
???
?
??
解析：因为二次函数
f(x)?x?2ax?3
不是 定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间
??，a
或
?
?
?a，??
?
上是单调函数。
而已知函数
f(x)
在区间［1，2］上存在反函数
所以
1，2???，a
或者
1，2?a，??

即
a?1
或
a?2

故选（C）
评注：函数y?f(x)
在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。特别地：如果二次函数
y?f(x)
在定义域内的单调函数，那么函数f（x）必存在反函数；如果 函数f（x）不是定义
域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数f（x）在 这个子区间上必存在反函数。

二. 反函数的求法类型
例2. （2005年全国卷）函数
y?
A.
y?
3
??
?
?
???
?
x
2
?1(x?0)
的反函数是（ ）
(x?1)
3
(x??1)

3
B.
y??(x?1)(x??1)

C.
y?(x?1)
3
(x?0)

3
D.
y??(x?1)(x?0)

2
解析：由
x?0
可得x?0
，故
y??1

3

1

从
y?
3
x
2
?1
解得
x??(y?1)
3

因
x?0

所以
x??(y?1)
3

即其反函数是
y??(x?1)
3
(x??1)

故选（B）。
评注：这种类型题目在历年高考中比较常见。在求反函数的过程中必须注意三个问题：
（1）反函数存在的充要条件是该函数在某一区间上是一一映射；
（2）求反函数的步骤：① 求原函数的值域，②反表示，即把x用y来表示，③改写，即把x与y交换，
并标上定义域。其中例3在 反表示后存在正负两种情况，由反函数存在的充要条件可知，只能根据函数的定
义域（
x?0< br>）来确定
x??(y?1)
3
，再结合原函数的值域即可得出正确结论。另外， 根据反函数的定义
域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，不应该直接求反函数的 定义域。例如：求
y?x
2
?2x?3(x??1)
的反函数。
由
x??1
可得
?
y|y?0
?

反表示解出
x?1??y?4

由
x??1
应取
x?1??y?4

即
x?1?
所以
y?1?
y?4

x?4(x?0)
为其反函数。
?1
（3）f（x）与
f(x)< br>互为反函数，对于函数
y?f(x?1)
来说，其反函数不是
y?f
? 1
(x?1)
，而是
y?f
?1
(x)?1
。同理
y?f
?1
(x?1)
的反函数也不是
y?f(x?1)
，而是y?f(x)?1
。

三. 求反函数定义域、值域类型
例3. （ 2004年北京春季）若
f
?1
－
(x)
为函数
f(x)? lg(x?1)
的反函数，则f
1
（x）的值域为_________。
解 析：通法是先求出f（x）的反函数
f
?1
(x)?10
x
?1，可求得f
－
1
（x）的值域为
(?1，??)
，而利用
－
反函数的值域就是原函数的定义域这条性质，立即得f
1
（x）的值域为
(?1，??)
。
评注：这种类型题目可直接利用原函数的定义域、值域分别是反函数的值域和定义域这一性质求解。


2

四. 反函数的奇偶性、单调性类型
e
x
?e
?x
例4. 函数
y?
的反函数是（ ）
2
A. 奇函数，在（
0，??
）上是减函数
B. 偶函数，在（
0，??
）上是减函数
C. 奇函数，在（
0，??
）上是增函数
D. 偶函数，在（
0，??
）上是增函数
解析：因为
e
x
在（
0，??
）上是增函数，
e
?x
在（
0，??
）上 是减函数
e
x
?e
?x
所以
y?
在（
0 ，??
）上是增函数
2
e
x
?e
?x
易知
y?
为奇函数 2
利用函数
y?f(x)
与f
1
（x）具有相同的单调性，奇函 数的反函数也为奇函数这两条性质，立即选（C）。

五. 反函数求值类型
例5. （2005年湖南省高考）设函数（fx）的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数
f
则
f
?1
?1
－
(x)，f(4)?0
，(4)?
___________。
解析：由
f(4)?0
，可知函数 f（x）的图象过点（4，0）。而点（4，0）关于点（1，2）的对称点为
（-2，4）。由题意知 点（-2，4）也在函数f（x）的图象上，即有
f(?2)?4
，所以
f
? 1
(4)??2
。
评注：此题是关于反函数求值的问题，但又综合了函数图象关于点 的对称问题。在反函数求值时经常要
用到这条性质：当函数f（x）存在反函数时，若
a?f( b)
，则
b?f
－
?1
(a)
。
1
x） 如（2004年湖南省高考）设f（是函数
f(x)?log
2
(x?1)
的 反函数，若
1?f
?
?1
(a)1?f
?1
(b)?8，
???
则
f(a?b)
的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3
?1
D.
log
2
3

