高中数学选修2 2北师大版-高中数学选修都有哪些
高中数学必修2《解析几何》常用公式结论
1、直线的倾斜角与斜率:k?tan
?
,当
?
∈[0°,90°)时,斜率
k
∈
[0,+∞);
当
?
∈(90°,180°)时,斜率
k
∈(-∞,0)。
过两点
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
的直线斜率公式:
k
?
y
y
2
?y
1
.
x
2
?x<
br>1
O
?
2
?
2、直线的五种方程:
⑴点斜式:
y?y
0
?k(x?x
0
)
(直线<
br>l
过点
P(x
0
,y
0
)
,且斜率为
k
).
⑵斜截式:
y?kx?b
(
k
为直线的斜率,b
为直线
l
在y轴上的截距).
x
y?y
1
x?x
1
(
y
1
?y
2
且
x
1
?x
2
)(
P
?<
br>1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
⑷截距式:
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距,且
a、b?0
)
ab
⑸一般式:
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
⑶两点式:
3、两条直线平行和垂直的等价关系:
(1)若
l
1<
br>:y?k
1
x?b
1
,
l
2
:y?k
2
x?b
2
,则①
l
1
||l
2
?k<
br>1
?k
2
,b
1
?b
2
②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
;
(2)若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?
C
2
?0
,且A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零;
①
l
1
||l
2
?<
br>A
1
B
1
C
1
??
或
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
且B
1C
2
?
B
2
C
1
;②
l
1<
br>?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
;
A
2
B
2
C
2
4、五种常用直线系方程:
⑴斜率为
k
的直线系方程为:
y?kx?b
(
k
为常数,
b
为参数;).
⑵过定点
M
?
x
0
,y
0
?
的直线系方程为:
y?y
0
?k
?
x
?x
0
?
及
x?x
0
⑶与直线
Ax?B
y?C?0
平行的直线系方程为:
Ax?By?
?
?0
(
C
?
?
)(
?
为参数)
⑷与直线
Ax?By?C?0
垂直的直线系方程为:
Bx?Ay?
?
?0
(
?
为参数)
⑸过直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C1
?0
和
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直线系的方程为:
?
Ax?By?C?
?
?
?
A
1112
x?B
2
y?C
2
?
?0
(不含
l
2
)(
?
为参
数)
22
|P|=(x
2
?x
1
)?(y
2?y
1
)
(其中两点为
P
5、两点间距离公式:
1P
2
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
)
特别的:点
P(x,y)
到坐标原点
O(0,0)
的距离为:
|OP|?
6、
点到直线的距离公式:
d?
x
2
?y
2
|Ax<
br>0
?By
0
?C|
22
A?B
|C
2
?C
1
|
7、两条平行直线间的距离公式:
d?
(直线
l
1
:
Ax?By?C
1
?0
,
l
2
:
Ax?By?C
2
?0
).
22
A?B
8、
光的反射定律:当反射面是坐标轴时,入射光线与反射光线所在直线的斜率互为相反数,即:
k
入
=-k
反
。
9、四种对称的求解方法:
⑴点P
?x
0
,y
0
?
关于点C
?
a,b
?<
br>的对称点坐标为
?
2a-x
0
,2b-y
0
?
。
特别的:点
P
?
x
0
,y
0
?关于
x
轴的对称点为
?
x
0
,-y
0
?
;关于
y
轴的对称点为
?
-x
0
,y
0
?
;关于原点的对称点
为
?
?x
0
,-y
0
?
;关于
y?x
的对称点为
?
y
0
,x
0
?
;关于
y??x
的对称点为
?
-y
0
,-x
0
?
.
⑵直线
l:Ax?By?C?0
关
于点C
?
a,b
?
对称的直线方程为
A(2a-x)?B(2b-y
)?C?0
.
求法:设所求直线上任意一点为P
?
x,y
?
,则P关于C
?
a,b
?
的对称点
?
2a?x,2b?y
?
