2020年高中数学教学论文 赏析数学美 新人教版

赏 析 数 学 美

众所周知，数学在我们的基础教育中 占
有很大的份量，是我们的文化中极为重要的
组成部分。她不但有智育的功能，也有其美
育的功能。数学美深深地感染着人们的心灵，
激起人们对她的欣赏。下面从几个方面来欣
赏数 学美。
一、简洁美
爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单
性。”他还认为，只有 借助数学，才能达到简
单性的美学准则。物理学家爱因期坦的这种
美学理论，在数学界，也被多 数人所认同。
朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清
秀，又底蕴深厚，才称得上至美。 < br>欧拉给出的公式：V－Ｅ＋Ｆ＝２，堪
称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？
没有 人能说清楚。但它们的顶点数Ｖ、棱数
Ｅ、面数Ｆ，都必须服从欧拉给出的公式，
一个如此简单 的公式，概括了无数种多面体
的共同特性，能不令人惊叹不已？由她还可
派生出许多同样美妙的 东西。如：平面图的
点数Ｖ、边数Ｅ、区域数Ｆ满足V－Ｅ＋Ｆ
＝２，这个公式成了近代数学两 个重要分支
——拓扑学与图论的基本公式。由这个公式
可以得到许多深刻的结论，对拓扑学与图 论
的发展起了很大的作用。
在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、
内容深刻、作用很大的定理还有许多。比如：
圆的周长公式：C=2πR
勾股定理：直角三角形两直角边的平方
和等于斜边平方。
平均不等式：对任何正数
x
1
,x
2
,
?
,x
n
,
x
1
?
x
2
???
x< br>n
?
n
x

1
x
2
?
x< br>n
正弦定理：ΔＡＢＣ的外接圆半径Ｒ，
则
a
sinA
?b
sinB
?
c
sinC
?
2R

数 学的这种简洁美，用几个定理是不足
以说清的，数学历史中每一次进步都使已有
的定理更简洁。 正如伟大的希而伯特曾说过：
“数学中每一步真正的进展都与更有力的工
具和更简单的方法的发 现密切联系着”。
二、和谐美
数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数学
的一个动机是 以下的公式：
?
1
4
?
1
?
3
?
1
5
??
，这个公式实在美极了，奇
数1、3、5、…这样的组合可以给出< br>?
，对
于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图
画或风景。
欧 拉公式：
e
i
?
??1
，曾获得“最美的
数学定理”称号。 欧拉建立了在他那个时代，
数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣
的联系，包容得如此协调 、有序。与欧拉公
式有关的棣美弗－欧拉公式是
cos
?
?isin
?
?e
i
?
――（１）。这个公式把
人们以为没有什么共同性的两大 类函数――
三角函数与指数函数紧密地结合起来了。对
他们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹― ―
确是“天作之合”，因为，由他们的结合能派
生出许多美的，有用的结论来。
比如 ，由公式（１）得
e
i
?
?
e
?
i
?cos
?
?
e
i
?
?
e
?
i
?
2
, sin
?
?
2
。由这
两个公式，可把三角函数的定义域扩展到复
数域上去，即考虑“弧度”为复数的“角”。
新定 义的余弦函数与我们早已熟悉的通常的
余弦函数和谐一致。
和谐的美，在数学中多得不可胜数 。如
著名的黄金分割比
?
?
5?1
2
，即
０.61 803398…。
在正五边形中，边长与对角线长的比是
黄金分割比。
数学中有一个很著名的菲波那契数列
｛a
n
｝，定义如下：
a
1
=1，a
2
=1，

