高中数学必修2第二章知识点总结

高中数学必修2知识点总结

立体几何初步
特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，
h
为斜高，l为母线）
'
S
直棱柱侧面积
?ch
S
圆柱侧
?2
?
r h


S
圆柱表
?2
?
r
?
r?l
?

S
正棱锥侧面积
?
1
1
ch'
S
正棱台侧 面积
?(c
1
?c
2
)h'
2
2


S
圆锥侧面积
?
?
rl

S
圆锥表
?
?
r
?
r?l
?

S
圆台侧面积
?(r?R)
?
l

柱体、锥体、台体的体积公式

S
圆台表
?
?
r
2
?rl?Rl?R
2
??

V
柱
?Sh
1
1
1
2

V
圆柱
?Sh?
?
r
2
h
V
台
?(S'
?S
'
S?S)h
V
锥
?Sh
V?
?
rh
圆锥

3
3

3

11
V
圆台
?(S
'
?S
'
S?S)h?
?
(r
2
?rR?R
2
) h
33

（4）球体的表面积和体积公式：V
球
=
4
?
R
3
； S
球面
=
4
?
R

3
2
第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
1 平面含义：平面是无限延展的
2 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
符号表示为
A∈L
B∈L => L α
A∈α
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内.
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
A
α
·


L
α
·

C
·

·

A B
β
α
·

L
P
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
c∥b
第 1 页 共 32 页
=>a∥c

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取 在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
?
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
2
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、直线与平面平行的性质 定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
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符号表示：

a ∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义 ：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平
面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
P
a
L
2 、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2、两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
第三章 直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成 的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为
0度。因此，倾斜角 的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它 的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即
k
反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
当
?

?tan
?
。斜率
?0
?
,90
?
?
?< br>时，
k?0
； 当
?
?
?
90,180
?
时，
k?0
； 当
?
?90
时，
k
不存在。
??
?
第 3 页 共 32 页

②过两点的直线的斜率公式：
k
注意下面四点 ：(1)当
x
1
?
y
2
?y
1
(x
1
?x
2
)
（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）
x
2
?x
1?x
2
时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)k与P
1
、P
2
的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点 斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
直线斜率k，且过点?
x
1
,y
1
?

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y
1
。
当直线的 斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x
1
，所
以它的方程是x=x
1
。
②斜截式：
③两点式：y?kx?b
，直线斜率为
k
，直线在
y
轴上的截距为
b

y?y
1
x?x
1
（
x
1
? x
2
,y
1
?y
2
）直线两点
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2< br>?

?
y
2
?y
1
x
2
? x
1
④截矩式：
⑤一般式：
xy
??1
其中直线
l
与
x
轴交于点
(a,0)
,与
y
轴交于点
(0,b)
,即
l
与
x
轴、
y
轴的截距分别为a,b
。
ab
Ax?By?C?0
（A，B不全为0）
注意：
○
1各式的适用范围
○
2特殊的方程如：
平行于x轴的直线：
当
l
1
y?b
（b为常数）； 平行于y轴的直线：
x?a
（a为常数）；
（6）两直线平行与垂直
: y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2x?b
2
时，
l
1
l
2
?k
1?k
2
,b
1
?b
2
；
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1y?C
1
?0

l
2
:A
2
x?B< br>2
y?C
2
?0
相交
交点坐标即方程组
?
方程组无解
?
?
A
1
x?B
1
y?C
1< br>?0
的一组解。
?
A
2
x?B
2
y?C< br>2
?0
l
1
l
2
； 方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合
（8 ）两点间距离公式：设
A(x
1
,y
1
)，（
是平面直角坐 标系中的两个点，
Bx
2
,y
2
）
则
|AB|? (x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

（9）点到直线距离公式：一点
P
（10）两平行直线距离公式
?
x
0
,y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By? C?0
的距离
d?
Ax?By?C
1
?0
，
Ax
0
?By
0
?C

A
2
?B
2
已知两条平行线直线
l
1
和
l
2
的一般 式方程为
l
1
：
l
2
：
Ax?By?C
2
?0
，则
l
1
与
l
2
的距离为
d ?
C
1
?C
2
A?B
22

第四章 圆与方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程
?
x?a
?
2
?< br>?
y?b
?
2
2
?r
2
，圆心
?< br>a,b
?
，半径为r；
点
M(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)
2
?r
2
的位置关 系：
第 4 页 共 32 页

当
(x
0
当(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
>
r
2
，点在圆外 当
(x
0
?a)
2< br>?(y
0
?b)
2
=
r
2
，点在圆上 ?a)
2
?(y
0
?b)
2
<
r
2< br>，点在圆内
2
（2）一般方程
x
当
D
当
D
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

?
22
?
1
DE
?
，半径为
?E
2
?4F?0
时 ，方程表示圆，此时圆心为
?
r?
?
?,?
?
2
D
2
?E
2
?4F

?E
2
?4F?0
时，表示一个点；
22
当
D?E?4F?0
时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（ 1）设直线
l
则有
d
2
:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心
C
?
a,b
?
到l的距离 为
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
，

