高中数学学习论论文总结

浅谈初中数学直觉思维的培养

袁庆
数学与信息学院 学科教学专业 3


摘要：注重学生在初中数学教学中直觉思维的培养，将会使学生 在思维的敏捷性、
灵活性和创造性品质得到有益的发展，同时对学生掌握知识、发展能力、解决问
题是十分必要的。
关键词:直觉思维 学生培养 逻辑思维
直觉思维是以熟悉的知识 领域及其结构为依据，使思维者可能实行跃进、越
级和采取捷径，并需用比较分析验证结果的一种快速思 维形式（布鲁纳语）·美
国心理学家布鲁纳高度肯定了这种高要求的思维，称它是创造的先声。《数学课
程标准》明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够初步会运用数学
的思维方式去观 察、分析、现实社会，解决日常生活中的问题，增强应用数学意
识……”我们知道数学最初的概念都是基 于直觉，在问题解决中得到发展，问题
解决是离不开直觉，而数学直觉是具有意识的人脑对数学对象（结 构及其关系）
的某种直接的领悟和洞察，培养直觉思维能力是社会发展的需要，是适应新时期
社 会对人才的需求，是新课程指导下的数学教学方法的精髓，因此在初中数学教
学中，若能经常注重学生直 觉思维的培养，则将使学生的思维的敏捷性、灵活性
和创造性品质得到有益的发展，对学生掌握知识、发 展能力也十分重要。
1数学直觉
数学直觉是具有意识的人脑对数学对象的某种直接的领悟和洞察。对于直觉
作以下说明：
1.1直觉与直观、直感的区别
直观与直感都是以真实的事物为对象，通过各种感觉器官直接 获得的感觉和
感知。例如等腰三角形的两个底角相等，两个角相等的三角形是等腰三角形等概
念 、性质的界定并没有一个严格的证明，只是一种直观形象的感知。而直觉的研
究对象则是抽象的数学结构 及其关系。庞加莱说：“直觉不必建立在感觉明白之
上，感觉不久便会变的无能为力。例如，我们仍无法 想象千角形，但我们能够通

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过直觉一般地思考多角形， 多角形把千角形作为一个特例包括进来。”由此可见
直觉是一种深层次的心理活动，没有具体的直观形象 和可操作的逻辑顺序作思考
的背景。正如迪瓦多内所说：“这些富有创造性的科学家与众不同的地方，在 于
他们对研究的对象有一个活全生的构想和深刻的了解，这些沟想和了解结合起
来，就是所谓‘ 直觉’……，因为它适用的对象，一般说来，在我们的感官世界
中是看不见的。”
1.2直觉与逻辑的关系
从思维方式上来看，思维可以分为逻辑思维和直觉思维。长期以来人 们刻意
的把两者分离开来，其实这是一种误解，逻辑思维与直觉思维从来就不是割离的。
有一种 观点认为逻辑重于演绎，而直观重于分析，从侧重角度来看，此话不无道
理，但侧重并不等于完全，数学 逻辑中是否会有直觉成分？数学直觉是否具有逻
辑性？比如在日常生活中有许多说不清道不明的东西，人 们对各种事件作出判断
与猜想离不开直觉，甚至可以说直觉无时无刻不在起作用。数学也对客观世界的< br>反映，它是人们对生活现象与世界运行的秩序直觉的体现，再以数学的形式将思
考的理性过程格式 化。数学最初的概念都是基于直觉，数学在一定程度上就是在
问题解决中得到发展的，问题解决也离不开 直觉，下面我们就以数学问题的证明
为例，来考察直觉在证明过程中所起的作用。
一个数学证 明可以分解为许多基本运算或许多“演绎推理元素”，一个成功
的数学证明是这些基本运算或“演绎推理 元素”的一个成功组合，仿佛是一条从
出发点到目的地的通道，一个个基本运算和“演绎推理元素”就是 这条通道的一
个个路段，当一个成功的证明摆在我们面前开始，逻辑可以帮助我们确信沿着这
条 路必定能顺利的到达目的地，但是逻辑却不能告诉我们，为什么这些路径的选
取与这样的组合可以构成一 条通道。事实上，出发不久就会遇上叉路口，也就是
遇上了正确选择构成通道的路段的问题。庞加莱认为 ，即使能复写出一个成功的
数学证明，但不知道是什么东西造成了证明的一致性，……，这些元素安置的 顺
序比元素本身更加重要。笛卡尔认为在数学推理中的每一步，直觉力都是不可缺
少的。就好似 平时打篮球，要靠球感一样，在快速运动中来不及去作逻辑判断，
动作只是下意识的，而下意识的动作正 是在平时训练产生的一种直觉。
在教育过程中，老师由于把证明过程过分的严格化、程序化。学生只是见到