分析：直接利用：若
a?f(b)
，则
b?f
选（B）。

(a)
。
3

六. 反函数方程类型
例6. （2004年上海市高考）已知函数
f(x)?log
3
?
?
4
?
－
1
?2
?
，则方程f（x）=4的解x= _____________。
?
x
?
?1
解析：当函数f（x） 存在反函数时，若
a?f(b)
，则
b?f
=4中的x的值。易知
f (4)?1
，所以
x?1
即为所求的值。
(a)
。所以只需求出< br>f(4)
的值即为f
－
1
（x）
评注：此题除了这种方法外， 也可以用常规方法去求。即先求出反函数f
1
（x）的解析式，再解方程f
－
1
－
（x）=4，也可得
x?1
。

七. 反函数不等式类型
a
x
?a
?x
(a?1)
的反函数，则 f
－
1
（x）>1成例7. （2005年天津市高考）设f（x）是函数
f (x)?
2
－
1
立时x的取值范围是（ ）
?
a
2
?1
?
A.
?
，??
?

?
2a
?
?
a
2
?1
?
C.
?
，a
?

?
2a
?


?
a
2
?1
?
B.
?
??，
?

2a
??
D.
(a，??)

－

解析：由
a?1
，知函数 f（x）在R上为增函数，所以f
1
（x）在R上也为增函数。
故由f
1
（x）>1，有
x?f(1)

－
1?
1
?
a
2
?1
而
f(1)?
?a?
?
?

??
2a2a
a
2
?1
可得
x?

2a
故选（A）。
评注：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求，但比较繁琐 。而下面的题目选用常规方法解则更
为简便。
－
如（2004年湖南省高考）设f< br>1
（x）是函数
f(x)?x
的反函数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A.
f
C.
f

?1
(x)?2x?1

(x)?2x?1







B.
f
D.
f
?1
(x)?2x?1

(x)?2x?1

4
?1?1

分析：依题意知
f

?1
(x)?x
2
(x?0)
。画出略图，故选（A）。
八. 反函数的图象类型
例8. （2004年福建省高考）已知函数
y?log< br>2
x
的反函数是
y?f
（ ）
?1
(x)< br>，则
y?f
?1
(1?x)
的图象是

解析：由题意知
f
?1
?1
(x)?2
x

则
f(1?x)?2
1?x
?2
?(x?1)
?
1
?
?
??
?
2
?
x?1

x
?
1
?
?1
所以
y?f(1?x)
的图象可由
y?< br>??
的图象向右平移1个单位而得到。
?
2
?
故选（C）。
评注：解反函数的图象问题，通常方法有：平移法，对称法等。对称法是指根据原、反函数的图象关于< br>直线
y?x
对称来求解；特殊地，若一个函数的反函数是它本身，则它的图象关于直线y =x对称，这种函数
称为自反函数。

九. 与反函数有关的综合性类型
a·4
x
?a
?2
例9. （2003年黄冈市模考）设
x?R
，f（x）是奇函数，且
f(2x)?
。
x
4?1
（1）试求f（x）的反函数f
1
（x）的解析式及f1
（x）的定义域；
（2）设
g(x)?log
－－
1?x< br>?
12
?
?1
f(x)?g(x)
恒成立，求实数k的取值范 围。
x?，
，若时，
2
??
23
k
??
解析：（1）因为f（x）是奇函数，且
x?R

所以
f(0)?0，即a?
得
a?1

1
?0

a
2

5

2
x
?1
所以
f(x)?
x

2?1
可求得
f(x)?(?1，1)

2
x
?1
令
y?
x
，反解出
2?12
x
?
1?y1?y
，x?log
2

1?y 1?y
?1
从而
f(x)?log
2
?
1
1?x< br>，x?(?1，1)

1?x
2
?
（2）因为
x?< br>?
，
?
，所以
k?0

?
23
?
由
f
?1
(x)?g(x)
得
2
1?x1?x
?
1?x
?
log
2
?l og
2
?log
2
??

?
1?xkk
?
1?x
?
1?x
?
所以
?
??

1?x
?
k
?
22
即
k?1?x
对
x?< br>?
，
?
恒成立
?
23
?
2
?12
?
令
h(x)?1?x

其在
?
，
?
上为单调递减函数
3
??
2
则
h(x)
min
?h
??
?
所以
k?h (x)
min
?
2
2
?
12
?
?
2
?
?
3
?
5

9
5

9
5

3
又
k?0
，故实数k的取值范围是
0?k?
评注：本题综合了反函数与函数的奇偶性，换元法求函数的解析式，对数不等式的解法以及含 参不等式
在定区间上恒成立等知识，是一道综合性较强的好题。

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