高中数学论文

高中数学论文
山重水复疑无路，柳暗花明又一村
——对一个数量积性质的新认识
张广平
【摘要】：教学活动要遵循内在规律，只有 当一切外在事实（知识）通过教师的主导作用，最后被主体（学生）
认识之后，这外在东西才会为主体真 正占有，这种转化只有在参与实践中才能体会并重新构建、形成知识体系。
我们的教材中的好多知识表面 上是孤立的，若我们的的教师在引领学生认知这些内容的同时，有“意识”的揭示
这种“知识链”，内化 我们学生的理解，让学生对知识的构建“水到渠成”！这不失为一种有效教学的好途径。
【关键词】：数量积向量角度距离
高中数学教材中首次出现“向量和导数”的引入。我认为其 目的很明确：为研究函数、空间图形，提供新
的研究手段，即充分体现它们的工具性。但这种“工具性” ，只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想用活，
这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识，丰富 知识网络，形成较完善的“认知模块”、“知识体系”。
例如全日制普通高级中学教科书《数学·第二册 （下B）》P
33
中，关于空间向量的数量积有这样三条性质：
2
（1）< br>a?e?|a|cos?a,e?
，（2）
a?b?a?b?0
，（3）
|a|?a?a
。
作为“工具性”，性质（2）（3）比较明显，会立即得到充分的应用。 可是对于性质（1），当时，在上
新授课时我总认为：这条性质没有什么“本质上”的用处，有点像“房 间里的摆设”——配角。但是随着时间
的推移，笔者发现了她的奥妙之处：在后继的有关空间问题中的“ 三大角度”和“三大基本距离”的坐标法的
研究中有着奇妙无穷的用途，并带来意想不到的“知识链”反 应，极大地丰富了关于空间向量的“数量积”这
一运算的“认知模块”的内涵。本文便梳理和佐证这一认 知，以飨读者。
（一）性质的产生与内含
已知向量
AB?a
和轴l，e
是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影
A
，作点B在l上的射影
B
则
A'B'
叫向量
AB
在轴l上或在
e< br>方向上的正射影，简称
射影。可以证明得，
A
图如下所示。）
此性质的内含理解有四点：
①结果是一个数量（本身含正负号）；②其正负号由向量
a与e
所成角的范围决定；③加上绝对值
|
便是一条线段长度（这里
|
'
'
'
B
'
?|AB|cos?a,e??a?e
（证明 略，
A
'
B
'
|?|a?e|
A
'
B'
|、|AB|
刚好组成一个直角三角形的两条直角边）；④可以推广为求一条线段
在另一条直线上的正射影（此线段所在直线与已知直线的位置关系可以异面直线）。

（二）性质的“知识链”
对教材引进空间向量的“坐标法”来解决空间中“三 大角”问题，我们的学生可以说是欣喜若狂啊，因为
学生觉得这种方法好！可操作性强！（只要能建系， 有坐标就行！）但在实际应用中，学生觉得这些结论不易
理解，加上这些结论只能逐步形成和完善，靠死 记硬背吧，今天记了明天又忘了！等到用时，仍是“生硬、呆
板”，甚至张冠李戴。如何突破这一问题？ 我认为其根本原因是：在学生的认知结构里，这一性质未能如愿地
形成“知识链”。那么，这一性质是怎 样与相关问题产生“对接或联系”的呢？
（1）它是空间三大角（即线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的“对接点”。
1．1线线角
?
(
?
?[0,])
的求法的新认识： 2
?
我们把这两条线赋予恰当的两个向量，问题就化归为两个向量的夹角（两个向量所成的 角的范围为
[0,
?
]
），
即
cos
?

?|cos?a,b?|?|
B
O
b
?
a?b
|a||b|
|?
|a?b|
|a||b|
B
O
,我们能否加以重新认识这个公式呢？如图，
B
b
?
O
a
O
O
b
?
A
O
(B)
1
O
O
a
A
O
O
a
B
1
O
A
B
1
O
cos
?
?
|OB
1
| |OB
1
|
a
)
，，此时OB
1
可以看作是
b
与
a
方向上的单位向量
e
的数量积
b?e(其中e?< br>?
|OB|
|a|
|b|
|b?
a
|a|
|
（这里刚好满足三角函这就是由数量积这条性质滋生而成的；故此结论重新可以理解为：
cos
?
?
数中余弦的定义：邻边比斜边）。
1．2线面角
?
(
?
|b|
?[0,])
的求法的新认识：
2
?
s in
?
?|cos?PA,n?|
?
|PA?n|
|PA||n|< br>
n
P
以理解为：
?
A
在
n
上的投
（其中
n
为平面
?
的一个法向量），此结论重新可
|OP||OP|
sin
?
??
，此时OP又可以看作是
PA
|PA|
|PA|
?
O
影，即
PA
与
n方向上的单位向量
e
的数量积
PA?e
，
(其中e
足三 角函数中正弦的定义：对边比斜边）。
?
n
|n|
|PA?
n|n|
|
（这里刚好满
)
，故
sin
?
?|PA|

