新课标人教A版高中数学必修2知识点总结(完整版)

高中数学必修2知识点总结
第一章 空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征





（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边 都互相平行，
由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点 字母，如五棱柱
ABCDE?ABCDE
或用对角线的端点字母，如五棱柱
AD

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平 行于
底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥
P?ABCDE

几何特征：侧面、对角面都 是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高
的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台
P?ABCDE

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

1.2空间几何体的三视图和直观图
(1)定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、
俯视图（从上向下）
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
'''''
'''''
'
'''''


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(2)画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等
（3）直观图：斜二测画法
（4）斜二测画法的步骤：
（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；
（3）.画法要写好。
（5）用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

1.3 空间几何体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，
h
为斜高，l为母线）
'
1
S
直棱柱侧面积
?ch

S
圆柱侧
?2
?
rh

S
正棱锥侧面积
?ch'

S
圆锥侧面积
?
?
rl
2

S
正棱台侧面积
?

S
圆柱表
?2
?
r
?
r?l
?

S
圆锥表
?
?
r
?
r?l
?

S
圆台表
?
?
r
2
?rl?Rl?R
2< br>2
1
(c
1
?c
2
)h'

S
圆台侧面积
?(r?R)
?
l

2
??

（3）柱体、锥体、台体的体积公式
1
1
2
Sh
?
?
r

h
V
柱
?Sh

V
圆柱
?Sh

V
锥
?

V
圆锥
?
?
rh

3
3
111
'
?S)h?
?
(r
2
?rR?R)
2h

V
台
?(S
'
?S
'
S?S)h

V
圆台
?(S
'
?SS
33
3


（4）球体的表面积和体积公式：
球
3

V=
4
?
R
； S=
4
?
R

2
3
球面











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第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
（1）平面
① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；
② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个
锐角内）；
也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。
A
D
α
B
C
③ 点与平面的关系：点A在平面
?
内，记作
A?
?
；点
A
不在平面
?
内，记作
A?
?
点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l； 点A在直线l外，记作A
?
l；
直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作l?
α；直线l不在平面α内，记作l
?
α。
（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线）
应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理1：
A?l,B?l,A?
?
,B?
?
?l?
?

（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据
（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。
符号语言：
P?AB?AB?l,P?l

公理3的作用：
①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
=>a∥c
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在 两直
线中的一条上；
?
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )
2
；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。


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2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
A α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：
a β
B β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

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2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直， 记作L⊥α，直线
L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一 公共点P叫做垂足。
L
Α P

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
本章知识结构框图








平面（公理1、公理2、公理3、公理4）
空间直线、平面的位置关系
直线与平面的位置关系
平面与平面的位置关系
直线与直线的位置关系




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第三章 直线与方程
3.1直线的倾斜角和斜率
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之 间所成
的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k =
tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、 直线的斜率公式:
给定两 点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式: k=y2-y1x2-x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它 们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那
么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条 直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即
如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之 ，如果它们的斜率互为负倒
数，那么它们互相垂直，即
y?
3.2.1 直线的点
斜式方程
1、直线的点斜式方程：直线
l
经过点
P
，且斜 率为
k

0
(x
0
,y
0
)
2、直线的斜截式
方 程：已知直线
l
的斜率为
k
，且与
y
轴的交点为
( 0,b)

3.2.2 直线的两点式方程
1、直线的两点式方程：已知两 点
P(x
1
,x
2
),P
2
(x
2
,y
2
)
其中
(x
11
2、直线的截距式方程：已知直线
l
与
x
轴的交点为A
(a,0)
，与
3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：关于
x,y
的二元一次方程
Ax
2、各种直线方程之间的互化。


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y
0
?k(x?x
0
)

y?kx?b

?x
2
,y
1
?y
2
)
y-y1y-y2=x-x1x-x2
y
轴的交点为B
(0,b)
，其中
a?0,b?0

?By?C?0
（A，B不同时为0）

3.3直线的交点坐标与距离公式
3.3.两直线的交点坐标
1、给出例题：两直线交点坐标
L
1
：3x+4y-2=0 L
2
：2x+y +2=0
解：解方程组
?
?0
?
3x?4y?2
得 x=-2，y=2
?0
?
2x?2y?2
所以L
1
与L< br>2
的交点坐标为M（-2，2）
3.3.2 两点间距离：两点间的距离公式：
PP
12
?
?
x
2
?x
2
?
?
?
y
2
?y
1
?
Ax
0
?By< br>0
?C
A?B
22
22