当n≥３时，a< br>n
＝a
n－１
＋a
n－2

可以证明，当ｎ趋向∞时 ，
a
n
a
极限是
n?1
?
?
5?1
2
。
维纳斯的美被所有人所公认，她的身材
比也恰恰是黄金分割比。
黄 金分割比在许多艺术作品中、在建筑
设计中都有广泛的应用。达·芬奇称黄金分
割比
?
?
5?1
2
为“神圣比例”．他认为“美
感完全建立在各部分之间神 圣的比例关系
上”。
与
?
?
5?1
2
有关的问题 还有许多，
“黄金分割”、“神圣比例”的美称，她受之
无愧。
三、奇异、突变美
全世界有很大影响的两份杂志曾联合
邀请全世界的数学家们评选“近50年的最佳
数学 问题”，其中有一道相当简单的问题：有
哪些分数
ab
bc
，不合理地把b约 去得到
a
c
，
结果却是对的？
经过一种简单计算，可以找到四个分
数：
16
64
,
261949
65
,
95
,
98
。这个问题涉及到“运算
谬误，结果正确”的歪打正着，在给人惊喜< br>之余，不也展现一种奇异美吗。
还有一些“歪打正着等式”，比如
2
5?
9
2
?
2592
2
5
?
25
31
?
25
25
31

11
2
?
9
11
3
?
1129
3
人造卫星、行星、彗星等由于运动 的速
度的不同，它们的轨道可能是椭圆、双曲线
或抛物线，这几种曲线的定义如下：
到定点距离与它到定直线的距离之比
是常数ｅ的点的轨迹，
当ｅ＜１时，形成的是椭圆．
当ｅ＞１时，形成的是双曲线．
当ｅ＝１时，形成的是抛物线．
常数ｅ由0.999变为1、变为0.001，
相差 很小，形成的却是形状、性质完全不同
的曲线。而这几种曲线又完全可看作不同的
平面截圆锥面 所得到的截线。
椭圆与正弦曲线会有什么联系吗？做
一个实验，把厚纸卷几次，做成一个圆筒 。
斜割这一圆筒成两部分。如果不拆开圆筒，
那么截面将是椭圆，如果拆开圆筒，切口形
成的即是正弦曲线。这其中的玄妙是不是很
奇异、很美。
无序的混沌状态，通常以为不可用 数学
来研究。可从确定的现象（一个二次函数λ
x(1-x)）通过迭代居然能产生出随机现象 ，
也就是说无序的混沌状态，竟然可以从一个
二次方程的迭代产生出来。这就把两种完全
不同类型的数学问题沟通起来了。这深刻的
发现，使人不禁感叹大自然规律的神奇。还
有，菲 根鲍姆对许多迭代函数进行了大量的
计算，都得到了常数4.669202029…，这决
非巧 合，尽管目前还不清楚这个数的本质。
就是数学的这种奇异美使神秘、严肃、程式
化的数学世界 充满了勃勃生机。
四、对称美
在古代“对称”一词的含义是“和谐”、
“美观”。 事实上，译自希腊语的这个词，原
义是“在一些物品的布置时出现的般配与和
谐”。毕达哥拉斯 学派认为，一切空间图形中，
最美的是球形；一切平面图形中，最美的是
圆形。圆是中心对称圆 形――圆心是它的对
称中心，圆也是轴对称图形――任何一条直
径都是它的对称轴。
梯形的面积公式：Ｓ＝
(a?b)h
2
，
等差数列的前ｎ项和 公式：
S
(a
?
a
n
?
1
n
)n
2
，
其中ａ是上底边长，ｂ是下底边长，其
中ａ
１
是首 项，ａ
ｎ
是第ｎ项，这两个等式中，
ａ与ａ
１
是对称的，ｂ与ａｎ
是对称的。

h与n是对称的。
对称不仅美，而且有用。
电磁波的波动方程：
?
2
E
?< br>1
?
2
E
?
0
?
2
B< br>?
1
?
2
B
?
0
C
2
?< br>t
2
C
2
?
t
2