?r?l与 C相离
；
d?r?l与C相切
；
d?r?l与C相交

< br>（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半 径，求解k，得到
方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
，圆上一点为(x
0
，y
0
)，则过此点的切线方程为(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)= r
2

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆
C
1
:
?
x?a
1
?
?
?< br>y?b
1
?
?r
2
，
C
2
:
?
x?a
2
?
?
?
y?b
2
?
?R

22
22
2
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆 心距（d）之间的大小比较来确定。
当
d?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；
当
d?R?r
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当
R?r?d?R?r
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当
d?R?r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当
d?R?r
时，两圆内含； 当
d?0
时，为同心圆。
注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点





第一章 空间几何体题
一、选择题
1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．



主视图 左视图 俯视图
(第1题)
第 5 页 共 32 页

A．棱台 B．棱锥 C．棱柱 D．正八面体
2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为< br>1
的等腰梯形，那么原平面图形的面
积是( )．
A．2＋
2
B．
1＋2

2
C．
2＋2

2

＋2
D．
1
3．棱长都是
1
的三棱锥的表面积为( )．
A．
3
B．2
3
C．3
3
D．4
3

4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是( )．
A．25π B．50π C．125π D．都不对
5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )．
A．
3
∶1 B．
3
∶2 C．2∶
3
D．
3
∶3
6．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若 使△ABC绕直线
BC
旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )．
A．
9
π
2
B．
7
π
2
C．
5
π
2
D．
3
π < br>2
7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15， 则这个棱柱的侧面积是( )．
A．130 B．140 C．150 D．160
8．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB ，EF＝
离为2，则该多面体的体积为( )．
3
，且EF与平面ABCD的距
2
(第8题)



D．A．
9

2
B．5 C．6
15

2
9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是( )．
．．
A．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形
B．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．水平放置的圆的直观图是椭圆
10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．
第 6 页 共 32 页

(第10题)
二、填空题
11．一个棱 柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有_____ ___条侧棱．
12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．
13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则 三棱锥O－AB1D1的体积为
_____________．
14．如图，E，F分别为正 方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是
_ __________．

(第14题)
15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
积为___________．
16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为 _________厘米．
三、解答题
17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm，求它的深度．






18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正方体的对角面作截面]


第 7 页 共 32 页
2
、
3
、
6
，则这个长方体的对角线长是___________，它的体

19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝1 35°，AB＝5，CD＝2
2
，AD＝2，求四边形ABCD绕AD
旋转一周所成几 何体的表面积及体积．

(第19题)




20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，
养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的 底面直径比原来大4 m(高不变)；
二是高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪个方案更经济些？
第 8 页 共 32 页

第二章 点、直线、平面之间的位置关系
A组
一、选择题
1．设

?，?为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线， 且l
?
?，m
?
?
，有如下的两个命题：①若??∥?，则l∥m；
②若l⊥m，则??⊥?．那么( )．
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题
2．如图，ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
为正方体，下面结论错误 的是( )．
．．
A．BD∥平面CB
1
D
1
B．AC
1
⊥BD
C．AC
1
⊥平面CB
1
D
1
D．异面直线AD与CB
1
角为60°
3．关于直线m，n与平面??，?，有下列四个命题：
①m∥?，n∥??且??∥?，则m∥n；
③m⊥?，n∥??且??∥?，则m⊥n；
(第2题)

②m⊥?，n⊥??且??⊥?，则m⊥n；
④m∥?，n⊥??且??⊥?，则m∥n
．

B．③④ C．①④ D．②③ 其中真命题的序号是( )． A．①②
4．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线l
1
，l
2
与同一平面所成的角相等，则l
1
， l
2
互相平行
④若直线l
1
，l
2
是异面直线， 则与l
1
，l
2
都相交的两条直线是异面直线
其中假命题的个数是( )．A．1
．
5．下列命题中正确的个数是( )．
①若直线l上有无数个点不在平面???内，则l∥?
②若直线l与平面???平行，则l与平面???内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行
④若直线l与平面???平行，则l与平面???内的任意一条直线都没有公共点
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B．2 C．3 D．4
6． 两直线l
1
与l
2
异面，过l
1
作 平面与l
2
平行，这样的平面( )．
A．不存在 B．有唯一的一个 C．有无数个 D．只有两个
7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点 为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成
的角的大小为( )．
A．90° B．60° C．45° D．30°
8．下列说法中不正确的是( )．
．．．．
第 9 页 共 32 页

A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B．同一平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
9．给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直
其中真命题的个数是( )． A．4 B．3 C．2 D．1
10．异面直线a，b所成的角60°，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为( )．
A．[30°，90°] B．[60°，90°] C．[30°，60°]
二、填空题
11．已知三棱锥P
－
ABC的三 条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S
1
，S
2
，S
3
，则这个三棱锥
的体积为 ．
12．P是△ABC 所在平面???外一点，过P作PO⊥平面??，垂足是O，连PA，PB，PC．
(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC 的 心；
(2)PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，则O是△ABC 的 心；
(3)若点P到三边AB，BC，CA的距离相等，则O是△ABC 的 心；
(4)若PA＝PB＝PC，∠C＝90?，则O是AB边的 点；
(5)若PA＝PB＝PC，AB＝AC，则点O在△ABC的 线上．
13．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，
AF，AD，BE，D E的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以
成角的度数为 ．


