高中数学论文：圆锥曲线中的四心

圆锥曲线中的“四心”
摘要：通过对三角形四心与圆锥曲线的有机结合，达到训练学生 的思
维，提升学生的解题能力。同时起到培养学生的说思路、练本领、强
素质的作用．
关键词：思维流程 内心 外心 重心 垂心 解题能力

正文：圆锥曲线是每年高 考的重点内容之一，从近几年的命题风格看，既注
重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征，又体 现传统内容的横向联系和
新增内容的纵向交汇，而三角形在圆锥曲线中更是如鱼得水，面积、弦长、最值
等成为研究的常规问题。“四心”走进圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此，
在高考数学第二 轮复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合
问题，快速提高学生的数学解题能力，增 强学生的信心，从而战胜高考．
例1、已知椭圆
E
的中心在坐标原点，焦点在坐标轴 上，且经过
A(?2,0)
、
?
3
?
B(2,0)
、
C
?
1,
?
三点．
?
2
?
（Ⅰ）求椭圆
E
的方程：
（Ⅱ）若点D
为椭圆
E
上不同于
A
、
B
的任意一点，F(?1,0),H(1,0)
，当Δ
DFH
内切圆的面积最大时，求Δ
DFH
内心的坐标；
思维流程：
22
由椭圆经过A、B、C三点
设方程为
mx?ny?1

（Ⅰ）
得到
m,n
的方程

解出
m,n


由
?DFH
内切圆面积最大 转化为
?DFH
面积最大
（Ⅱ）

转化为点
D
的纵坐标的绝对值最大最大
D
为椭圆短轴端点


3

1
r
内切圆
?


S??周长?r
3
面积最大值为
?DFH
3
?DFH
内切圆

2



?
3
?

??
得出
D
点坐标 为
0,?
?
?
3
?
?

解题过程：
（Ⅰ）设椭圆方程为
mx
2
?ny
2
?1
?
m?0,n?0
?

3
将
A(?2,0)
、
B(2,0)
、
C(1,)
代入椭圆
E
的方程， 得
2
?
4m?1,
11
?
解得.
m?,n?< br>?
9
m?n?1
43
?
?4
x
2
y
2
?1
． ∴椭圆
E
的方程
?
43

（Ⅱ）
|FH|?2
，设Δ
DFH
边上的高为
S
? DFH
?
1
?2?h?h

2
当点
D
在 椭圆的上顶点时，
h
最大为
3
，所以
S
?DFH
的 最大值为
3
．
设Δ
DFH
的内切圆的半径为
R
，因为Δ
DFH
的周长为定值6．所以，
S
?DFH
?
1< br>R?6

2
3
．所以内切圆圆心的坐标为
(0,
3< br>)
3
3
.
所以
R
的最大值为
点石成金：
S
?的内切圆
?
1
??的周长?r
?的内切圆

2
例2、椭圆长轴端点为
A,B
，
O
为椭圆中心，
F
为椭圆的右焦点，且
AF?FB?1
，
OF?1
．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）记椭圆的上顶点为
M
，直线
l< br>交椭圆于
P,Q
两点，问：是否存在直线
l
，
使点
F
恰为
?PQM
的垂心？若存在，求出直线
l
的方程;若不存在，请说 明理由。
思维流程：

uuuruuur
uuur
（Ⅰ）

由
AF?FB?1
，
OF?1

(a?c)(a?c)?1
，
c?1



写出椭圆方程


a?2,b?1



?
PQ
?
（Ⅱ）
由F为
?PQM
的重心

?MF,MP?FQ

k?1
PQ

?
y?x?m
消元
3x
2
?4mx?2m
2
?2?0



?
22
?
x?2y?2


两根之和， 得出关于

uuuruuur
两根之积 m的方程
MP?FQ?0


解出m

解题过程：
x
2
y
2
（Ⅰ ）如图建系，设椭圆方程为
2
?
2
?1(a?b?0)
,则
c?1

ab
又∵
AF?FB?1
即
(a?c)?(a?c)?1?a
2
?c
2

∴
a
2
?2

x
2
?y
2
?1
故椭圆方程为
2
（Ⅱ）假设存在直线
l
交椭圆于
P,Q
两点，且
F
恰为?PQM
的垂心，则
设
P(x
1
,y
1
), Q(x
2
,y
2
)
，∵
M(0,1),F(1,0)
，故
k
PQ
?1
，
于是设直线
l
为
y?x?m
，由
?
?
y?x?m
得
22
?
x?2y?2
3x
2
?4mx?2m
2
?2?0

uuuruuur
∵
MP?FQ?0?x
1
(x
2
?1)?y
2
(y
1
?1)
又
y
i
?x
i
?m(i?1,2)