其 中，Ｂ为磁场强度，Ｅ为电场强度，
Ｃ为光速。这个方程中Ｂ与Ｅ是对称的，麦
克斯韦用纯数学 的方法从这些方程中推导出
可能存在的电磁波，这种电磁波后来被赫芝
发现，由此可得电场与磁 场的统一性。
对称美的形式很多，对称的这种美也不
只是数学家独自欣赏的，人们对于对称美 的
追求是自然的、朴素的。如格点对称，十四
世纪在西班牙的格拉那达的阿尔汉姆拉宫，
存在所有的格点对称，而１９２４年才证明
出格点对称的种类。此外，还有格度对称，
如我们 喜爱的对数螺线、雪花，知道它的一
部分，就可以知道它的全部。李政道、杨振
宁也正是由对称 的研究而发现了宇称不守恒
定律。从中我们体会到了对称的美与成功。
五、创新美
欧几里得几何曾经是完美的经典几何
学，其中的公理5：“过直线外一点有且只有
一条直线与已 知直线平行”和结论“三角形
内角和等于二直角”，这些似乎是天经地义的
绝对真理。但罗马切 夫斯基却采用了不同公
理5的结论：“过直线外一点至少有两条直线
与已知直线平行”，在这种 几何里，“三角形
内角和小于二直角”，从而创造了罗氏几何。
黎曼几何学没有平行线。这些与 传统观念相
违背的理论，并不是虚无飘渺的，当我们进
行遥远的天文测量时，用罗氏几何学是很 方
便的，原子物理、狭义相对论中也有应用；
而爱因斯坦建立的广义相对论中，较多地利
用了黎曼几何这个工具，才克服了所遇到的
数学计算上的困难。每一个理论都在需要不
断创新 ，每一个奇思妙想、每一个似乎不合
理又不可思议的念头都可能开辟新的天地。
这种开阔了我们 的视野、开阔了我们心胸、
给我们完全不同感受的难到不是切入肌肤的
美吗？如果我们再大胆设 想一下，是不是还
存在一个能包容欧氏几何和非欧几何的更广
泛的几何学呢？事实上，通过高斯 曲率可以
将三种几何统一在曲面的内在几何学中，还
可以通过克莱因几何学与变换群的观点将三
种几何统一起来。在不断创新的过程中，数
学得到了发展。
六、统一美
数 的概念从自然数、分数、负数、无理
数，扩大到复数，经历了无数次坎坷，范围
不断扩大了，在 数学及其他学科的作用也不
断地增大。那么，人们自然想到能否再把复
数的概念继续推广。 < br>英国数学家哈密顿苦苦思索了15年，
没能获得成功。后来，他“被迫作出妥协”，
牺牲 了复数集中的一条性质，终于发现了四
元数，即形为a
1
+a
2
i+ a
3
j+a
4
k

（a
1
，a
2
i ，
a
3
j

，a
4
k

为实数）的数，其中ｉ、ｊ、ｋ如
同复数中的虚数单位。若a
3
＝a
4
＝０，则四
元数a
1
+a
2
i+ a
3
j+a
4
k

是一般的复数。四元数
的研究推 动了线性代数的研究，并在此基础
上形成了线性结合代数理论。物理学家麦克
斯韦利用四元数理 论建立了电磁理论。
数学的发展是逐步统一的过程。统一的
目的也正如希而伯特所说的：“追 求更有力的
工具和更简单的方法”。
爱因斯坦一生的梦想就是追求宇宙统一
的理论。 他用简洁的表达式E=mc
2
揭示了自
然界中质能关系，这不能不说是一件统一的艺术品。但他还是没有完成统一的梦想。人
类在不断探寻着纷繁复杂的世界，又在不断
地用 统一的观点认识世界，宇宙没有尽头，
统一美也需要永远的追求。
数学之美，还可以从更多的 角度去审视，
而每一侧面的美都不是孤立的，她们是相辅
相成、密不可分的。她需要人们用心、 用智
慧深层次地去挖掘，更好地体会她的美学价

值和她丰富、深隧的内涵和思想，及其对人
类思维的深刻影响。如果在 学习过程中，我
们能与数学家们一起探索、发现，从中获得
成功的喜悦和美的享受，那么我们就 会不断
深入其中，欣赏和创造美。