14．直线l与平面

??所成角为30°，l∩?＝A，直线m∈?，则m
值范围是 ．
15．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d
1
，d2
，d
3
，d
4
，则d
1
＋d
2＋d
3
＋d
4
的
值为 ．
16．直 二面角??－l－??的棱上有一点A，在平面??，??内各有一条射线AB，AC与l成45°，AB
?
?，AC
?
?，则∠BAC
第 10 页 共 32 页
(第13题)

与l所成角的取
H，I，J分别为
后，GH与IJ所
D．[30°，120°]
J

＝ ．
三、解答题
17．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．
(1)求证：BC⊥AD；
(2)若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A－BC－D
(3)设二面角A－BC－D的大小为

?，猜想

??为何值时，四面
最大．(不要求证明)







18． 如图，在长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB＝2，BB
1
＝BC＝1，E 为D
1
C
1
的中点，连结ED，EC，EB和DB．
(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；
(2)求二面角E－DB－C的正切值.



(第18题)





1 9*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥
Ｓ
－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，
SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝１，AD＝
(1)求四棱锥S—ABCD的体积；
(第17题)

的正弦值；
体A－BCD的体积
1
．
2
(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
(提示：延长 BA，CD 相交于点 E，则直线 SE 是
所求二面角的棱.)
第 11 页 共 32 页

20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱 的体积．(提示：在 AA
1
上取
一点 P，过 P 作棱柱的截面，使 AA
1
垂直于这个截面.)








(第20题)
第三章 直线与方程 A组
一、选择题
1．若直线x＝1的倾斜角为

?，则??( )．
A．等于0 B．等于? C．等于
?

2
D．不存在
2．图中的直线l
1，l
2
，l
3
的斜率分别为k
1
，k
2
，k
3
，则( )．
A．k
1
＜k
2
＜k
3
C．k
3
＜k
2
＜k
1



(第2题)

B．k
3
＜k
1
＜k
2

D．k
1
＜k
3
＜k
2

3．已知直线l
1
经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l
2
经过两点(2，1)、(x， 6)，且l
1
∥l
2
，则x＝( )．
A．2 B．－2 C．4 D．1
4．已知直线l与过点M(－
3
，
2
)，N(
2
，－
3
)的直线垂直，则直线l的倾斜角是( )．
A．
?

3
B．
2?

3
C．
?

4
D．
3?

4
5．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．设A，B是 x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的 方程
是( )．
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0 C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0
7．过两直线l
1
：x－3 y＋4＝0和l
2
：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )．
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0 C．19x－3y＝ 0
第 12 页 共 32 页
D．3x＋19y＝0

8．直线l
1
：x＋a
2
y＋6＝0和直线l
2
: (a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是( )．
A．3 B．－3 C．1 D．－1
9．将直线l沿y轴的负方向平移a(a＞0)个单位，再沿x轴正方向平移 a＋1个单位得直线l'，此时直线l'

与l重合，则
直线l'

的斜率为( )．
A．
a

a＋1
B．
－
a

a＋1
C．
a＋1

a
D．
－
a＋1

a
10．点(4，0)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点是( )．
A．(－6，8)
二、填空题
11．已知直线l
1
的倾斜角 ?
1
＝15°，直线l
1
与l
2
的交点为A，把直线l
2
绕着点A按逆时针方向旋转到和直线l
1
重合时所
转的最小正角为60° ，则直线l
2
的斜率k
2
的值为 ．
12．若三点A(－2，3)，B(3，－2)，C(
B．(－8，－6) C．(6，8) D．(－6，－8)
1
，m)共线，则m的值为 ．
2
13．已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C( 3，2)，求第四个顶点D的坐标为 ．
14．求直线3x＋ay＝1的斜率 ．
15．已知点A(－2，1)，B(1，－2)，直线y＝2上一点P，使|AP|＝|BP|，则 P点坐标为 ．
16．与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是 ．
17．若一束光线沿着直线x－2y＋5＝0射到x轴上一点，经x轴反射后其反射线所在直线的方程是 ．
三、解答题
18．设直线l的方程为(m
2
－2m－3)x＋(2m< br>2
＋m－1)y＝2m－6(m∈R，m≠－1)，根据下列条件分别求m的值：
①l在x轴上的截距是－3；





19． 已知△ABC的三顶点是A(－1，－1)，B(3，1)，C(1，6)．直线l平行于AB，交AC，BC分 别于E，F，△CEF
的面积是△CAB面积的




第 13 页 共 32 页
②斜率为1．
1
．求直线l的方程．
4

20．一直线被两直线l
1
：4x＋y＋6＝0，l
2
：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程．






