重点高中数学论文：巧解外接球的问题

重点高中数学论文：巧解外接球
的问题

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2

巧解外接球问题
如果一个多面体的各个顶 点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多
面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外 接球的问题，是立体几何的一个重点，也
是高考考查的一个热点.

考查
学生 的空间想象能力以及化归能力.
研究多面体的外接球
问题，既要运用多面体的知识，又要运用球 的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元
素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在 解题中往往会起到至关重要的作
用.

一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶 点都在同一球面上，则该球的表
面积为______________ .
解析：要求球的表 面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对
角线正好为球的直径，因此，求球的 半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.
故表面积为
27
?
.
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为
24
，则该 球
的体积为______________.
解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径， 而球的直径正好是正方体的体对角线，
因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是
23
所以球的半径为
3
.
故该球的体积为
43
?< br>.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3 （2007年天津高考题）一个长方体的 各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三
条棱长分别为
1,2,3
，则此球的表面积 为 .
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的 直径。
长方体体对角线长为
14
，故球的表面积为
14
?
.
例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，
则 这个球的表面积为（ ）.
A.
16
?
B.
20
?
C.
24
?
D.
32
?

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3

< br>解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为
2，因此， 长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C.
3.求多面体的外接球的有关问题
例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同
9一个球面上，且该六棱柱的体积为
8
，底面周长为３，则这个球的体积为 .
6x?3,
1
?
?
x?,
??
2
?< br>93
2
?
?
xh,
??
?6?
84
?
h?3．
?
解 设正六棱柱的底面边长为
x
，高为
h
，则有
r?
∴正六 棱柱的底面圆的半径
3
1
d?
2
.∴外接球的半径
2
，球心到底面的距离
R?r
2
?d
2
?1
.
?V
球
?
4
?
3
.
222
小结 本题是运用公式
R?r?d
求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
二、构造法(补形法)

1、构造正方体
例5 （2008年福建高考题） 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为
3
，则其
外接球的表面积是______ _________.
解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形 计算球
的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很
快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如
图1，则< br>AC=BC=CD?3
，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，故所求
表面 积是
9
?
.(如图1)
例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为
3
，则其外接球的表面积是 .
解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为
3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.
设其外接球的半径为
R
， 则有
?
2R
?
2
2
?
?
3
??
?
3
?
?
?
3
?
222
? 9
R
2
?
.∴
9
4
.
故其外接球的表面积
S?4
?
R?9
?
.
小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为
a、b、c
，则就
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4

可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体 对角线的长就是该三棱锥的外接球的直
径.设其外接球的半径为
R
，则有
2R ?a
2
?b
2
?c
2
.
出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出 发的三条棱长分别为，则体对角线长为
，几何体的外接球直径为

【例题】：在四面体
体对角线长 即
中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，
若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
解：
因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长
所以：四面体外接球的直径为
即：

球的表面积为


所以


的长

例 6 （2003年全国卷）一个四面体的所有棱长都为
2
，四个顶点在 同一球面上，则
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5

A
此球的表面积为（ ）
B
C
D
A.
3
?
B.
4
?
C.
33
?
D.
6
?

解析：一般解法 ，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，
由于所有棱长都相等，我们联想只 有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，
再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体A?BDE
满足条件，即
图
AB=AD=AE=BD=DE?BE?2
， 由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为
3
，从
而外接球的直径也为
3，所以此球的表面积便可求得，故选A. (如图2)
例7（2006年山东高考题）在等腰梯形
ABCD
中，
AB=2DC=2
，
?DAB=60
，
E
为
0
AB
的中点，将
?ADE
与
?BEC分布沿
ED
、
EC
向上折起，使
A、B
重合于点
P
，则三
棱锥
P-DCE
的外接球的体积为（ ）.
666
43
???
?
2824
27
A. B. C. D.
0
?DAB=?CBE=?DEA=60
AE=EB=DC=1
解析：（如图3） 因为，，所以
AD?AE=EB=BC= DC=DE=CE=1
，即三棱锥
P-DCE
为正四面体，至此，这与
例6就 完全相同了，故选C.







