高中数学必修1知识点

高中数学必修1知识点
第一章 集合与函数概念
一、集合相关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：
1.元素的确定性；
2.元素的互异性；
3.元素的无序性
说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象 或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象 ，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，所以判 定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排
列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1．用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）N 正整数集N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
关于“属于”的概念：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a是集合A的元素，就说a属于集合 A 记作 a∈A ，相反，
a不属于集合A 记作 a?A
列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的 公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个
集合的方法 ：①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R|
x-3>2}或{x| x-3>2}
4、集合的分类：
1．有限集 含有有限个元素的集合
2．无限集 含有无限个元素的集合
3．空集 不含任何元素的集合 例：{x|x
2
=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：
A?B
有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
?
B或B
?
?
A 反之： 集合A不包含于集合B,或集合B不包含 集合A,记作A
?
2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x
2
-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论：对 于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元
素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B
① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集：如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
B(或BA)

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定： 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1、交集的定义 ：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B(读作＂A交B＂)，即 A∩
B=
{x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义：一般地，由所有属于集合 A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作＂A并B＂)，
即A∪B ={x|x∈A，或x∈B}．
3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A,A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集与补集
（ 1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即
A?S
），由S中所有不属于A的元素组成
的
集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作： C
S
A 即 C
S
A ={x ? x?S且 x?A}
（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就能够看作一个全集。
通常用U来表示。
（3）性质：⑴C
U
(C
U
A)=A ⑵(C
U
A)∩A=Φ ⑶(C
U
A)∪A=U
四、函数的相关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯
一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x
叫做自变量，x的取值 范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }
叫做函数的值域．
注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数 的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 函数
的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
定义域补充：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要 依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. < br>(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的 值组成的集合.
(6)指数为零底不能够等于零
(7)实际问题中的函数的定义域还要 保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
再注意：
（1）构成函数三个要素是 定义域、对应关系和值域．因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域
和对应 关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对 应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：
①表达式相同；②定义域 一致 (两点必须同时具备)
值域补充：（1）、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么 方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
（2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数 及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。
S
C
s
A
A

2. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x < br>∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x) 的每一组有序实数对x、y为坐标
的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }。图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由
与任意 平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2)画法
A、描点法： 根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相对应的点P( x, y)，
最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法（请参考必修4三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用：
1、直观的看出函数的性质；
2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提升解题的速度。发现解题中的错误。
3. 了解区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．
4．什么叫做映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使 对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有
唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?
B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A
?
B”
给定一个集 合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫 做元素b 的
原象
说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对 应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强
调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关 系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集
合A中的每一个元素，在集合B中都 有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象能够是
同一个；（Ⅲ）不要求 集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
常用的函数表示法及各自的优点：
1
函○数图象既能够是连续的曲线，也能够是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据 ；
2
解○析法：必须注明函数的定义域；
3
图○象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；
4
列○表法：选择的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值
补充一：分段函数 ：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必 须把自变量代入相对
应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的 表达式并用一个左
大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数， 不要把它误认为
是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
补充二：复合函数：如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复合函数。例如： y=2
sinX
y=2cos(X
2
+1)
5．函数单调性
（1）增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x
1，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1)2
)，
那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x )的单调增区间 （睇清楚课本单调区间的概念）

如果对于区间D上的任意两个自变量 的值x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都 有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区
间D称为y=f(x)的单调 减区间.
1
函注意：○数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
2
必○须是对于区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
； 当x
1
2
时，总有f(x
1
)2) 。
（2）图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说 函数y=f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函
数的图象从左到右是上升的， 减函数的图象从左到右是下降的.
（3）函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1
任○取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；
2
作○差f(x
1
)－f(x
2
)；
3
变○形（通常是因式分解和配方）；
4
定○号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；
5
下○结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)_
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y =f(u)的单调性密切相关，其规律如下：
函数
u=g(x)
y=f(u)
y=f[g(x)]
增
增
增
增
减
减
单调性
减
增
减
减
减
增
注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？
6．函数的奇偶性
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x )，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
1
函注意：○数是 奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既
是奇函数又是偶函数。
2
由○函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是， 对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定
义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
1
首○先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
2
确○定f(－x)与f(x)的关系；
3
作○出相对应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇 偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函

数是非奇非偶函 数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f (-x)±f(x)=0
或f(x)f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
7、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式 是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出
函数的定义域.
（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函 数解析式的构造时，可用待定系数法；已
知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注 意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知
抽象函数表达式，则常用解方程组消参 的方法求出f(x)
8．函数最大（小）值
1
利○用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
2
利○用图象求函数的最大（小）值
3
利○用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函 数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)
在x= b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函 数y=f(x)在x=b处有最小值
f(b)

第二章 基本初等函数
一、指数函数
一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果
x
n
?a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方 根（n th root），其中
n
>1，且
n
∈
N
*
．
当
n
是奇数时，正数的
n
次方根是一个正数，负数的
n
次 方根是一个负数．此时，
a
的
n
次方根用符号
n
a
表示．式子
n
a
叫做根式（radical），这里
n
叫做根指数（ radical exponent），
a
叫做被开方数（radicand）．
当
n
是偶数时，正数的
n
次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a
的正的
n
次方根用符号
n
a

表示，负的< br>n
次方根用符号－
n
a
表示．正的
n
次方根与负的< br>n
次方根能够合并成±
n
a
（
a
>0）．由 此
可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
n
0?0
。 注意：当
n
是奇数时，
n
a
n
?a
，当
n
是偶数时，
n
a
n
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
a?a(a?0,m,n?N,n?1)
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
够推广到有理数指数幂．
3．实数指数幂的运算性质
rr?s
r
（1）
a
·
a?a