.
21．直线l过点(1，2)和第一、二、四象限，若直 线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．




第四章 圆与方程
一、选择题
1．若圆C的圆心坐标为(2，－3)，且圆C经过点M(5，－7)，则圆C的半径为( )．
A．
5
B．5 C．25 D．
10

2．过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )．
A．(x－3)
2
＋(y＋1)
2
＝4 B．(x＋3)
2
＋(y－1)
2
＝4 C．(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝4 D．(x＋1)
2
＋(y＋1)
2
＝4
3．以点(－3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( )．
A．(x－3)
2
＋(y＋4)
2
＝16 B．(x＋3)
2
＋(y－4)
2
＝16 C．(x－3)
2
＋(y＋4)
2
＝9 D．(x＋3)
2
＋(y－4)
2
＝19
4．若直线x＋y＋m＝0与圆x
2
＋y
2
＝m相切，则m为( )．
A．0或2 B．2 C．
2
D．无解
5．圆(x－1)
2
＋(y＋2)
2
＝20在x轴上截得的弦长是( )．
A．8 B．6 C．6
2
D．4
3

6．两个圆C
1
：x
2
＋y
2
＋2x＋2y－2＝ 0与C
2
：x
2
＋y
2
－4x－2y＋1＝0的位置关系为 ( )．
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
7．圆 x
2
＋y
2
－2x－5＝0与圆x
2
＋y
2
＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是( )．
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
8．圆x
2
＋y
2
－2x＝0和圆x
2
＋y
2
＋4y＝0的公切线有且仅有( )．
第 14 页 共 32 页

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
9．在空间直角坐标系中，已知点M(a，b，c)，有下列叙述：
点M关于x轴对称点的坐标是M
1
(a，－b，c)； 点M关于yoz平面对称的点的坐标是M
2
(a，－b，－c)；
点M关于y轴对称的点的坐标是M
3
(a，－b，c)； 点M关于原点对称的点的坐标是M
4
(－a，－b，－c)．
其中正确的叙述的个数是( )．
A．3 B．2 C．1 D．0
10．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(2，－1，6)的距离是( )．
A．2
43
B．2
21
C．9 D．
86

二、填空题
11．圆x
2
＋y
2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为 ．
12．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为 ．
13．以点C(－2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是 ．
14 ．两圆x
2
＋y
2
＝1和(x＋4)
2
＋(y－a)
2
＝25相切，试确定常数a的值 ．
15．圆心为C(3，－5)，并且与直线x－7y＋2＝0相切的圆的方程为 ．
16．设圆x
2
＋y
2
－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3 ，1)，则直线AB的方程是 ．
三、解答题
17．求圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．






18．求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a，b的圆的方程(ab≠0)．






第 15 页 共 32 页

1 9．求经过
A
(4，2)，
B
(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距 之和是2的圆的方程．






20．求经过点(8，3)，并且和直线x＝6与x＝10都相切的圆的方程．







期末测试题
考试时间：90分钟 试卷满分：100分
一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合要求的．
1．在直角坐标系中，已知A(－1，2)，B(3，0)，那么线段AB中点的坐标为( )．
A．(2，2) B．(1，1) C．(－2，－2) D．(－1，－1)
2．右面三视图所表示的几何体是( )．

A．三棱锥
B．四棱锥
C．五棱锥
D．六棱锥


3．如果直线x＋2y－1＝0和y＝kx互相平行，则实数k的值为( )．
A．2 B．
正视图
侧视图
俯视图
(第2题)
1

2
C．－2 D．－
1

2
4．一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为( )．
第 16 页 共 32 页

A．1 B．2 C．3 D．4
5．下面图形中是正方体展开图的是( )．


C D
(第5题)
6．圆x
2
＋y
2
－2x－4y－4＝0的圆心坐标是( )．
A．(－2，4) B．(2，－4) C．(－1，2) D．(1，2)
7．直线y＝2x＋1关于y轴对称的直线方程为( )．
A．y＝－2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－1 D．y＝－x－1
8．已知两条相交直线a，b，a∥平面??，则b与

??的位置关系是( )．
A．b
?
平面????B．b⊥平面???????C．b∥平面???D．b 与平面?相交，或b∥平面??
?．在空间中，a，b是不重合的直线，?，?是不重合的平面，则下列 条件中可推出a∥b的是( )．
A．a
?
?，b
?
?，?∥? B．a∥?，b
?
???????C．a⊥?，b⊥? D．a⊥?，b
?
?
10． 圆x
2
＋y
2
＝1 和圆x
2
＋y
2
－6y＋5＝0的位置关系是( )．
A．外切 B．内切 C．外离 D．内含
11．如图，正方体ABCD —A'B'C'D'中，直线D'A与DB所成的角可
D
?

C
?

以
( )．
A
?

B
?

