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高中数学知识应用参赛论文
倒数的计算与其补数的次幂的联系
作者姓名:谢长龙
性别:男
所在学校及年级:清华附中高一年级
指导教师:周建军
1
摘要:
本文提出并验证了一个实用的新型计算方法,它能更快地
计算出一
个已知正整数的倒数。通过引入“补数”这一概念,本文将一个正整数
的倒数与它的补
数的幂有规律地叠加之和建立起联系,从而更简便地
求出这个数的倒数。
关键词:
“补数次幂叠加法”,倒数,补数,叠加
一、问题引入
99
-1
=0.0
101??,而100-99=01,发现100以内的数
的倒数与100和它的差的次幂的叠加可能有
联系。
二、概念引入“补数”
现规定,若已知一整数a满足10
n-1
<
a<10
n
,且
n?1,n?Z
则称(10
n
-a)
为a的补数。由此可知
a?10
b
,b?Z
。
∴问题可转化为1
00以内的数的倒数与它的补数的幂的叠加之间的
联系。已知整数a,若将其补数表示为
a,又假设
10
n?1
?a?10
n
,n?N
?
,
则
a?10
n
?a
,或写作
a?10
?
lga
?
?1
?a,其中
??
为高斯符号。
另外,我们将在
“补
数次幂叠加法”中作为第n个加数的数定义为该倒数的第n层叠加。
三、提出假设
100以内的数的倒数与它的补数的幂的通过特殊方法叠加得到
的和有联系。
四、建立模型
现拟一张表格,按照已知的99的倒数的规律,将98的整数次
幂依次
纵向排列,并且让每一个次幂2
x
的最后一位都相对于它的上一
行的数即2
x
-1
向后移动两位(
x?Z
)。现在以98
-1
的计算过程为例,用
2
这种方法计算其前27位(第一行为实际值,最末一行为叠加值
):
653
001
102
204
308
416
53
2
664
712
8
9
10
11
12
13<
br>14
653
8
256
512
1024
204
8
4096
819
16
可以看出,这种计算方式和实际值
完全相同。所以这种方法是有
可取之处的。那么,97呢?96呢?66呢?16呢?这些数字利用这种
方法计算出来的倒数都符合其实际值吗?
五、计算验证:
用上述方法计算93
-1
的值。
3
<
br>001
107
249
3343
42401
5168
6
11
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
<
br>72172
07
7649
8235
576
40
24
4
3
8
1
3
8
5
2
91
0
3
4
7
3
1
6
7
78
9
0
5
3
4
6
6
7
22
1
8
7
4
4
6
2
8
87
3
9
7
8
9
2
4
3
24
7
0
2
7
2
3
1
3
21
3
5
3
2
6
1
0
0
06
2
6
2
1
1
4
7
1
93
8
3
7
0
2
5
3
0
49
9
5
72172
经检验得知,这种方法几乎适用于80以外、
100以内的所有整
数,仅仅是计算量大小有所不同罢了。根据此法的特点,我权且将其
命名为
“补数次幂叠加法”。但是,当试图用这种方法计算2的倒数
时,我们就会明显地发现,这种算法并不能
很快地算出其准确值,因
为其计算量极其庞大。那么,我们能不能直接证明这种方法是普遍正
确
的呢?
六、 “补数次幂叠加法” 的证明。
证明:∵
s?a
0
?10
?2
?a?10
?4
?a
2
?10
?6?……?a
n?1
?10
?2n?2
?10
?2?
?
1?a?10
?2
?a
2
?10
?4?a
3
?10
?6
?……?a
n?1
?10
2
n
?
?2
n?1?1
??
1?
?
1?<
br>?
a?10
?
?
?
?
1
?1?a
n
?10
?2n
?2
?10?
?
??
1?
a?10
?2
100?a
4
∵
lim1
?a
n
?10
?2n
?
?1
?
n??
∴
s?
11
?lim
?
1?a
n
?10
?2n
?
?
100?a
n??<
br>100?a
所以,这种算法是普遍正确的,并且是理论根据的。
七、方法的推广 既然这种方法对于100以内的整数都适用,那么任意大小的整数
是不是都可以用“补数次幂叠加法
”计算它们的倒数呢?
类似地,现有一已知满足条件的b位数a(条件见上文),则拟
一张次
幂规律排列表格,按照10
b
-1的倒数的规律,令每一个次幂
(10
b-a)
x
的最后一位都相对于(10
b
-a)
x-1
向
后移动b位。这样叠加
得出的原数的倒数的值是正确的。现在对其进行求证。
推广证明: <
br>∵
s?a
0
?10
?b
?a?10
?2b
?
a
2
?10
?3b
?……?a
n?1
?10
?bn
?b
?10
?b
?
?
1?a?10
?b
?a
2
?10
?2b
?a
3
?10
?3b
?……?a
n?1
?10
bn
?
?b
n?1?1
?
1?
?
1?a?10
?
?
1
?
?
?
n?bn
?
?b
??1?a?10
?10?
??
b
?b
10?a
1?a?10
1?a
n
?10
?bn
?
?1
∵
lim
?
n??
∴
s?
11
n?bn
?lim1?a?10?
??
bb
n??
10?a10?a
所以,这种方法是有普遍的适用性的。
今以998为例,对上述证明进行验证。
5
256513026
0001
1002
2004
3008
4016
5032
6064
7128
82569512
101024
112
12
13
14
25651
3026
八、四则运算定义
已知整数a,假设
10
n?1
?a?1
0
n
,n?N
?