得
x
1
(x
2
?1)?(x
2
?m)(x
1
? m?1)?0
即
2x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)(m?1)?m
2
?m?0
由韦达定理得
2m
2
?24m
2??(m?1)?m
2
?m?0

33
解得
m??
44
或
m?1
（舍） 经检验
m??
符合条件．
33
点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂 直对边，然后转化为两向量乘积为
零．
x
2
y
2
例3、在 椭圆C：
??1
中，
F
1
、F
2
分别为椭圆C的左 右两个焦点，P
43

为椭圆C上的且在第一象限内的一点，
?PF1
F
2
的重心为G，内心为
I
．

（Ⅰ）求证：
IG?
?
F
1
F
2
； （Ⅱ）已知
A
为椭圆C上的左顶点，直线
l
过右焦点
F
2
与椭圆C交于
M,N
两点，
若
AM,AN
的斜率
k
1
,k
2
满足
k
1
?k
2
??
1
，求直线
l
的方程．
2
思维流程：
（Ⅰ）
x
0
y
0
F(?1,0)F(1,0)P(x,y)
由已知 得， 设
重心
G(,)

1200

33

1

S
?PF
1
F
2?(PF
1
?PF
2
?F
1
F
2
)r
内切圆

1
2

S
?PFF
?
2
F
1
F
2
?y
0
?y
0




y
0
y
0
I的纵坐标为

S
?PF
1
F
2
?3r
内切圆
?y
0

r?
内

3
3


IG?
?
F
1
F
2


IG
∥
F
1
F
2


（Ⅱ） < br>1
由
k
1
?k
2
??
，可知
l的斜率一定存在且不为0，设为k
l
的方程为
y?k(x?1)


2


?
y?k(x?1)

?
22
2222
消去y
xy
(3?4k)x?8kx?4k?12?0
得
?

??1
?
3
?
4



?
x?x?
8k
2
2
?
1
3?4k
2


?
利用
k
1
?k
2
??
1

得
k
的方程 解出
k

?
2
4k?12
2

?
x
1
x< br>2
?
?
3?4k
2
?


解题过程：
12
（Ⅰ）设
P(x
0
,y
0
)
，重心
G(x,y)
，由已知可知
F
1
(?1,0)< br>，
F
2
(1,0)

则
x?
xy
x
0
?(?1)?1y?0?0
，
y?
0

?G(
0
,
0
)

33
33
由< br>S
?PF
1
F
2
?
11
F
1
F
2
y
0
?y
0
又
S
? PF
1
F
2
?(PF
1
?PF
2
?F1
F
2
)r
内切圆

22

?S
?PF
1
F
2
?3r
内切圆
?y
0

?
内心I的纵坐标为
y
0

3
?IG
∥
F
1
F
2
即
IG?
?
F
1
F
2
．
（Ⅱ）若直线< br>l
斜率不存在，显然
k
1
?k
2
?0
不合题 意；
则直线l的斜率存在．
设直线
l
为
y?k(x?1)
，直线l和椭交于
M(x
1
,y
1
)
，
N(x< br>2
,y
2
)
。
将
y?k(x?1)代入3x
2
?4y
2
?12中得到:

(3?4k
2
)x
2
?8k
2
x?4k
2
?12?0

依题意：
??9k
2
?9?0得k?1或k??1

?8k
2
x?x
2
?
?
?
1
3?4k< br>2
由韦达定理可知：
?

