高中数学教学论文 复数章节知识盘点

复数章节知识梳理
复数内容是高中数学课程中的传统内容，新课程标准对复数内容作了 处理，在要求上也
有所降低。具体要求为：理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代 数表
示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几
何意义。针对上述要求，我们在学习和复习这章内容的过程中，应着重以复数的基本概念、
性质以及基本 运算法则为主要学习目标，力求在考试中不失分。
一、知识结构
复数代数形式的加
减乘除运算
复数的概念 复数的代数形式
复数加减法运算的
几何意义
复数的向量表示

二、知识导析
1.复数的有关概念
（1）形如
a?bi(a,b?R)
的数叫做复数，其 中
i
叫做虚数单位，
a,b
分别叫做复数
a?bi(a,b?R)< br>的实部、虚部，
a?bi(a,b?R)
叫做复数的代数形式。在这一概念中易忽
视
a,b?R
这一条件。
（2）对于复数
a?bi(a,b?R)
，当且仅当
b?0
时，它是实数；当
b?0
时，它叫做虚
数；当< br>a?0
且
b?0
时，叫做纯虚数。如
a
2
?2a? 3
?(a
2
?a?6)i
是1）实数？2）虚数？ 例1
a
为何实数时，复数
z?
a?2
3）纯虚数？4）零？
分析：本题是对复数概念的考察。
?
a
2
?a?6?0
1）若为实数，需满足
?
解之得
a?3
a?2?0
?
。2）若为虚数，只需
a
2?a?6?0,解得a??2且a?3
。

?
a
2
?a?6?0
?
3）若为纯虚数，需满足
?
a
2
?2a? 3?0
解得
a??1
。
?
a?2?0
?
?< br>a
2
?2a?3?0
?
4）若为零，需满足
?
a2
?a?6?0解得a?3
。
?
a?2?0
?
点评： 在解答过程中不要忽视
a?2
这一条件，导致结果的错误。
（3）两复数相等：当且仅当两复数的实部和虚部都分别相等时，这两复数称为相等复数。
特 别地，两个实数可以比较大小，但两个复数不全是实数时，就不能比较大小，一般说
来，复数集中没有大 小之分，只有相等与不相等的关系。如：
例2 下列四个命题中：（1）两个复数不能比较大小； < br>（2）若复数
z
1
,z
2
满足
z
1
?z
2
?0,则z
1
?z
2
；
（3）若
a?b,则a?i?b?i
；
（4）若
z
为复数，则
z?0
；其中正确命题的个数是（ ）个
A.0 B.1 C.2 D.3 < br>分析：对于命题（1）两个复数若均为实数时可以比较大小；对于（2）如果
z
1
,z
2
的虚
部相等，而且
z
1
的实部大于
z2
的实部，就不正确。如
z
1
?3?2i,z
2
?1? 2i
满足条件，但
（3）显然也是不正确的；对于（4）若
z
为纯虚数，则结 论显然不正
z
1
,z
2
不能比较大小；
确。故应选A。
2.复数的几何表示
复数
z?a?bi(a,b?R)
由有序实数对（a,b
）唯一确定，而每一个有序实数对（
a,b
），
在平面直角坐标系 中，唯一确定点
Z(a,b)
（或一个向量
OZ
）,从而可建立复数
2
z?a?bi(a,b?R)
与点
Z(a,b)
及向量
OZ
间的一一对应关系，由此，引入了复平面、实
轴、虚轴以及复数的模等概念。
复数
z?a?bi(a,b?R)
，点
Z(a,b)
及向量
OZ
之间的对 应关系如下图






点
Z(a,b)

向量
OZ

z?a?bi

由三者的一一对应关系，我们可 以把复数、向量以及解析几何题目有机地结合起来，使问题
的解决更为灵活深刻。如：
例3 两非零复数
z
1
,z
2
分别对应向量
OA,OB
, 若
|z
1
?z
2
|?|z
1
?z
2
|
，则向量
OA与OB
的
关系为（ ）
A.
OA?OB
B.
|OA|?|OB|
C.
OA?OB
D.
OA,OB
的关系不定
分析：本题是一道复 数、向量和解析几何的综合题，由复数
z?a?bi(a,b?R)
，点
Z(a,b)
及向量
OZ
之间的一一对应关系，结合向量的加减法的几何意义可知，
|z< br>1
?z
2
|?|z
1
?z
2
|
即为 以
OA,OB
为邻边的平行四边形的对角线相等，故应为矩形，所以
OA?OB
，选C.
3. 复数代数形式的加减乘除运算
（1）复数代数形式的加减法，只需将它们的实部和虚部分别相加减即得。
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i

（2）复数代数形式的乘法，可类似于多项式的乘法运算，展开后合并即得。
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(ad?bc)i

