高中数学几何论文

品《初等几何教程》有感



寒假期间，我品 读了《初等几何教程》的相关内容，深感数学几何
的博大精深及解题方法的精妙。

数学世界是丰富多彩的。两条直线就可以有重合、平行、共面、异
面等多种。一条线，一个平面也可以构 成不同位置关系。对于有关直线
和平面的定理的应用熟练程度也就体现在解题的过程中，平面几何解题< br>时，既要联系实际又不能凭感觉论断，举一个简单的例子，在必修二的
习题中出现的，如果两个平 面垂直于同一个平面，那么这两个平面互相
平行。直觉上感觉这是正确的，但是只要一想到墙角这个结论 就错了。
证明结论错误可以运用反证法或是在第三个平面上任意取一点并向两平
面做垂线即可证 明。有关平面图形的证明题是很有趣的，学会开拓思路
发散思维是解决此类问题的必要条件。比如下面这 道题：
已知正方形ABCD内有一点P，且PB：PC：PD=3：2：1，求证∠CPD=135°.

这道题乍一看很难，∠CPD不是什么特殊角，所在三角形CPD也不是特
殊的三 角形，想要通过加减角求其度数是不可能的。而135°恰好等于
一个直角加45°。分析题目就要凑出 一个直角，作一条辅助线
（PC⊥=P'C）这样一来所有的问题就都迎刃而解了。（如下图）.

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圆是数学必修二的重点，有时候不单单是求圆，在 高考的范围内经
常和方程联系。这种题的难度系数普遍不大，在做这种题的时候就要记
住直线平 行垂直重合等的方程表达及圆的方程表达。联立起来即可求解。
直线和圆锥曲线的关系是几何的一类典 型问题，常考常新。解决这
类问题的关键就是要明白直线和圆锥曲线问题的本质。直线接圆锥曲线
就会在曲线内形成弦，这是一个最大的出题点，根据弦就可以涉及到弦
长，另外线和圆锥曲线有交点， 涉及到交点就会涉及到坐标的一些问题，
若是再和交点、原点等一些特殊点构成一些关系还会涉及到角度 问题。
解析几何就是利用代数方法解决几何问题，因此这些几何上的角度，弦
长等一些关系都要 转化成坐标，以及方程的形式。但是问题的本质还是
几何问题，因此更多的利用圆锥曲线的几何性质可以 化简计算。比如，
在坐标法中向量是和几何问题结合最紧密的方法，因此涉及到角度等一
些问题 可以用向量去做，这样会比直接利用直线的夹角公式计算要稍简
单一些。
解决直线与圆锥曲线 的关系问题主要方法是将直线方程与圆锥曲
线方程联立，直线要考虑到直线斜率不存在的问题即x=x0 ，在解题中不
妨先考虑这种情况，以免忘记。方程联立后，就是要利用已知条件找到
参数与参数 之间或是与已知量之间的关系，这时一般会用到韦达定理进
行转化，另外不要忘了考虑判别式！
几何解题一定要认真分析题目所给，挖掘条件的深层含义，举一反
三推出更多重要结论。并且要善于巧 妙地构造辅助性，既要体现题目给
的条件的价值，又要用最简洁最少的辅助线达到最好的效果。
立方体是高中课本里空间图形中的最基本、最常用、最重要的几
何体. 首先：其本身中的点、线、面的位置关系包涵了空间图形中的所
有的位置关系. 其次：它与代数(如：不等式、函数与数列、排列组合等)、
三角、解析几何有着密切联系. 因而它是高考命题的热点. 下面从数学
思想方法方面探究其重要性。立体几何的教学，关键是要调动学 习兴趣，
联想与转化。立体几何的许多定理、结论源自生活实际，源自平面几何，
要联想实际模 型，联想平面几何中已经熟悉的东西，借助可取之材来建

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立空间 想象，加强直观教学，这样就容易接受，从而喜欢上这一门学科，
更有效地培养空间想象力，提高他们解 决立体几何问题的能力。加强立
方体与其它内容的渗透的研究：立方体与排列组合的结合,象染色问题,
计数问题；立方体与解析几何的结合,象轨迹问题；立方体与函数方程的
结合,象最值问题；立 方体与代数三角的结合,象角度距离问题；立方体
与其它学科的结合,象化学晶体问题等.这样有助于对 正方体的深刻认识
与实际应用.