2
?
xx?
4k? 12
11
?
3?4k
2
?
又
k
AM
?k
AN
?
y
1
y
2
x?1x
2
?1
??k(
1
?)

x
1
?2x
2< br>?2x
1
?2x
2
?2
?k[2?3(
11
?)]

x
1
?2x
2
?2
而
x
1
?x
2
?4
11
??

x
1
? 2x
2
?2x
1
x
2
?2(x
1
?x2
)?4
8k
2
?4(3?4k
2
)2k
2< br>?1

?
2
?
222
4k?12?16k?4(3? 4k)3k
从而
k
AM
?k
AN
2k
2
? 111
?k(2?3?)????

2
k2
3k
求得
k?2
符合
k?1.

故所求直线MN的方程为：
y?2(x?1).

x?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
?
． 点石成金：重心的特点为坐标
?
,
?
1
?
?
33< br>?
22
xy
例4、已知双曲线C以椭圆
??1
的焦点为顶点， 以椭圆的左右顶点为
43

焦点．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若
F
1
,F
2
为双曲线C的左右焦点，
P
为双曲线C上任意一点，
M
为
?PF
1
F
2
的外心 ，且
?F
1
PF
2
?60
?
,求点
M的坐标．
思维流程：
（Ⅰ）
写出双曲线的方程
由已知易得双曲线中
a?1,c?2,b?3



（Ⅱ）
M
在y轴上，且
?F
1
MF
2
?2?F
1
PF
2

M
是
?PF
1
F
2
的外心



?FMF?120
0
,?MFF?30
0

0
1212
Rt?MFO
在中，
FO?2,?MFO?30
1
11




解题过程：
MO?
23

3
M(0,?
23
)

3
y
2
?1
（Ⅰ）由已知可知，双曲线的
a?1,b?3 ,c?2
，则双曲线的方程为
x?
3
2
（Ⅱ）因为
M
为外心，所以
MF
1
?MF
2
，
则点
M
在线段
F
1
F
2
的垂直平分线上即在
y
轴上 < br>又同弧上的圆心角是圆周角的2倍，
??F
1
MF
2
?2?F
1
PF
2

则
?F
1
MF
2?120
0
,?MF
1
F
2
?30
0

0
在
Rt?MF
1
O
中，
F
1
O ?2,?MF
1
O?30
则
MO?
23

3
即
M(0,?
23
)
．
3
点石成金：外心的特点为到三个顶点的距离相等或说是三边的垂直平分线的交
点．
x
2
y
2
能力提升：1、椭圆：
2
?
2< br>?1(a?b?0)
求椭圆的焦点三角形内心的轨迹方程．
ab
解：如图（1 ），设点P
?
x
0
,y
0
?
，内心
I为
(x,y)
，焦点

F
1
(?c,0)、F2
(c,0)
，
PF
1
?r
1
，
PF
2
?r
2
，则
r
1
?r
2
?2e x
0
．
过内心I作
ID、IE、IF
垂直
F
1< br>F
2
、F
1
P、PF
2
于点
D、E、F．
∵ 点I是△
F
1
F
2
P
的内心，点D、E、F
是内切圆的切点， 图（1）
?
PE?F
1
E?r
1
?
∴ 由切线长定理，得方程组：
?
PF?F
2
F?r
2
， ?
FD?FD?2c
2
?
1
结合
r
1
?r
2
?2ex
0
，解得：F
1
D?c?ex
0< br>．
而
F
1
D?c?x
， ∴
x?ex
0
，既
x
0
?
又∵ △
F1
F
2
P
面积
S?cy
0
，
S?∴
cy
0
?(a?c)y
，既
y
0
=
x
．……………………①
e
1
(F
1
F
2
?PF
1
?PF
F
)y?(a?c)y
，
2
a?c
y
．…………………………………②
c
22x
0
y
0
x
2
y
2
将①②代入
2
?
2
?1(a?b?0)
，得
2
??1
． < br>22
ab
cbc
(a?c)
2
x
2
y
2
可知，椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
焦点三角形内心 的轨迹是一个椭圆，
ab
它的离心率是
2e
．
1?e
x
2
y
2
2、椭圆：
2
?
2
?1(a?b? 0)
求椭圆的焦点三角形垂心的轨迹方程；
ab
解：如图（2），设点P
( x
0
,y
0
)
，垂心
H
为
(x,y)，
焦点
F
1
(?c,0)、F
2
(c,0)
， 则
F
1
H?(x?c,y)
，
PF
2
?(c?x< br>0
,?y
0
)
．
∵
F
1
H
⊥
PF
2
，
∴
(x?c,y)
g(c?x
0
,?y
0
)
=0． 图（2）
又 ∵
x?x
0
，
∴
c
2
?x
2
?yy
0
?0
．……………………………………. .①