A．∠D'DB B．∠AD' C'
C．∠ADB D．∠DBC'
D

C

A

B


(第11题)

12． 圆(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝2被
x
轴截得的弦长等于( )．
A． 1 B．
3
2
C． 2 D． 3
13．如图，三棱柱A
1
B
1
C
1
—ABC中，侧棱AA
1
⊥底面A< br>1
B
1
C
1
，底面三
C

E

B

A
1
B
1
C
1
是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )．
A

A．CC
1
与B
1
E是异面直线
C
1
B
1
B．AC⊥平面A
1
B
1
BA
A
1
第 17 页 共 32 页
(第13题)
A

B

表示为
角形

C．AE， B
1
C
1
为异面直线，且AE⊥B
1
C
1

D．A
1
C
1
∥平面AB
1
E

14．有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4 cm，高为12 cm．现要为100个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均要
涂色，笔筒厚度忽略不计)． 如果每0.5 kg涂料可以涂1 m
2
，那么为这批笔筒涂色约需涂料．
A．1.23 kg B．1.76 kg C．2.46 kg D．3.52 kg
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
15．坐标原点到直线4x＋3y－12＝0的距离为 ．
16．以点A(2，0)为圆心，且经过点B(－1，1)的圆的方程
是 ．
17．如图，在长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，棱锥A
1
——ABCD的
长方体的体积之比为_____ __________．
18．在平面几何中，有如下结论：三边相等的三角形内任意一点
D
1
A
1
B
1
C
1
体积与
D
A
(第17题)
C
B
到三边
的距离之和为定值．拓 展到空间，类比平面几何的上述结论，可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点
_______ ________________________________．
三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．已知直线l经过点(0，－2)，其倾斜角是60°．
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．





20．如图，在三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，
AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．
(1)求证：DE∥平面PAC；
(2)求证：AB⊥PB；
P
E
(3)若PC＝BC，求二面角P—AB—C的大小．


C
A
D
B
(第20题)
第 18 页 共 32 页

21．已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数 ，且与直线4x＋3y－29＝0相切．
(1)求圆C的方程；
(2)设直线ax－y＋5＝0与圆C相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
(3) 在 (2)的条件下，是否存在实数a，使得过点P(－2，4)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值 ；若不
存在，请说明理由．




期末测试题
参考答案
一、选择题
1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．D 7．A 8．D 9．C
10．A 11．D 12．C 13．C 14．D
二、填空题
15．
12
．
5
16．(x－2)
2
＋y
2
＝10．
17．1:3．
18．到四个面的距离之和为定值．
三、解答题
19．解：(1)因为直线l的倾斜角的大小为60°,故其斜率为tan 60°＝
3
，又直线l经过点(0，－2)，所以其方程为
3
x
－y－2＝0．
(2)由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是
2
3
，－2，所以直 线l与两坐标轴围成三角形的面积S＝
1
2
··2
2
3
＝< br>23
．
3

P
20．(1)证明：因为D，E分别是AB，PB的中点，
所以DE∥PA．
E
C
第 19 页 共 32 页
A
D
B
(第20题)

因为PA
?
平面PAC，且DE
?
平面PAC，
所以DE∥平面PAC．

(2)因为PC⊥平面ABC，且AB
?
平面ABC，
所以AB⊥PC．又因为AB⊥BC，且PC∩BC＝C．
所以AB⊥平面PBC．
又因为PB
?
平面PBC，
所以AB⊥PB．
(3)由(2)知，PB⊥AB，BC⊥AB，
所以，∠PBC为二面角P—AB—C的平面角．
因为PC＝BC，∠PCB＝90°，
所以∠PBC＝45°，
所以二面角P—AB—C的大小为45°．
21．解：(1)设圆心为M(m，0)(m∈Z)．
由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，所以，
即|4m－29|＝25．
因为m为整数，故m＝1．
故所求的圆的方程是(x－1)
2
＋y
2
＝25．
(2)直线ax－y＋5＝0即y＝ax＋5．代入圆的方程，消去y整理，得
(a
2
＋1)x
2
＋2(5a－1)x＋1＝0．
由于直 线ax－y＋5＝0交圆于A，B两点，故△＝4(5a－1)
2
－4(a
2
＋1)＞0，
即12a
2
－5a＞0，解得a＜0，或a＞
4m?295
＝5，
5
．
12
5
，＋∞)．
12
11
，l的方程为y＝－(x＋2)＋4， 即x＋ay＋2
aa
335
．由于∈(，＋∞)，
4412
所以实数a的取值范围是(－∞，0)∪(< br>(3)设符合条件的实数a存在，由(2)得a≠0，则直线l的斜率为－
－4a＝0．由于l垂 直平分弦AB，故圆心M(1，0)必在l上．所以1＋0＋2－4a＝0，解得a＝
故存在实数a＝< br>3
，使得过点
4
P(－2，4)的直线l垂直平分弦AB．