3.3.3 点到直线的距离公式
1．点到直线距离公式：
点
P(x
0
,y< br>0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的距离为：
d?
2、两平行线间的距离公式：
已知两条平行线直线
l
1
和
l
2
的一般式方程为
l
1
：
Ax?By?C
1
?0
，

l
2
：
Ax?By?C
2
?0，则
l
1
与
l
2
的距离为
d?
第四章
4.1.1 圆的标准方程
2
C
1
?C
2
A?B
22

圆与方程
22
1、圆的标准方程：
(x?a)?(y?b)?r

圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
2、点
M(x
0
,y< br>0
)
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的关系的判断方法：
（1）
(x
0
?a)
2< br>?(y
0
?b)
2
>
r
，点在圆外 （2）
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
=< br>r
，点在圆上
（3）
(x
0
?a)
2
?( y
0
?b)
2
<
r
，点在圆内
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?E y?F?0

2、圆的一般方程的特点：
(1)①x和y的系数相同，不等于0． ②没有xy这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指
出了 圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

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22
22
2

4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线
l
：
a x?by?c?0
，圆
C
：
x
2
?y
2
? Dx?Ey?F?0
，圆的半径为
r
，圆心
(?
的距离为
d
，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相离；（2）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相切；
（3）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相交；
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为
l
，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1 ）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆C
2
相离；（2）当
l?r
1
?r
2
时，圆< br>C
1
与圆
C
2
外切；
（3）当
|r
1
?r
2
|?l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
相交；
（4）当
l?|r
1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆
C
2< br>内切；（5）当
l?|r
1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆
C
2
内含；
4.2.3 直线与圆的方程的应用
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直 线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心
C
?
a,b
?
到l的距离为
d?
Aa?Bb?C
，< br>22
A?B
DE
,?)
到直线
22
则有
d? r?l与C相离
；
d?r?l与C相切
；
d?r?l与C相交


22
（2）设直线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
2，先将方程联立消元，得到一个一元二次方
程之后，令其中的判别式为
?
，则有
??0?l与C相离
；
??0?l与C相切
；
??0?l与C相交< br>
2
注：如果圆心的位置在原点，可使用公式
xx
0
?yy< br>0
?r
去解直线与圆相切的问题，其中
x
0
,y
0< br>表示切
点坐标，r表示半径。
??
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题 中的几何元素，将平面几何问题转化为
代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
(3)过圆上一点的切线方程：
2
①圆x
2
+y
2
=r
2
，圆上一点为(x
0
，y
0
)，则过此点的切线方程为
xx
0
?yy
0
?r
(课本命题)．
②圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
，圆上一点为(x
0
，
y
0
)， 则过此点的切线方程为(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)= r
2
(课本命题的推
广)．

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4.3.1空间直角坐标系
1、点M对应着唯一确定的有序实数组
( x,y,z)
，
x
、
y
、
z
分别是P、Q、
R在
x
、
y
、
z
轴上的坐标
2、有序实数组
(x,y,z)
，对应着空间直角坐标系中的一点
P
R
M
O
Q
M'
y
3、空间中任意点M的坐标都可以用有序 实数组
(x,y,z)
来表示，该数组叫
做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M< br>(x,y,z)
，
x
叫做点M的
横坐标，
y
叫做点M 的纵坐标，
z
叫做点M的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、 空间中任意一点
P
1
(x
1
,y
1
,z
1
)
到点
P
2
(x
2
,y
2
,z< br>2
)
之间的距离公式
P
1
P
2
?(x1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
2
)?(z
1
?z
2
)
2



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x
z
P
P
2
1
O
H
M
1
M
M
2
N
2
y
N
1
N
x