22
x
0
y
0
而
2
?
2
?1(a?b?0)
，
ab
b
2
2
b
2
22
∴
y?
2
(a?x
0
)?2
(a?x
2
)
……………………….②
aa
2
0
将②式代入①式，整理得：
y??
a(c
2
?x
2
)
ba?x
22
．
由方程可以看出， 椭圆焦点三角形垂心的轨迹不是两条抛物线，它与哪些初
等函数图象有关？请大家思考．
3、 已知动圆过定点
F
?
0,1
?
，且与定直线
y??1
相切．
（Ⅰ）求动圆圆心
P
的轨迹
W
的方程；
（Ⅱ） 设过点
F
的直线
l
与轨迹
W
相交于
A
、< br>B
两点，若在直线
y??1
存在
点
C
，使
? ABC
为正三角形，求直线
l
方程.
（Ⅲ）当直线
l
得斜率大于零时，求
?ABC
外心的坐标．
解：（Ⅰ）设动圆圆心为
P(x,y)
，根据题意，
得
x
2
?(y?1)
2
?y?1
化简得
x
2
?4y

故动圆圆心
P
的轨迹
W
的方程为
x
2
?4y
.
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，（Ⅱ）设直线
l
的方程为
y?kx?1
，弦
AB
中点为
M(x
0
,y
0
)

?
y?1
（ⅰ）当
k?0
时，由
?
2
得
A(?2,1),B(2,1)

?
x?4y
此时
AB ?4
，有图形的对称性可知，
y??1
上的点
C
只可能是
( 0,?1)

而
AC?(0?2)
2
?(?1?1)
2
?22
故
AB?AC
，不合题意.
?
y?kx?1
（ⅱ）当
k?0
时，由
?
2
得
x
2
?4kx?4?0

?
x?4y

x
1
?x
2
?4k,x
1
x
2
??4,y
1
?y
2
?k(x
1
?x
2
)?2?4k
2
?2

则
x
0
?
x
1?x
2
y?y
2
?2k,y
0
?
1
? 2k
2
?1
即
M(2k,2k
2
?1)

22
若在直线
y??1
上存在点
C
，使
?ABC
为正三角形

1
则设直线
MC:y??(x?2k)?(2k
2
?1)
，与
y??1
联立，
k
解得
x?4k?2k3
，即
C(4k?2k
3
,?1)

由
CM?
3
3
AB
，得
(2k?2k
3
)
2
?(2k
2
?2)
2
?(y
1
?y
2
? 2)

2
2
即
(2k?2k
3
)
2
?(2k
2
?2)
2
?
3
(4k
2
?4 )
2

4
化简得
k
2
(k
2
?1 )
2
?2(k
2
?1)
2
即
k
2
?2,k??2

故直线
l
的方程为
y??2x?1

（Ⅲ）由(Ⅱ）知，< br>k?2
，直线
l
的方程为
y?2x?1
，点
C(82 ,?1)

?
y?2x?1
得
x
2
?42x?4?0

?
2
?
x?4 y
?
x
1
?x
2
?42
则
?
，
y
1
?y
2
?2(x
1
?x
2
)?2?10

?
x
1
x
2
??4
则< br>?ABC
的外心坐标为
(
x
1
?x
2
?82 y
1
?y
2
?(?1)
,)
，即
(42,3)
33
x
2
y
2
4、
椭圆：
2
?
2
?1(a?b?0)
求椭圆的焦点三角形重心的轨迹方程；
abx
2
y
2
提示：椭圆
2
?
2
?1(a ?b?0)
焦点三角形重心的轨迹仍是
ab
x
2
y
2
一个椭圆，如图（5），它的离心率与
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心
ab
9x
2
9y
2
率相同，方程为
2
?
2
?1(a?b?0)
．
ab