1．3二面角的平面角
?
(
?
?[0,
?
])
的求法的新认识：
F
n
1
n
2< br>|cos
?
|?|cosn
1
,n
2
|
=< br>|n
1
?n
2
|
|n
1
||n
2< br>|
（其中
n
1
与n
2
是两
E
D二面角所
n
1
在平面的各一个法向量）此结论重新可以理解为：
C
|n
1
?
|cos
?
|?
n
|n
2?
1
|
|n
2
||n
1
|
（这里刚好 满足三角函
?
|n
1
||n
2
|
|
n2
AB
数中余弦
的定义：邻边比斜边）。
★三大角的统一理解： |b?
cos
?
?
a
|a|
|
、
si n
?
?
|PA?
n
|n|
|
、
|cos< br>?
|n
1
?
|?
|b||PA|
n
|n2
?
1
|
|n
2
||n
1
|
、
?
|n
1
||n
2
|
|
n
2
其从上述梳理完全可以看出其本质特征：这里的“空间角”的求法，完全与直角三角形中的三角函数的“ 正弦
或余弦的定义”发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影，即斜边向量与对边 或邻边方
向上的单位向量的数量积，而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图，学生完全可以 达到“系统化”
和“自主化”，因为直角三角形中的三角函数定义，他们太熟悉了！即将知识的“生长点 ”建立在学生认知水
平的“最近发展区”，那学习就会水到渠成！
（2）它又是空间三大距离（即点线距、点面距、异面直线间距离）用向量法求解的“联系点”。 空间中有七大距离（除球面上两点间的距离外）基本上可转化为点点距、点线距、点面距，而点线距和点面距又是重中之重！另外两异面直线间的距离，高考考纲中明确要求：对于异面直线的距离，只要求会计算已
给出公垂线或在坐标表示下的距离。因此对异面直线间的距离的考查有着特殊的身份。教材按排中引进了 向量
．．．．．．．．．
法来解决距离问题，也给问题的解决带来新的活力！不用作出（或找出 ）所求的距离了。
2．1点面距求法的新认识：
d?|PO|?|PA|sin
?
?|PA|
|n?PA|
|n||PA|
?
|n?PA|
| n|
（其中
n
为平面
?
的一个法向量），此结论重新可
以理 解为：
d?|PA?
n
|n|
|
，即
PA
在
n
上的投影，即
PA
n
|n|
n
P
与
n
方向上
的单位向量
e
的数量积
PA?e(其中e?
2． 2点线距求法的新认识：
1）新认识之一：
)
。
?
O
?
A
如图，若存在有一条与l相交的直线时，就可以先
这两条相交直线确 定的平面的一个法向量
n
，则点P到l
P
求出由
的距离
A O
l

d?|PA?
n
|n|
|
。
2）新认识之二：
若不存在有一条与l相交的直线时，
我们可以先取l上的一个向 量
n
，再利用
|PO|
2
?|PA|
2
?|OA|
2
来解，即：
d
2
?|PA|
2
?|OA|
2
,而数
PA?
n
|n|
|
。 量ＯＢ可以理解为
PA
在l上的向量
n
的投影，也即为：
|OA|?|
2．3异面直 线间距离求法的新认识：
从这几年的高考《考纲说明》观察，我们不难发现，对异面直线间距离的考查 本意不能太难，但若出现难
一点的考题，命题者又能自圆其说的新情况。实际上，这种自圆其说法归根到 底在于高考考纲中的说法：只要
求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。那也就是说，在不要作出 公垂线（也许学生作不出！）的情况
．．．．．．．．．．
下，也可以求出它们的距离的！那就 是用向量法！
如图所示：若直线l
1
与直线l
2
是两异面直线，求 两异面直线的距离。
略解：在两直线上分别任取两点A、C、B、D，构造
C
向量
AC,BD,CD
，记与两直线的公垂线共线的向
A
l
1
三个
量为
距离
n
,则由
AC?n? 0与BD?n?0
,得
n
,则它们的
就可以理解为：
CD
在
n
上的投影的绝对值，即：
l
2
B
D
d?|CD?
n
|n|
|
。
★三大距离的统一理解: < br>d?|PA?
n
|n|
|
（点面距）、
d?|CD?
n
|n|
n
|n|
|
（异面距）、
d?|PA?
n
|n|
|
（点线距之一）、
d
2
?|PA|
2< br>?|OA|
2
且
|OA|?|PA?|
（点线距之二）、
其本质特征是：一个向量在其所求的距离所在直线的一个向量上的投影，也即数量积此性质的直接应用。
由上述的剖析过程不难再看出：空间中的三大角与三大基本距离的计算，都隐藏于这个“特定”的数量积
的性质之中，体现在这个公式结构的“统一美”之中，把问题的本质揭示得“淋漓尽致”，而又不失自然 ！这
给“立体几何”中向量的工具性的体现，增色了几分美感与统一感！
（三）性质的应用
例1、（2005年山东省（理科）高考第20题）
如图，已知长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
,AB?2,AA
1
?1,