(3)复数代数形式的除法，可概括为一句话：分母实数化。
a?bi(a?bi)(c?di)ac?bdbc?ad
???i(c?di?0)

c?di(c?di)(c?di)
c
2
?d
2
c
2
?d
2
例4 （07年全国卷Ⅱ理工农医类第3题）
设复数
z
满足
1?2i
?i
，则
z
=（ ）
z
A.
?2?i
B.
?2?i
C.
2?i
D.
2?i

解析：
z?
1?2i?i(1?2i)
??2?i
，所以答案选C。
ii(?i)
点评：本题主要考察复数的基本运算。
4.虚数单位
i
的有关结论
2
（1）
i??1
；
(1?i)??2i
；
n
2
1?i1?i
?i
；< br>??i
在解题中的应用。
1?i1?i
4n
（2）
i
的周期性的使用：包括
i?1,i
4n?1
?i,i
4n?2
?? 1,i
4n?3
??i
以及
i
n
?i
n?1
?i
n?2
?i
n?3
?0
。
（3）1的虚立方根?
??
1
13
322
?
?
。
?i的应用：包括结论
?
?1,
?
?
?
?1?0,
?
?

?
22

例5（05年高考重庆卷 理第2题） 复数
(
A． i B. -i C. 2
2005
1?i
2005
)
等于（ ）
1?i
2005
D .- 2
2005

1?i
2005
?
(1?i)
2
?
)
=
?
解析：
(
?
1?i
(1?i)(1?i)
??
答案选A
点评：本题若熟记结论
=
(
2i
2005
2005
)
=i=i
2
1?i
?i
，即可迅速求解。
1?i
例6 复数
(2?2i)
4
(1?3i)
5
等于（ ）
A．
1?3i
B.
?1?3i
C.
1?3i
D .
?1?3i

分析：观察本题式子特点 ，发现分子提出2后可用
(1?i)
2
?2i
来求解，但分母若直接展开计算就相当繁琐，而注意到其与
?
??
性质来解决。
解：原式
=
13
?i
的差别，只需提取2就可转化为可用
?
的
22
16(1?i)
4
13
5
?2
5
(??i)
22
?
(2i)
2
13
2
?2(??)
22?
13
?2(??i)??1?3i

22
13
??i
22
13
?i
在解决复数计
22
2
点评：本题是一 道经典高考题，很好地体现了1的虚立方根
?
??
算问题的作用
5.共轭复数的有关结论
(1)两复数的和、差、积、商的共轭复数等于它们共轭复数的和、差、积、商。即
z
1
?z
2
?z
1
?z
2
,z
1
z
2
?z
1
z
2
，
(
z
1
z
)?
1
；
z
2
z
2
（2）
z?z?0?z?0
或
z
为纯虚数；
（3）
zz?|z|
2
?|z|
2
。
例7 （06年上海高考理工农医类第5题）
若复数
z
同时满足
z?z?2i,z ?iz(i
为虚数单位），则
z
=___________.
解析：根据共 轭复数的定义知
z
的虚部为
i
，又满足
z?iz
，所以z
实部为
?1
，故应填
?1?i

6.常见几何曲线的复数形式的方程

设
z
1
?a? bi,z
2
?c?di(a,b,c,d?R),点Z（
1
a,b),Z2
(c,d)

（1）两点
Z
1
Z
2
间的距离公式
d?|z
1
?z
2
|
；
（2）线段
Z
1
Z
2
的垂直平分线方程：
|z?z
1
|?|z?z
2
|
;
(3) 以点
Z
1
为圆心， 以
r
为半径的圆的方程：
|z?z
1
|?r
；
（ 4）
|z?z
1
|?|z?z
2
|?2a
?
?当2a?|z
1
?z
2
|时，表示线段
?
当2a?|z
1
?z
2
|时，表示以Z
1
,Z
2
为焦点 的椭圆
；
（5）
|z?z
1
|?|z?z
2
|??2a
（
|2a|?|z
1
?z
2
|
）表示以
Z
1
,Z
2
为焦点的双曲线；
（6）
r?|z?z
1
|?R
表示以点
Z
1
为圆心，以
r
为半径的小圆和以
R
为半径的大圆所
形成的 圆环区域。
例8 在复平面内，点
P、Q
分别对应的复数为
z
1< br>、z
2
，且
z
2
?2z
1
?3?4i,|z
1
|?1
，求
点
Q
的轨迹。
解析：
?z
2
?2z
1
?3?4i
，

?2z
1
?z
2
?3?4i
，
又
|2z
1
|?2|z
1
|?2
，

?|z
2
?3?4i|?2,即|z
2
?(3?4i)|?2
，
由上述复数形式的曲线方程可知点
Q
的轨迹为以（3，-4）为圆心，2为半径的圆。
近几年高考对复数的考察难度降低，题量减少，主要以选择题、填空题的形式出现，难
度 多为容易题，针对这种情况，平时的学习和复习更应重视基本概念、基本运算、基本性质
这三方面，力争 将这部分题目的解答做到完美。