第一章 空间几何体参考答案A组
第 20 页 共 32 页

一、选择题
1．A
解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台．
2． A解析：原图形为一直角梯形，其面积S＝
1
(1＋
2
＋1)×2＝2＋2
．
2
3
＝
3
．
4
3．A解析： 因为四个面是全等的正三角形，则S
表面
＝4×
4．B解析：长方体的对角线是球的直 径，
l＝
3
2
＋4
2
＋5
2
＝5
2
，2R＝5
2
，R＝
52
，S＝4πR
2
＝5 0π．
2
5．C解析：正方体的对角线是外接球的直径．
6．D解析：V＝V大
－V
小
＝
1
2
3
πr
(1＋1.5 －1)＝
π．
2
3
22
7．D解析：设底面边长是a，底面的两条 对角线分别为l
1
，l
2
，而
l
1
＝15
2
－5
2
，
l
2
＝9
2
－5
2< br>，
22
而
l
1
＋
l
2
＝4a2
，即15
2
－5
2
＋9
2
－5
2< br>＝4a
2
，a＝8，S
侧面
＝4×8×5＝160．
8．D解析：过点E，F作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，
V＝2×
9．B
解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度
为原来的一半．平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变．
10．D解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D.
二、填空题
11．参考答案：5，4，3．
解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台．
12．参考答案：1∶2
2
∶3
3
．
r
1
∶r
2
∶r
3
＝1∶
2
∶
3
，
r
1
3
∶
r
2
3
∶
r
3
3
＝1
3
∶(
2
)
3
∶(
3
)< br>3
＝1∶2
2
∶3
3
．
13．参考答案：
1
31315
××3×2＋×3×2×＝．
222
3
4
1
3
a
．
6
解析： 画出正方体，平面AB
1
D
1
与对角线A
1
C的交点是对角 线的三等分点，
三棱锥O－AB
1
D
1
的高h＝
333< br>11
1
a，V＝Sh＝××2a
2
×a＝a
3
． < br>343
6
33
另法：三棱锥O－AB
1
D
1
也可以看成三棱锥A－OB
1
D
1
，它的高为AO，等腰三角形OB
1
D
1
为底面．
14．参考答案：平行四边形或线段．
15．参考答案：
6
，
6
．
解析：设ab＝
2
，bc＝
3
，ac＝
6
，则V = abc＝
6
，c＝
3
，a＝
2
，b＝1，
第 21 页 共 32 页

l＝
3＋2＋1
＝
6
．
16．参考答案：12．解析：V＝Sh＝πr
2
h＝
三、解答题
17．参考答案：
4
3
πR
，R＝
3
64×27
＝12．
3
V＝
3×190000
3V
1
(S＋
SS
′＋S)h，h＝＝＝75．
3
S＋SS
′
＋S
′
36 00＋2400＋1600
18．参考答案：
如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径 为R，正方体的棱长为a，则CC'＝a，OC＝
2
a，OC'＝R．
2
A'
C'
A
O
(第18题)
C

在Rt
△
C'CO
中，由勾股定理，得CC'
2
＋OC
2
＝OC'
2
，
即 a
2
＋(
∴R＝
2
22
a)＝R．
2
6 6
33
a，∴V
半球
＝
πa
，V
正方体
＝ a．
22
6
π∶2． ∴V
半球

∶V
正方体
＝
19．参考答案：
S
表面
＝S下底面
＋S
台侧面
＋S
锥侧面

＝π×5
2
＋π×(2＋5)×5＋π×2×2
2

＝(60＋4
2
)π．
V＝V
台
－V
锥

＝
＝
11
π(
r
1
2
＋r
1r
2
＋
r
2
2
)h－
πr
2
h
1

33
148
π．
3
20． 解：(1) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积
V
1
＝16
2
256
11
Sh＝×π×()×4＝
π(m
3< br>)．
2
3
33
第 22 页 共 32 页

如果按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积
V
2
＝
288
12
2
11
Sh＝×π×()×8＝
π(m
3
)．
2
33
3
(2) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m．
棱锥的母线长为l＝
8
2
＋4
2
＝4
5
，
仓库的表面积S
1
＝π×8×4
5
＝32
5
π(m
2
)．
如果按方案二，仓库的高变成8 m．
棱锥的母线长为l＝
8
2
＋6
2
＝10，
仓库的表面积S
2
＝π×6×10＝60π(m
2
)．
(3) 参考答案：∵V
2
＞V
1
，S
2
＜S1
，∴方案二比方案一更加经济些．
第二章 点、直线、平面之间的位置关系参考答案A组
一、选择题
1．D
解析：命题②有反例，如图中平面??∩平面??＝直线n，
l
?
?，m
?
?，
且l∥n，m⊥n，则m⊥l，显然平面???不垂直平面

?，??????????????????(第1题)
故②是假命题；命题①显然也是假命题，
2．D解析：异面直线AD与CB
1
角为45°．
3．D解析：在①、④的条件下，m，n的位置关系不确定．
4．D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D．
5．B
解析：学会用长方体模型分析问题，A
1
A有无数点在平面ABCD
平面AB CD相交，①不正确；A
1
B
1
∥平面ABCD，显然A
1
B
1
不平行于
确；A
1
B
1
∥AB，A
1
B
1
∥平面ABCD，但AB
?
平面ABCD内，③不正
平 行，则l与???无公共点，l与平面???内的所有直线都没有公共点，
B． (第5题)
6．B
解析：设平面 ??过l
1
，且 l
2
∥?，则 l
1
上一定点 P 与 l
2
确定一平面 ??，??与 ??的交线l
3
∥l
2
，且 l
3
过点 P. 又过点
P 与 l
2
平行的直线只有一条，即 l
3
有唯一性，所以经过 l
1
和 l
3
的平面是唯一的，即过 l
1
且平行于 l
2
的平面是唯一的.
7．C
解析 ：当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，则△DBO是等腰直角三角形，即∠ DBO＝
外，但AA
1
与
BD，②不正
确；l与平面α
④正 确，应选
第 23 页 共 32 页