直线
BD
与平面
AA
1
B< br>1
B
所成的角为
30?
，
AE
垂直
BD于
A
1
F
B
1
A
C
1
E< br>C
D
1
D
B

E
，
F
为
A
1
B
1
的中点.
（I）求异面直线
AE
与
BF
所成的角；
（II）求平面
BDF
与平面
AA
1
B
所成的二面角；
（III）求点
A
到平面
BDF
的距离.
解：在长方体< br>ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中， 以
AB
所在的直线为
x
轴，以
AD
所在的直线为
y
轴，
AA
1
所在的直线
为
z
轴建立如图示空间直角 坐标系；
A1
可
,
得
A(0,0,B0),
由已知
AB?2,A
1
?
(
，
2
F
B
1
A
1
z
D
1
F(1,0,1)
，又
AD?
平面
AA
1
B
1
B
，从而
BD
与平面< br>AA
1
B
1
B
所成的角为
?DBA?30?
，又
AB?2
，
A
C
1
E
D
y
2 3
AE?BD
，
AE?1,AD?
3
，从而易得
x
B
C
?
1
E
?
?
2
,
?
3
??
,
?
0D
?
?
,
2
???
2
0
3
?
3
,

?
?< br>?
,0
?
13
?
BF
,0,BF??1,0,1（I） 因为
AE?
?
,
所以
cos?AE,BF??AE?
??
?
?
22
?
|BF|
??
?
?< br>1
2
??
2
，易知异面直线
AE、BF
所成的角为< br>arccos
2

4
4
2
（II） 易知平面
AA
1
B
的一个法向量
m?(0,1,0)
， < br>设
n?(x,y,z)
是平面
BD
的一个法向量，
BD?(? 2,
23
,0)
3
由
?
?x?z?0
??
?
n?BFn?BF?0
??
?
?
x?z
?
??
?
?
?
即
n?1,3,1

?
23
y?0
?
?
?
3x?y
?
2x?
?
n?BD
?
?
n?BD?0
3
?
??
所以
cos?m,n??m?
n
|n|
?
15

5
15

5
即平面
BDF
与平面
AA1
B
所成的二面角的大小（锐角）为
arccos
（III）点
A
到平面
BDF
的距离，即
AB
在平面
BDF
的法 向量
n
上的投影的绝对值，所以距离

d?|AB?
n
|n|
|
=
AB?n
n
?
25
25
所以点
A
到平面
BDF
的距离为
5
5
CC
1< br>上异于C、
BCC
1
=
例2、（2005年重庆（理科）高考第20题 ）
如图，在三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，A B⊥侧面BB
1
C
1
C，E为棱
C
1
的一点，EA ⊥EB
1
，已知AB=
（Ⅰ）异面直线AB与EB
1
的距离；
（Ⅱ）二面角A—EB
1
—A
1
的平面角的正切值.
解： （I）以B为原点，
BB
1
、
BA
分别为y、z轴建立空间直
于BC=1，BB
1
=2，AB=
2
，∠BCC
1
=角坐标系.由
中有
2
，BB
1
=2，BC=1，∠
?
，求：
3?
，在三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
3
B（0，0，0），A（0，0，
2
），B
1
（0，2，0），A
1
（0，2，
2
）
C(
31333
,?,0),C
1
(,,0)
，设
E(,a,0),

22222
由EA ?EB
1
,得EA?EB
1
?0,即
0?(?
3333,?a,2)?(?,2?a,0)??a(a?2)?a
2
?2a?,
2244
31
1313
得(a?)(a?)?0,即a?或a?(舍去),
故E(,, 0)
；
22
2222
所以BA?(0,0,2),A
1
E ?(
33
,?,?2)
设n?(x,y,z)所在的直线与AB与B
1
E都垂直
，
22
?
n
?
n?BA?0
|
=1 则
?< br>得，
n?(3,1,0)
（令y=1），故
d?|AB
1
?< br>|n|
?
?
n?A
1
E?0
（II）由已知有
EA?EB
1
,B
1
A
1
?EB
1
,< br>故二面角A—EB
1
—A
1
的两个半平面的法向量为
B
1
A
1
与EA
。
31
,?,2),

2 2
因B
1
A
1
?BA?(0,0,2),EA?(?
EA?
故cos
?
?
B
1
A
1
|B
1< br>A
1
|
B
1
A
1
?
?
EA
|EA|
?
2
3
,
所以tan
?
?
2
。
2
|EA||B
1
A
1
|
通过上 述几个高考题的分析，我们不难看出：立体几何中的几何法的“难在找（或作）所求的角度或距离”,
通 过这个数量积的性质的转化（方法的转化与知识之间的转化），其“难”渐渐地溶解于“转换与化归”之中
及学生的细心地“计算”之中，从而也焕发了数量积这条性质的奥妙之处，也就更体现了“向量”这个工具在< br>立体几何中应用的优越性、工具性。因为”程序化”的计算使我们的学生的“信心”倍增!同时让我们的学 生
也懂得了“知其所以然”，再也不用为记这一个“好结论”而烦恼了！

）