?
a(a?0)
?|a|?
?
?
?a(a?0)
*
m
n
n
m
a
?
m
n
?
1
a
m
n
?
1
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数 ，那么整数指数幂的运算性质也同样能
(a?0,r,s?R)
（2）
(a
r
)
s
?a
rs
(

ab)
r
?a
r
a
s
（3）．
(a?0,r,s?R)< br>(a?0,r,s?R)
二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：
一般 地，函数
y?a
x
(a?0,且a?1)
叫做指数函数（exponenti al function），其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
2、指数函数的图象和性质

a>1

6
0
6
5 5
44
33
22
1
1
1
1
-4-2
0
-1
246-4-2
0
-1
246
图象特征 函数性质
0?a?1

a?1

0?a?1

a?1

向x、y轴正负方向无限延伸
图象关于原点和y轴不对称
函数图象都在x轴上方
函数图象都过定点（0，1）
自左向右看，图象逐渐上升
在第一象限内的图象纵坐标
都大于1
在第二象限内的图象纵坐标
都小于1
图象上升趋势是越来越陡
函数的定义域为R
非奇非偶函数
函数的值域为R
+

a
0
?1

自左向右看，图象逐渐下降
在第一象限内的图象纵坐标
都小于1
在第二象限内的图象纵坐标
都大于1
图象上升趋势是越来越缓
增函数
x?0,a
x
?1

减函数
x?0,a
x
?1

x?0,a
x
?1

x?0,a
x
?1

函数值开始增长较慢，到了某函数值开始减小极快，到了某
一值后增长速度极快； 一值后减小速度较慢；
注意：利用函数的单调性，结合图象还能够看出：
（1）在[a，b ]上，
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
值域是
[f(a),f( b)]
或
[f(b),f(a)]
；
（2）若
x?0
，则
f(x)?1
；
f(x)
取遍所有正数当且仅当
x?R
；
（3）对于指数函数
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
，总有f(1)?a
；
（4）当
a?1
时，若
x
1
?x
2
，则
f(x
1
)?f(x
2
)
；
二、对数函数
一）对数
1．对数的概念：
a
为一般地，如果
a
x?N
(a?0,a?1)
，那么数
x
叫做以底数，记作： 底数，
N
— 真
N
的对
x?log
a
N
（
a
—
．．．
数， 对数式）
log
a
N
—
1
注
2

3
注说明：○意底数的限制
a?0
，且
a?1
；○；○意对数的书写格式．
a
x
?N?log
a
N?x
1
常
2
自两个重要对数：○用对数：以10为底的对数
lgN
；○然对数：以 无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN
．
对数式与指数式的互化
log
a
N?x
二）对数的运算性质
如果
a?0
，且
a?1
，
M?0
，
N?0
，那么：
1
○＋ log
a
Nlog
a
(M
N)?
log
aM
M
logM
－
logN
；
2
○
log
a
?
a
a
?
a
x
?N

对数式
?
指数式 对数底数←
a
→ 幂底数 对数←
x
→指数 真数←
N
→幂
3

log
a
M
n
?n
log
a
M

(n?R)
．○
log
c
b
log
a
b ?
log
c
a
N

注意：换底公式 （
a?0
，且
a?1
；
c?0
，且
c?1
；
b?0
）．
log
logb
n
?log
ab
；利用换底公式推导下面的结论（1） （2）．
a
b?
log
a
m
n
m
1b
a
三）对数函数
1、对数函数的概念：函数
y?log
a< br>x(a?0
，且
a?1)
叫做对数函数，其中
x
是自变量，函 数的定义域是（0，+∞）．
1
对注意：○数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
x
y?log
5
如：
y?2log
2
x
， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
5
2
对○数函数对底数的限制：
(a?0
，且
a?1)
．
2、对数函数的性质：
a>1

1
-1
3
0
1
3
2.52.5
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
1
-0.5
1
2345678
-1
01
-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5
-2.5
图象特征 函数性质
0?a?1

a?1

0?a?1

a?1

函数图象都在y轴右侧
图象关于原点和y轴不对称
向y轴正负方向无限延伸
函数图象都过定点（1，0）
自左向右看，图象逐渐上升
函数的定义域为（0，＋∞）
非奇非偶函数
函数的值域为R
log
a
1?0

自左向右看，图象逐渐下降 增函数
x?1,log
a
x?0

0?x?1,log
a
x?0

减函数
0?x?1,log
a
x?0

x?1,log
a
x?0

第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0
第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0
四）幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如
y?x
?
(a?R)< br>的函数称为幂函数，其中
?
为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）
?
?0
时，幂函数的图象通过原点，并且在区间
[0,??)
上是增函数．特 别地，当
?
?1
时，幂函数的图象下凸；
当
0?
?
?1
时，幂函数的图象上凸；
（3），幂函数的图象在区间
(0,??)
上 是减函数．在第一象限内，当
x
从右边趋向原点时，图象在
y
轴右方
?
?0
时
无限地逼近
y
轴正半轴，当
x
趋于
??
时，图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴．

第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数< br>y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫 做函数
y?f(x)(x?D)
的零点。
2、函数零点的意义：函数
y?f (x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根，亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标。
即：方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点．

3、函数零点的求法：
求函数
y?f(x)
的零点：
1
（○代数法）求方程
f(x)?0
的实数根；
2
（○几何法）对于不能用 求根公式的方程，能够将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
．
１）△＞０ ，方程
ax
2
?bx?c?0
有两不等实根，二次函数的图象与
x< br>轴有两个交点，二次函数有两个零点．
２）△＝０，方程
ax
2
?b x?c?0
有两相等实根（二重根），二次函数的图象与
x
轴有一个交点，二次函数有 一个二重
零点或二阶零点．
３）△＜０，方程
ax
2
?bx?c? 0
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交点，二次函数无零点．