45°．
8．D
解析：A．一组对边平行就决定了共面；B．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C．这些直线都在同一个 平面
内即直线的垂面；D．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．
9．B解析：因为①②④正确，故选B．
10．A
解析：异面直线
a，
b
所成的角为60°，直线
c
⊥
a
，过空间任一点 P，作直线 a’∥a， b’∥b， c’∥c. 若a’，b’，c’
共面则 b’ 与 c’ 成 30° 角，否则
二、填空题
11．
，90°]，所以直线b与c所成角的范围为[30°，90°] ．
b
’

与
c
’

所成的角的范围为(3 0°
1
3
2S
1
S
2
S
3
．
解析：设三条侧棱长为 a，b，c．
则
∴
111
ab＝S
1
，bc＝S
2
，ca＝S
3
三式相乘：
222
1
222
a b c＝S
1
S
2
S
3
，
8
∴ abc
＝
2
2S
1
S
2
S
3
．
∵ 三侧棱两两垂直，
∴ V
＝
1
11
abc·＝
2
33
2S
1
S
2
S
3
．
12．外，垂，内，中，BC边的垂直平分．
解析：(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心；
(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的垂心；
(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的内心；
(4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；
(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在∠BAC 的平分线上．
13．60°．
解析：将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为60°．
14．[30°，90°]．
解析：直线l与平面???所成的30°的角为m与l所成角的 最小值，当m在???内适当旋转就可以得到l⊥m，即m与l所
成角的的最大值为90°．
15．
6
．
3
第 24 页 共 32 页

解析：作等积变换：
16．60°或120°．
1
?
3
×(d
1
＋d
2
＋d
3
＋d
4
)＝
1
?
3
·h，而h＝
6
．
34343
解析：不妨固定AB，则AC有两种可能．
三、解答题
17．证明：(1)取BC中点O，连结AO，DO．
∵△ABC，△BCD都是边长为4的正三角形，
∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO＝O
，

∴BC⊥平面AOD．又AD
?
平面AOD，
∴BC⊥AD． (第17题)
解：(2)由(1)知∠AOD为二面角A－BC－D的平面角，设∠AOD＝?，则过 点D作DE⊥AD，垂足为E．
∵BC⊥平面ADO，且BC
?
平面ABC，
∴平面ADO⊥平面ABC．又平面ADO∩平面ABC＝AO，
∴DE⊥平面ABC．
∴线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE＝3．
又DO＝
3
BD＝2
3
，
2
3
DE
＝，
2
DO
3
．
2
在Rt△DEO中，sin?＝
故二面角A－BC－D的正弦值为
(3)当 ?＝90°时，四面体ABCD的体积最大．
18．证明：(1)在长方体ABCD－A
1< br>B
1
C
1
D
1
中，AB＝2，BB
1
＝BC＝1，E为D
1
C
1
的中点．∴△DD
1
E为等腰 直角三角形，
∠D
1
ED＝45°．同理∠C
1
EC＝45°．∴< br>?DEC?90?
，即DE⊥EC．
在长方体ABC
D
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，BC⊥平面
D
1
DCC
1
，又DE
?
平面
D
1
DCC
1
，
∴BC⊥DE．又
EC?BC?C
，∴DE⊥平面E BC．∵平面DEB过DE，∴平面DEB⊥平面EBC．
(2)解：如图，过E在平面
D
1
DCC
1
中作EO⊥DC于O．在
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，∵面ABCD⊥面
D
1
DCC
1
，∴EO⊥面ABCD．过
中作OF⊥DB于F，连结EF，∴E F⊥BD．∠EFO为二面角
E
－
角．利用平面几何知识可得OF＝
长方体A BCD
O在平面DBC
D
B
－C的平面
1
， (第18题)
5
又OE＝1，所以，tan
?
EFO＝
5
．
第 25 页 共 32 页