在直线
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
:
Ax?By?C?0
).
Ax?By?C?0
上,即所求直线方程为
A(2a-x)?B(2b-y)?C?0
⑶点
P<
br>?
a,b
?
关于直线
Ax?By?C?0
的对称点的坐标的求
法:
?
a?x
0
b?y
0
?
一定
在直线
Ax?By?C?0
上,且
,
?
2
??
2<
br>y?b
?
A
?
'
直线
PP
与直线
A
x?By?C?0
的斜率互为负倒数,即
0
?
?
?
?
??1
,联立解出对称点
P
'
?
x
0
,y
0
?
。
x
0
?a
?
B
?
设所
求的对称点
P
的坐标为
?
x
0
,y
0
?<
br>,则
PP
的中点
?
''
⑷直线关于直线对称:
‘<
br>l
直线关于直线对称可转化为点关于直线对称解决,在
l
1
上任取两点
P
求出
P
1
、
P
2
,
1
、
P
2
关于的对称点
P
1
、
‘
l
P
2
,再用两点式求出
l
1
关于对称的直线
l
2<
br>的方程。
10、圆的两种方程:⑴圆的标准方程
(x?a)
2
?(
y?b)
2
?r
2
(圆心为
(a,b)
,半径为
r
).
⑵圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F?0
).
22
DE
(圆心为
(?,?)<
br>,半径为
r?
22
11、圆系方程:
D
2
?E
2
?4F
)
2
⑴过直线
l
:
Ax?By?C?0
与圆
C
:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
的交点的圆系方程是
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
?
(Ax?By?C)?0
,λ是待定的系数
.
22
⑵过圆
C
1
:
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
2
?0
的交点的
圆系方程是
1
?0
与圆
C
2
:
x?y?D
2
x?E
2
y?F
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
(x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
)?0
,λ是待定的系数.
⑶过两个相交圆公共点的直线方程的求法:只需将两圆的方程相减,消去
x
2
、y
2
,即可得到所求方程。
12、点与圆的位置关系:
点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种,若
d?
13、直线与圆的三种位置关系:
直线
l
:
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系判断的两种方法(常用方法⑴):
⑴设圆心
(a
,b)
到直线
l
的距离
d?
(a?x
0
)
2
?(b?y
0
)
2
,则
d?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点
P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
Aa?Bb?C
22
,则
d?r?相离;d?r?相
切;d?r?相交。
A?B
⑵将直线代入圆的方程消去y,得到关于x的一元二次方
程,再利用
?
判断:
即:
??0?相交;?=0?相切;??0?相离。
14、两圆位置关系的
判定方法:设两圆圆心分别为
O
1
、O
2
,半径分别为
r<
br>1
、r
2
,
O
1
O
2
?d
,则:
⑴
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
⑵
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
⑶r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交
?2条公切线
;⑷
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线;
⑸
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
15、圆的切线方程:⑴已知圆
x?y?Dx?Ey?F?0
.
①过圆外一
点的切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)
,再利用相
切条件求k,这时必有两条切线,注意不
要漏掉平行于y轴的切线.
②斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
,再利用相切条件求b,必有两条切线.
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
??F?0<
br>.
22
222
2
⑵已知圆
x?y?r
.①过圆上的
P
0
(x
0
,y
0
)
点的切线方程为x
0
x?y
0
y?r
;
③若已知切点
(x<
br>0
,y
0
)
在圆上,则只一条切线,方程为
x
0x?y
0
y?
②斜率为
k
的圆的切线方程为
y?kx?
r1?k
2
.
16、空间两点间的距离公式:
|P|=(x
2<
br>?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)2
?(z
2
?z
1
)
2
(其中两点为
P
1
P
2
2
(x
2
,y
2
,z<
br>2
)
)
1
(x
1
,y
1
,z1
)
、
P
特别的:点
P(x,y,z)
到坐标原点O(0,0,0)
的距离为:
|OP|?x
2
?y
2
?
z
2
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