2

一具僵硬的逻辑外壳，直觉的光环被掩盖住了，而把成功往往归功 于逻辑的功劳，
对自己的直觉反而不觉得。学生的内在潜能没有被激发出来，学习的兴趣没有被
调动起来，得不到思维的真正乐趣。《中国青年报》曾报道，“约30%的初中生学
习了平面几何推理之 后，丧失了对数学学习的兴趣”，这种现象应该引起数学教
育者的重视与反思。
2直觉思维的培养
一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利
治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断
提高的。”数学 直觉是可以通过训练提高的。
2.1扎实的基础是产生直觉的源泉
直觉不是靠“机遇”，直 觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭
空臆想，而是以扎实的知识为基础。若没有深厚的功底 ，是不会进发出思维的火
花的。阿提雅说：“一旦你真正感到弄懂一样东西，而且你通过大量例子以及通
过与其它东西的联系取得了处理那个问题的足够多的经验，对此你就会产生一种
关于正在发展的 过程是怎么回事以及什么结论应该是正确的直觉。”阿达玛曾风
趣的说：“难道一只猴子也能应机遇而打 印成整部美国宪法吗？”
2.2渗透数学的哲学观点及审美观念
直觉的产生是基于对研究对 象整体的把握，而哲学观点有利于高屋建邻的把
握事物的本质。这些哲学观点包括数学中普遍存在的对立 统一、运动变化、相互
转化、对称性等。例如（a+b）
2
=a
2
+ 2ab+b
2
，即使没有学过完全平方公式，也可
以运用对称的观点判断结论的真伪。
美感和美的意识是数学直觉的本质，提高审美能力有利于培养数学事物间所
有存在着的和谐关系 及秩序的直觉意识，审美能力越强，则数学直觉能力也越强。
狄拉克于1931年从数学对称的角度考虑 ，大胆的提出了反物质的假说，他认为
空中的反电子就是正电子。他还对麦克斯韦方程组提出质疑，他曾 经说，如果一
个物理方程在数学上看上去不美，那么这个方程的正确性是可疑的。
2.3重视解题教学
教学中选择适当的题目类型，有利于培养，考察学生的直觉思维。例如选 择
题，由于只要求从四个选择支中挑选出来，省略解题过程，容许合理的猜想，有