1
1
2
?
1＝
3
， 19*．解： (1)直角梯形ABCD的面积是M
底面
＝
(BC＋AD)?AB
＝
24
2
1＋
∴四棱锥S—ABCD的体积是V＝
11
31
· SA·M
底面
＝×1×＝．
44
33
(2)如图，延长BA，CD 相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱．
∵AD∥BC，BC＝2AD，
∴EA
＝
AB
＝
SA，∴SE⊥SB
∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线．
又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是SC在面SEB
上的射影，
∴CS⊥SE，∠BSC是所求二面角的平面角．
∵SB＝
SA＋AB
＝
2
，BC＝1，BC⊥SB，
∴tan∠BSC＝
22
BC2
，
＝
SB2
(第19题)
即所求二面角的正切值为
2
．
2
10，A
1
A和面
AA
1
∥CC
1
，∴截
20*．解：如图 ，设斜三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的侧面BB
1
C
1
C的面积为
BB
1
C
1
C的距离为6 ，在AA
1
上取一点P作截面PQR，使AA
1
⊥截面PQR，
面P QR⊥侧面BB
1
C
1
C，过P作PO⊥QR于O，则PO⊥侧面BB
1
C
1
C，且
∴V
斜
＝S
△
PQR·AA
1
＝
＝
＝
PO＝6．

1
·QR·PO·AA
1
2

1
·PO·QR·BB
1
2
1
×10×6
2
(第20题)

＝30．
第三章 直线与方程参考答案A组
一、选择题
1．C解析：直线x＝1垂直于x轴，其倾斜角为90°．
2．D解析 ：直线l
1
的倾斜角??
1
是钝角，故k
1
＜0；直线l< br>2
与l
3
的倾斜角??
2
，?
3
均为锐角 且?
2
＞?
3
，所以k
2
＞k
3
＞0，< br>因此k
2
＞k
3
＞k
1
，故应选D．
3．A
解析：因为直线l
1
经过两点(－1，－2)、(－1，4)，所以 直线l
1
的倾斜角为
为
?
，而l
1
∥l
2
，所以，直线l
2
的倾斜角也
2
?
，又直线l
2< br>经过两点(2，1)、(x，6)，所以，x＝2．
2
4．C
第 26 页 共 32 页

解析：因为直线MN的斜率为
2＋3
－3－2
＝－1
，而已知直线l与直线MN垂直，所以直线l的斜率为1，故直线l的
倾斜角是
?
．
4
5．C
解析：直线Ax＋By＋C＝0的斜率k
＝
?
C
A
＜0，在y轴上的截距
D＝－
＞0，所以，直线不通过第三 象限．
BB
6．A解析：由已知得点A(－1，0)，P(2，3)，B(5，0)，可得 直线PB的方程是x＋y－5＝0．
7．D
8．D
9．B
解析: 结合图形，若直线l先沿y轴的负方向平移，再沿x轴正方向平移后，所得直线与l重合，这说明直线 l 和l’ 的
斜率均为负，倾斜角是钝角．设l’ 的倾斜角为 ?，则
tan ?＝
－
10．D
解析：这是考察两点关于直线的对称点问题．直线5x＋4y＋21 ＝0是点A(4，0)与所求点A'(x，y)连线的中垂线，列出
关于x，y的两个方程求解．
二、填空题
11．－1．
解析：设直线l
2
的倾斜角为??
2
，则由题意知：
180°－?
2
＋15°＝60°，?
2
＝135°，
∴k
2
＝tan ?
2
＝tan(180°－45°)＝－tan45°＝－1．
12．
a
．
a＋1
1
．
2
(第11题)
解：∵A，B，C三点共线，
∴k
AB
＝k
AC
，
－2－3m－3
1
＝
．解得m＝．
1
3＋2
2
＋2
2
13．(2，3)．
解析：设第四个顶点D的坐标为(x，y)，
∵AD⊥CD，AD∥BC，
∴k< br>AD
·k
CD
＝－1，且k
AD
＝k
BC
．
∴
y－1y－2y－1
·＝－1，＝1．
x－0x－3x－0
第 27 页 共 32 页

解得
?
?
x＝0
?
x＝2
(舍去)
?

y＝1y＝3
??
所以，第四个顶点D的坐标为(2，3)．
14．－
3
或不存在．
a
解析：若a＝0时，倾角90°，无斜率．
若a≠0时，y＝－
∴直线的斜率为－
15．P(2，2).
解析：设所求 点P(x，2)，依题意：
(x?2)?(2?1)
＝
(x?1)?(2?2)
，解得x＝2，故所求P点的坐标为(2，
2)．
16．10x＋15y－36＝0． < br>解析：设所求的直线的方程为2x＋3y＋c＝0，横截距为－
2222
31
x ＋
aa
3
．
a
cc
，纵截距为－，进而得
23
c = －
36
．
5
17．x＋2y＋5＝0．
解析：反射线所在直线与入射线所在的直线关于x轴对称，故将直线方程中的y换成
－y．
三、解答题
18．①m＝－
54
；②m＝．
33
解析：①由题意，得
2m?6
＝－3，且m
2
－2m－3≠0．
m
2
?2m?3
解得 m＝－
5
．
3
m
2
?2m?3
②由题意，得＝－1，且2m
2
＋m－1≠0．
2
2
m
?
m?
1
解得 m＝
4
．
3
19．x－2y＋5＝0．
解析：由已知，直线AB的斜率 k＝
1?1
1
＝．
3?1
2
1
．
2
第 28 页 共 32 页
因为EF∥AB，所以直线EF的斜率为