立体几何的转化有很多方法，位置关系的转化、降 维转化、割补
转化、等积转化、抽象向具体转化和数形结合思想、转化与化归思想、
函数与方程 思想、分类讨论思想等等，灵巧的把多种方法结合。


下面这是一道高考题，运用里分类讨论的方法：
2000年全国卷（16）如图，E、F分别 为正方体的面
ADD
1
A
1
、
面
BCC1
B
1
的中心，则四边形
BFD
1
E
在该正方 体的面上的射
影可能是______。（要求：把可能的图的序号都填上）

分析 ：因正方体是由三对平行面所组成,所以只要将四边形
BFD
1
E
在三个方向 上作投影即可,因而
可分为三类情况讨论.
⑴在面ABCD上作投影可得②(平行四边形).
⑵在面
ADD
1
A
1
上作投影可得③(线段).
⑶在面
ABB
1
A
1
上作投影可得②(平行四边形).
故可填为：②③
注：截面、射影的问题是空间图形和平面问题间变换的一种重要题型,象本题 一样的定性分析题一
定要抓住图形的特性(平行、垂直等)进行分析.

数学的几何 和代数是紧密联系的，求线段的长度需要代数，求角度
要知道三角函数，下面这道题体现的就是函数方程 思想：

2002全国卷(18) 如图，正方形
ABCD
、
AB EF
的边长都是1，而且平面
ABCD
、
ABEF
互相垂
直 .点
M
在
AC
上移动，点
N
在
BF
上移动 ，
若
CM?BN?a
(0?a?2)
.

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（1）求
MN
的长；
（2）当
a
为何值时，
MN
的长最小；
分析：将图形补成为正方体(如图)运用函数思想求解.
（1）作MK⊥AB于K,连KN.由面ABCD⊥面ABEF
得MK⊥KN.从而
MN
=
MK
2
?KN
2
……①
又由
C
D
M
B
E
F
BKCMBN
??
得KN∥AF.
KAMANF
K
A
N
从而
KN
=
BK
=
22
BN
=
a
……②
22

MK?
22
AM?
(2
?a
)
……③
22
将②③代入①有
MN
=
11
(2?a)
2
?a
2
=
a
2
?2a?1
为所求.
2 2
（2）运用函数配方法,由（Ⅰ）知
MN
=
a
2
?
2
a?
1
.
(0?a?
配方有
MN
=
(a?
2)
.
2
2
2
1

)?
≥
2
22
即当
a
=
22
时，
MN
取最小值.
22
注：对空间图形中含有一些“动态”因素(象距离、角度等)的问题,可考虑能否把这一动源作为自
变量 ,构造目标函数,用函数的思想来处理.

解几何题，首先必须要保证计算正确，因为解析几 何都是环环相
扣的，如果数值出现错误后面的问题白做了，还浪费时间。其次，解析
几何看起来 很难做，既繁琐有没有思路，所以看到题目不要着急，顺着
“仔细”挑拣出已知条件，按题目深浅大致区 分第一问和以后几问要用
到的条件。第一问通常比较简单，套用典型解法就能答出来了。而第二
问则通常建立在第一问的基础上，第二问要用到第一问的结果，这问需
要有扎实的基础和出色的计算能力 及画图能力。第三问或第四问是提档
题，比较难，也有一些很难，。第三问通常思路灵活开阔，并要求思 维
缜密。其实第三问有一些题也是有可循套路的例如分类思考。还有一些
通过画图才能看见的隐 含条件（例如交点、域和一些特别的几何图形等），
继而找到思路，图至关重要，因此千万不能手懒或粗 心。而且培养立体
思维也是很重要的，一看题目，脑子中马上浮现立体图，并且联想到相
关定理 ，结合条件就能够透彻了解题目，进而解题。

数学几何解题讲究的万变不离其宗，所有的解题思路都是建立在固

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有的根本的公式定理上的。在这里不得不感谢那些伟岸的数学学家，如
今我们用这些公式定理 很简单，很顺手，当时的他们要推导出来花费的
时间精力是我们现在无法想象的。想要解题必须要记住公 理和推导出的
公式，公式推理是解题之本。几何题类型很多，不同的题有不同的解法，
不同的思 路。但是我们不可能做完所有的题型，所以也就要通过解一道
题学会相似的题型，总结知识点，适当整理 ，在以后不再犯。

数学的学习讲究融会贯通，将相关旧知识同新学知识联系在一起
不仅可以巩固原有知识有有利于顺利学习新知识。做几何题，培养灵活思
维，运用多种方法可以更快地解 决问题。尤其是做几何题，独立解出一道
道难题时的成就感是是很多事物都无法比拟的。

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