,则其补数
a?10
n
?a
,或写作
a?10
?
lga
?
?1
在“补数次幂叠加法”
中作为第n个
?a,其中
??
为高斯符号。
加数的数称为该倒数的第n层叠加
。
现再行定义其四则运算的计算规律。
n
1
lga?1
令A??
?
10
??
?a
a
i?1
??
i?1
?10
?
?
?
lga
?
?1
?
i
1
n
lgb?1
,B??
?<
br>10
??
?b
b
i?1
??
i?1
?lgb
?1i
?10
?
??
?
。
?
A
?
令
A
n
与
B
n
分别为A与B的第n层叠加,?
A?B
?
n
、
?
A?B
?
n
、
?
AB
?
n
、
??
?
B
?<
br>n
分别为A+B、A-B、A
?
B、A
?
B的第n层叠加。则
有如下公式,以供从
已知推及未知:
?
A?B
?
n
?A
n
?B
n
?
A?B
?
n
?B
n
?A
n
<
br>?
AB
?
n
?
A
n
?B
n
?
A?B
?
B?A
?
A
?
??
?bA
n
?
B
?
n
由上述四则运算定义可知,该运算满足加法、乘法的结合律。
6
例:计算
93
?1
?98
?1
02<
br>001
001
1
1
2
2
3
3
44
5
5
6
6
7
7
8
8
99
10
10
11
11
12
12
13
1
3
02
6071
02
07
04
49
08
3
43
16
2401
32
16807
4
4
0
7
8
968890
607124605
64
117649
1
28
823543
256
5764801
512
40353607<
br>1024
282475249
20
19773267
4
138
4128
8
3
9
2
1
1
5
6
0<
br>9
0
5
1
2
4
7
九、实际应用
1
、平时学习:因为这种方法可以有效地减少某些“相对大数”的倒
数的计算量,所以,在计算正整数a(
10
n-1
n
,
n?1,n?Z
)的倒数
时,若a≤7.5×10
n-1
,则可用普通方法;若7.5×10
n-1
n
,则可
用此法,以减少乘法的运算量。不仅如此,化减除为加乘的方法本
身
也可减少出错率。
2、计算效率:现以上文所提到的93
-1
的计算过程予以说明。
注:因为
现代计算机的计算速度相当迅速,现假定计算机进行加、减、
乘、除的单次运算时间相同,均为t。
7
例:分别用一般计算方法与“补数次幂叠加法”计算93
-1
到第27位。
①平常算法计算量:26次除法,26次减法;
②“补数次幂叠加法”
计算量:22次乘法(1次为移动小数点,即
乘0.01),23次加法。
∴
t1
?
?
26?26
?
?t?52t
;
t
2
?
?
21?23+1
?
?t?45t
∴节省时间百分比为
1
t?t
2
52?45
?100%??100
%?13.46%
t
1
52
所以说,计算机在这次运算中,若使用
“补数次幂叠加法”,其
效率可以提升
13.46%
。
推而广之,一般地,
若计算任意数a的倒数(现假设75至b位,则平常算法计算量一般为(b-1)次除法
,(b-1)次减法;
“补数次幂叠加法”计算量一般会进行(b-4)次加法。
那么,会进行多少次乘法呢?设其为n次。
现假设到这一位的倒数值由截止到其下一位的数值
相加和决定,
则由“补数次幂叠加法”的表格推演方法必有:
n
2
?
n?1
?
?
?
lg
?
100?a
?
?<
br>?1?b
??
??
其中,左式为所有次幂数的末位的总退后位数;右
式第一项中运
用到了高斯函数,此项代表该次幂数的总位数。根据表格运算的具体
步骤可知,这
其实是一个恒等式。
∴
2n?1?
?
?
n?lg
?
100?a
?
?
?
?b
为简便起见,将高斯符号脱出化简得到
∴
n?
?
?
2?l
g
?
100?a
?
?
?
?b?c?1
其中c为
n?lg
?
100?a
?
的小数部分。
8
∴
n?
b?c?1
?
?2?lg
?
100?a
?
?
?
75?a?100
∵
0?c?1;
∴
b?c?1b?2
??0.5b?1
2
?
?
2?lg
?
100?a
?
?
?
b?
c?1b?1b?1b?155
????b?
3
?
?
2?lg
?
100?a
?
?
?
2?2lg
?
5
?
2?2?0.70.63
∴
0.5b?1?
b?c?155
?b?
3
?<
br>?
2?lg
?
100?a
?
?
?
3
①平常算法计算量:(b-1)次除法,(b-1)次减法;
②“补数次幂叠加法”
计算量:
法。
因此“补数次幂叠加法”计算量比平常算法要少算
?
0.5b
?3
?
至
?
2
?
次。若用
?n
来表示“补
数次幂叠加法”计算量比平常算法
3?b?1
??
??
?
3
?
b?c?1
次乘法,(b-4)次加
2?lg100?a
??
??
??
少算的次数,则
?n
一定随着b的增大而增大(常理可得),随着a的<
br>增大而减小。由于日常要求至多为4位小数,则代入计算可知
?n
的
值始终大于
等于零。所以说,“补数次幂叠加法”比普通计算方法在日
常生活中更具优势。
(全文完)
9
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