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利于直觉思维的发展。实施开放性问题教学，也是培养直觉思维的 有效方法。开
放性问题的条件或结论不够明确，可以从多个角度由果寻因，由因索果，提出猜
想 ，由于答案的发散性，有利于直觉思维能力的培养。
2.4设置直觉思维的意境
这就要求教 师转变教学观念，把主动权还给学生。对于学生的大胆设想给予
充分肯定，对其合理成分及时给予鼓励、 爱护、扶植学生的自发性直觉思维，以
免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。教师应及时 因势利导，解
除学生心中的疑惑，使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。“跟着感觉走”是
教 师经常讲的一句话，其实这句话里已蕴涵着直觉思维的萌芽，只不过没有把它
上升为一种思维观念。教师 应该把直觉思维冠冕堂皇的在课堂教学中明确的提
出，制定相应的活动策略，从整体上分析问题的特征； 重视教学思维方法的教学，
诸如：换元、数形结合、归纳猜想、反证法等，对渗透直觉观念与思维能力的 发
展大有裨益。
3实例教学中直觉思维的培养
（一）引导学生进行整体性观察。整 体上的观察研究，对问题作全面详细地
了解，是进行直觉思维的前提。例如，这样一道题：
[（-1）
4
+2×（-1
2
2
2
2
）÷（-5） ]×[（-3）
2
+2÷（-）
3
].
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3
如 果按照一般算法冒然动笔，一步步算下去，既易出错，又费时费力。我在有理
数教学复习时，选用这道题 练习，可以培养学生直觉思维。先让学生观察两个括
号内有什么特殊地方，再直接说出结果。学生经过全 面观察，很有兴趣地告诉我：
第二个括号内（-3）
2
+2
22
÷（ -）
3
＝0，所以整个式子算得0！我趁热打铁，
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告诉学生们：一道题摆 在面前，要仔细观察它的特点，善于发现内在的“运算妙
机”，这样要简捷得多！
（二）引导 学生捕捉隐藏的内在联系。善于从复杂的问题中，捕捉结论和条
件的内在联系，是直觉思维的主要内容之 一。长期这样训练，能大大提高解题速
度。例如
已知：AD是△ABC的高，以AD直径的圆 交AB
、
AC于E
、
F，求证：BCEF
内接于圆。首先引导学生自 己动手画出图形再让学生认真观察，分组讨论寻找内
在联系：

4

四点内接于圆→对角互补→∠1＝∠2

│
↓
∠3＝∠2←∠1＝∠3
↑

│
AD是直径→连ED，∠AED＝90°→△AED∽△ADB

学生们边看边讨论， 边循思路，默默地寻找内在联系，接着我因势利导引导
学生从求证中找解题方向，从已知中寻找解题方法 ，这样一种直觉思维方式就慢
慢地形成，就能快、准、好地找到正确的解题途径。
（三）引导 学生进行预测验证性训练。合理的联想，科学的猜测被誉为发明
创造的触媒。面对一道复杂的问题，先观 察估计一下，再进行合理的猜测假设，
紧缩推理，试探求解，比拿着题就动笔瞎撞要好得多。如计算题：
（a+2）（a-2）（a
2
-2a+4）（a
2
+2a+4），
如果仅按一般要求让学生硬套公式，总觉得有些过于死板。我把题抄出后，
先让学生按一般要求 做好。我再一边看题，一边以学生听得见的声音“自言自语”，
率其探索另一种解法：“（a+2）(a -2）符合平方差公式，得a
2
-4;(a
2
-2a+4）、
（a< br>2
+2a+4）分别符合两数差与和的完全平方公式，得(a-2)
2
（a+2 ）
2
，再运用积
的乘方逆运算，求得它们之积是[（a-2）（a+2）]
2
，即（a
2
-4）
2
…”学生也自然
念念有词，循思路探索 ，还没等我说出来，就有人兴奋地说出结果：（a
2
-4）
3
，
恰恰 符合两数差的立方公式！象这样的探索性直觉思维，是打破思维框架结构，
克服思维定式、培养发散性思 维的有力手段，对于寻找一题多解、多题一解极为
有利。我认为，这种思维在几何证题中尤显重要。 < br>此外，还可以充分调动旧有知识经验，利用固定思维途径。固定思维途径是
缩短思维间距的有利因 素，它与“预见解题进程”性直觉思维训练，也是进行直
觉思维培养的好办法。
4结论 在初中数学课堂教学中加强对直觉思维能力的培养和习惯的养成会对提高
数学课堂教学质量，培养学 生数学的兴趣和创新能力，产生意想不到的、甚至是

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奇 妙的数学意境，经常进行这样的训练，对培养学生良好的思维品质，自主学习、
合作学习大有益处。伊思 ·斯图尔特曾经说过这样一句话：“数学的全部力量就
在于直觉和严格性巧妙的结合在一起，受控制的精 神和富有灵感的逻辑。”受控
制的精神和富有美感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方 向。

参考文献：
[1] 刘超 《浅谈数学教学中直觉思维的培养》 《中学数学月刊》
[2] 罗增儒、钟湘湖《直觉探索方法》，大象出版社，1999年.
[3] 郑毓信著《数学方法论》，广西教育出版社，1991年.



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年6期. 2002