D
C
P
A
E
B
D
E
图
6
C
例8 （2008年浙江高考题）已知球
O
的面上四点A、B、C、D，< br>DA?平面ABC
，
AB?BC
，
DA=AB=BC=3
，则 球
O
的体积等于 .
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解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快
便可找到球的 直径，由于
DA?平面ABC
，
AB?BC
，联想长方体中的相应线段关系，
构造如图4所示的长方体，又因为
DA=AB=BC=3
，则此长方体为正方体，所以
CD
长
9
?
即为外接球的直径，利用直角三角形解出
CD= 3
.故球
O
的体积等于
2
.（如图4）











2、构造长方体
O
D
A
AB?平面BCD
，
B< br>C
例9（2008年安徽高考题）已知点A、B、C、D在同一个球面上，
BC?DC< br>，若
AB?6,AC=213,AD=8
，则球的体积是 .
解析 ：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是
AD
为球的直径，O为球心，
图
OB=OC=4
为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出
?BOC
即可，在
Rt?ABC
中，
4
?
0
?BOC=60
BC=4
3
A
求出，所以，故B、C两点间的球面距离是.（如图5）




O



B

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

D
C

三.多面体几何性质法
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图
7

例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面
积是
A.
16
?
B.
20
?
C.
24
?
D.
32
?

解 设正四棱柱的底面边长为
x
，外接球的半径为
R
，则有
4x?16< br>，解得
x?2
.
222
2R?2?2?4?26,　 　?R?6< br>.∴这个球的表面积是
4
?
R
2
?24
?
. 选C. ∴
2
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.

四.寻求轴截面圆半径法
例4 正四棱锥
S?ABCD
的底面边长和各侧 棱长都为
2
，点
S、A、B、C、D
都在同一球面上，则此球的体积为 .
解 设正四棱锥的底面中心为
O
1
，外接球的球心为
O
，如图1
所示.∴由球的截面的性质，可得
OO
1
?平面ABCD
.
又
SO
1
?平面ABCD
，∴球心
O
必在SO
1
所在的直线上.
A
D
O
1
图3
B
S
C
∴
?ASC
的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的 半径就是外接球的半径.
222
SA?SC?2，AC?2
SA?SC?AC
?ASC
在中，由，得.
∴
?ASC是以AC为斜边的Rt?
.
AC4
?
?1V
球
?
3
. ∴
2
是外接圆的半径，也是外接球的半径.故
小结 根据题意，我们可以选择最佳角 度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截
面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提 供的这种思路是探求正棱锥外接球
半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆， 从而把立体几何问题
转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.
五 .确定球心位置法
例5 在矩形
ABCD
中，
AB?4,B C?3
，沿
AC
将矩形
ABCD
折成一个直二面角
B?AC ?D
，则四面体
ABCD
的外接球的体积为
125125125
???
A.
12
B.
9
C.
6

A
D
C
B
O
图4
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8

125
?
D.
3

解 设矩形 对角线的交点为
O
，则由矩形对角线互相平分，可知
OA?OB?OC?OD
.
∴点
O
到四面体的四个顶点
A、B、C、D
的距离相等，即点O
为四面体的外接球的球心，
R?OA?
如图2所示.∴外接球的半径
5 4125
V
球
?
?
R
3
?
?
2< br>.故
36
.选C.
出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。

【例 题】：已知三棱锥的四个顶点都在球
，
解：
因为
所以
在
且< br>,求球的体积。
，
所以知
所以可得图形为：
中斜边为
，，

,
的球面上，且，，
在
取斜边的中点
在
在
中斜边为
，
中
中


，即为该四面体的外接球的球心
9

所以在几何体中
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所以该外接球的体积为
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。




四面体是正四面体

外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，
根据勾股定理知，假设正四面体的边长为时，它的外接球半径为。
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