高中数学论文“新定义”高考新题型的新宠儿

“新定义”
——
近年高考创新题型的新宠儿


近年来全国各地的高考试卷都相继推出了以能力立意为目标 ，以增大思维容量为特
色，具有相当浓度和明确导向的创新题型，使高考试题充满活力。纵观全国各地高 考试卷
的创新题，不难发现，“新定义”型这种题目正可谓创新题型的新宠儿。
“新定义”主 要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后
根据此新定义去解决问题，有时还 需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定
义的透彻理解。
一、 新概念型 例1（2006福建卷）对于直角坐标平面内的任意两点A(x
1
,y
1
)、B(x
2
，y
2
)，定义它们
之间的一种“距离”：‖AB‖= ︱x
1
－
x
2
︱+︱y
1
－
y
2
︱.给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.
其中真命题的个数为 （ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：对于直角坐标平面内的任意两点
A(x1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，定 义它们之间的一种“距离”：
222
|AB|?x
2
?x
1
?y
2
?y
1
.
①若点C在线段AB上，设C点坐标为(x
0
，y
0
)，x
0
在x
1
、x
2
之间，y
0
在y
1
、y
2
之间，
则
A C?CB?|x
0
?x
1
|?|y
0
?y
1
|?|x
2
?x
0
|?|y
2
?y
0
|
=
x
2
?x
1
?y
2
?y
1?|AB|.

③在
?ABC
中，
AC?CB?|x
0
?x
1
|?|y
0
?y
1
|?|x
2< br>?x
0
|?|y
2
?y
0
|
＞
| (x
0
?x
1
)?(x
2
?x
0
)|?| (y
0
?y
1
)?(y
2
?y
0
)|
=
x
2
?x
1
?y
2
?y
1
?|AB|.
∴命题① ③成立，而命题②在
?ABC
中，若
? C?90,
则
o
AC?CB?AB;
明显不成立，选C.
222< /p>

评析：对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，命< br>题①中的本质是三点共线，点C在线段AB之间，①显然成立;命题③由两边之和大于第三
边，显 然成立。它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握
好三基，以不变应万变 才是我们的制胜法宝。
二、新运算型
例2（2006四川卷）非空集合
G
关于运算
?
满足：（1）对任意
a
、
b
?
G
，都有
a?b?G
；
（2）存在
c?G
，使得对一切
a? G
，都有
a?c?c?a?a
，则称
G
关于运算
?
为“融
洽集”。现给出下列集合和运算：
①
G?
{非负整数}，
?
为整数的加法。
②
G?
{偶数}，
?
为整数的乘法。
③
G?
{平面向量}，
?
为平面向量的加法。
④
G?
{二次三项式}，
?
为多项式的加法。
⑤
G?
{虚数}，
?
为复数的乘法。
其中
G
关于运算
?
为“融洽集”的是 （写出所有“融洽集”的序号）
解析：非空集合
G
关于运算
?
满足 ：（1）对任意
a,b?G
，都有
a?b?G
；
（2）存在e?G
，使得对一切
a?G
，都有
a?e?e?a?a
，则称< br>G
关于运算
?
为
“融洽集”；现给出下列集合和运算：
①< br>G?
?
非负整数
?
,?为整数的加法
,满足任意
a, b?G
，都有
a?b?G
，且令
e?0
，
有
a?0 ?0?a?a
，所以①符合要求；
②
G?
?
偶数
?
,?为整数的乘法
,若存在
a?e?a?e?a
，则
e?1
，矛盾 ，∴ ②不符
合要求；
③
G?
?
平面向量
?
,? 为平面向量的加法
,取
e?0
，满足要求，∴ ③符合要求；
④
G ?
?
二次三项式
?
,?为多项式的加法
，两个二次三项式相加得到的 可能不是二次三
项式，所以④不符合要求；
⑤
G?
?
虚数
?
,?为复数的乘法
，两个虚数相乘得到的可能是实数，∴ ⑤不符合要求，

这样
G
关于运算
?
为“融洽集”的有①③。
评析：这种题目中出现了新的运算符号
?
，对学生来说是全新的，其解题的关键是抓住
此运算的特征去解题。
三、新法则型
例3 (2006陕西卷)为确保信息安全,信息需 加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由
密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b ,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文
1,2,3,4对应密文5,7 ,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )
A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7
解析：当接收方收到密文14，9，23，28时，
?
a?6
?
a ?2b?14
?
b?4
?
2b?c?9
?
?
则?
，解得
?
，解密得到的明文为C．
?
c?1
?2c?3d?23
?
?
?
d?7
?
4d?28
评析：对于新法则，关键在于找到元素之间的对应关系，我们可以借助图表等方法寻找它
们之间的对应关 系，利用对应关系列方程。
练习：
1、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平 面构成一个“正交线面对”。在一
个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正 交线面对”的个数
是 （ ）
（A）48 （B） 18 （C） 24 （D）36
2、如图，平面中两条直线
l
1
和
l
2相交于点O，对于平面上任意一点M，若
p
、
q
分别是
M到直线
l
1
和
l
2
的距离，则称有序非负实数对（
p，
q
）是点M的“距离坐标”．已知
常数
p
≥0，
q< br>≥0，给出下列命题：
①若
p
＝
q
＝0，则“距离坐标”为（0，0）
的点有且仅有1个；
②若
pq
＝0，且
p
＋
q
≠0，则“距离坐标”
l
1

M（
p
，
q
）
O
l
2

为（
p
，
q
）的点有且仅有2个；
③若< br>pq
≠0，则“距离坐标”为（
p
，
q
）的点有且仅有4个．
上述命题中，正确命题的个数是 （ ）
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．
+
是R上的 一个运算,A是R的非空子集,若对任意
a,b?A
有
a
○
+
b
?A
,则称A对3、设○
运算○
+
封闭,下列数集对加法、减法 、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是（
(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集



）