高中数学教学论文 三角函数中1的妙用

三角函数中“1”的妙
在我们学习三角函数这一部分内容的时候，我们会发现经常会与 “1”有
些合作，下面我就自己在教学中，利用“1”进行解题的体会与大家共同探讨。
理论一：sin
应用举例
例1． 已知
?
是第一象限角，化简下式
2
?
+cos
2
?
=1
1?2sin
?
cos
?

解析：对于根式的化简，思路主 要是去根号，而对这个题目首先要考虑根式下
的
1?2sin
?
cos
?
是否能够配成完全平方式，沿着这个思路我们可以联想到
1?a
2
?b< br>2
，自然会想到
1?2sin
?
cos
?
=
sin
2
?
?cos
2
?
+
2sin
?< br>cos
?
，到此
时解题思路豁然开朗
解：
1?2sin?
cos
?
=
sin
2
?
?cos
2
?
?2sin
?
cos
?

2
=
(sin
?
?cos
?
)

=
sin
?
?cos
?

∵
?
是第一象限 角∴
sin
?
?0,cos
?
?0

∴
1 ?2sin
?
cos
?
=
sin
?
?cos
?

例2：已知
tan
?
?3
，求
sin
?
cos
?
的值
解析：这道题目是一个齐次式，这类题目的特点是已知角
?
的正切值，
求含有正弦和余弦的三角多项式的值，解题的方法是化弦为切，而这道题 目要
用化弦为切有困难，所以我们就要观察它的特点，没有分母是它无法直接利用
传统方法解题 。我们发现
sin
?
cos
?
的分母是1，而1=
sin< br>?
?cos
?
，这样
题目就迎刃而解了
解：∵
tan
?
?3

∵
22
sin?
cos
?
=
1
sin
?
cos
?< br>sin
?
cos
?
1
===
1
1
sin
2
?
?cos
2
?
sin
2
??cos
2
?
tan
?
?
tan
?
s in
?
cos
?

∴
sin
?
cos
?
=
3
=
1
10
3?
3
1
理论二：
tan
应用举例
?
4
?1
（
tan45
0
?1
）
1?tan15
0
例3：求值
1?tan15
0
解析：题 目的形式是分式，联想到两角和的正切公式，而两角和的正切公
?
?
?
)=式
tan(
tan
?
?tan
?
与题目给出的形式有 区别，这时我们观察到公式
1?tan
?
tan
?
中的
ta n
?
与题目中1的位置相同，则自然会想到令1=tan45
0
，后面的问题 自
然容易解决
1?tan15
0
tan45
0
?tan1 5
0
00
tan(45?15)
=
3
解：==
0 00
1?tan151?tan45tan15
理论三：形如
asin
??bcos
?
的三角函数式的化简与求最值问题
a
a?b
)< br>2
?1
22
asin
?
?bcos
?
=a
2
?b
2
(sin
?
?
b
a?b< br>22
cos
?
)

∵
(
a
a?b< br>22
)
2
?(
2
b
a?b
22

∴可以联想到
sin
?
?cos
2
?
?1

?cos
?
，
b
a?b
22
则由此可设
a
a?b
22
b
a?b
22
?sin
?
< br>或设
a
a?b
22
?sin
?
，
?cos< br>?

此时可得
asin
?
或
?bcos
?< br>=
sin(
?
?
?
)

asin
?
?bcos
?
=
cos(
?
?
?
)

应用举例
例4：化简
3sinx?cosx

解析：化简
3sinx?cosx
，就意味着将原式化成
asin(x?
?< br>)
或
acos(x?
?
)
的形式，由理论三我们可得解题方法
解：
3sinx?cosx
=
3?1(
31
sinx?co sx)

22
=2（
cos
?
6
sinx?sin
6
)

?
6
cosx
）
=2< br>sin(x?
2
?
例5：求函数
f(x)?sinx?2sinxco sx?3cosx
的最大值，并求出此时
的
x
的值
解：
y?sinx?2sinxcosx?3cosx

22
=sinx?cosx?sin2x?2
2
22
cos2x?1

2
=
sin2x?cos2x?2

=
2sin(2x?< br>当
2x?
?
4
)?2
，
?
4
?2k
?
?
?
2
，
即x?k
?
?
?
8
(k?Z)
时，
y
m ax
?2?2

理论四：单位圆中的三角函数线的应用
单位圆中，令半径< br>r?1
，给出了任意角的三角函数的几何形式，为后面推
倒两角差的余弦公式做了很好的 铺垫；同时三角函数线也是精确作出正弦函
数，余弦函数，正切函数图象的理论依据，这为后面的学习打 下了很好的基础。
它的具体应用就不在具体举例。
综上我们发现“1”在三角函数解题中扮演 着不可替代的角色，当我们在
题海中“山重水复疑无路”时，“1”或许可以让你“柳岸花明又一村”找 到解
题的方法。