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高中数学论文“新定义”高考新题型的新宠儿

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-18 01:19
tags:高中数学论文

高中数学刷题顺序-高中数学评课意见和建议

2020年9月18日发(作者:甘乃光)



“新定义”
——
近年高考创新题型的新宠儿


近年来全国各地的高考试卷都相继推出了以能力立意为目标 ,以增大思维容量为特
色,具有相当浓度和明确导向的创新题型,使高考试题充满活力。纵观全国各地高 考试卷
的创新题,不难发现,“新定义”型这种题目正可谓创新题型的新宠儿。
“新定义”主 要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后
根据此新定义去解决问题,有时还 需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定
义的透彻理解。
一、 新概念型 例1(2006福建卷)对于直角坐标平面内的任意两点A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
),定义它们
之间的一种“距离”:‖AB‖= ︱x
1

x
2
︱+︱y
1

y
2
︱.给出下列三个命题:
①若点C在线段AB上,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
②在△ABC中,若∠C=90°,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
③在△ABC中,‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.
其中真命题的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:对于直角坐标平面内的任意两点
A(x1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,定 义它们之间的一种“距离”:
222
|AB|?x
2
?x
1
?y
2
?y
1
.
①若点C在线段AB上,设C点坐标为(x
0
,y
0
),x
0
在x
1
、x
2
之间,y
0
在y
1
、y
2
之间,

A C?CB?|x
0
?x
1
|?|y
0
?y
1
|?|x
2
?x
0
|?|y
2
?y
0
|
=
x
2
?x
1
?y
2
?y
1?|AB|.

③在
?ABC
中,
AC?CB?|x
0
?x
1
|?|y
0
?y
1
|?|x
2< br>?x
0
|?|y
2
?y
0
|

| (x
0
?x
1
)?(x
2
?x
0
)|?| (y
0
?y
1
)?(y
2
?y
0
)|
=
x
2
?x
1
?y
2
?y
1
?|AB|.
∴命题① ③成立,而命题②在
?ABC
中,若
? C?90,

o
AC?CB?AB;
明显不成立,选C.
222< /p>


评析:对于此题中的新概念,对阅读理解能力有一定的要求。但是,透过现象看本质,命< br>题①中的本质是三点共线,点C在线段AB之间,①显然成立;命题③由两边之和大于第三
边,显 然成立。它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握
好三基,以不变应万变 才是我们的制胜法宝。
二、新运算型
例2(2006四川卷)非空集合
G
关于运算
?
满足:(1)对任意
a

b
?
G
,都有
a?b?G

(2)存在
c?G
,使得对一切
a? G
,都有
a?c?c?a?a
,则称
G
关于运算
?
为“融
洽集”。现给出下列集合和运算:

G?
{非负整数},
?
为整数的加法。

G?
{偶数},
?
为整数的乘法。

G?
{平面向量},
?
为平面向量的加法。

G?
{二次三项式},
?
为多项式的加法。

G?
{虚数},
?
为复数的乘法。
其中
G
关于运算
?
为“融洽集”的是 (写出所有“融洽集”的序号)
解析:非空集合
G
关于运算
?
满足 :(1)对任意
a,b?G
,都有
a?b?G

(2)存在e?G
,使得对一切
a?G
,都有
a?e?e?a?a
,则称< br>G
关于运算
?

“融洽集”;现给出下列集合和运算:
①< br>G?
?
非负整数
?
,?为整数的加法
,满足任意
a, b?G
,都有
a?b?G
,且令
e?0


a?0 ?0?a?a
,所以①符合要求;

G?
?
偶数
?
,?为整数的乘法
,若存在
a?e?a?e?a
,则
e?1
,矛盾 ,∴ ②不符
合要求;

G?
?
平面向量
?
,? 为平面向量的加法
,取
e?0
,满足要求,∴ ③符合要求;

G ?
?
二次三项式
?
,?为多项式的加法
,两个二次三项式相加得到的 可能不是二次三
项式,所以④不符合要求;

G?
?
虚数
?
,?为复数的乘法
,两个虚数相乘得到的可能是实数,∴ ⑤不符合要求,


这样
G
关于运算
?
为“融洽集”的有①③。
评析:这种题目中出现了新的运算符号
?
,对学生来说是全新的,其解题的关键是抓住
此运算的特征去解题。
三、新法则型
例3 (2006陕西卷)为确保信息安全,信息需 加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由
密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b ,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文
1,2,3,4对应密文5,7 ,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )
A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7
解析:当接收方收到密文14,9,23,28时,
?
a?6
?
a ?2b?14
?
b?4
?
2b?c?9
?
?
?
,解得
?
,解密得到的明文为C.
?
c?1
?2c?3d?23
?
?
?
d?7
?
4d?28
评析:对于新法则,关键在于找到元素之间的对应关系,我们可以借助图表等方法寻找它
们之间的对应关 系,利用对应关系列方程。
练习:
1、如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平 面构成一个“正交线面对”。在一
个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正 交线面对”的个数
是 ( )
(A)48 (B) 18 (C) 24 (D)36
2、如图,平面中两条直线
l
1

l
2相交于点O,对于平面上任意一点M,若
p

q
分别是
M到直线
l
1

l
2
的距离,则称有序非负实数对(
p
q
)是点M的“距离坐标”.已知
常数
p
≥0,
q< br>≥0,给出下列命题:
①若
p

q
=0,则“距离坐标”为(0,0)
的点有且仅有1个;
②若
pq
=0,且
p

q
≠0,则“距离坐标”
l
1

M(
p

q

O
l
2


为(
p

q
)的点有且仅有2个;
③若< br>pq
≠0,则“距离坐标”为(
p

q
)的点有且仅有4个.
上述命题中,正确命题的个数是 ( )
(A)0; (B)1; (C)2; (D)3.
+
是R上的 一个运算,A是R的非空子集,若对任意
a,b?A

a

+
b
?A
,则称A对3、设○
运算○
+
封闭,下列数集对加法、减法 、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(
(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集



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