高中数学论文：对勾函数研究

对勾函数研究
函数
y?ax?
b
，在
a?0或b? 0时
为简单的单调函数，不予讨论。
x
在
a?0且b?0时
有如下几种情况：
(1)
a?0,b?0

(2)
a?0,b?0

(3)
a?0,b?0

(4)
a?0,b?0

b
b
，则
y?y
1
?y
2
?ax?
，其定 义域为
?
x|x?R,且x?0
?

x
x
b
(1)
a?0,b?0
时，
y
1
?ax
，
y2
?
在
(??,0),(0,??)
上分别单调递增。
xb
故
y?y
1
?y
2
?ax?
在
(? ?,0),(0,??)
为单调递增函数。
x
b
(2)
a?0,b ?0
时，
y
1
?ax
，
y
2
?
在
(??,0),(0,??)
上分别单调递减。
x
b
故
y ?y
1
?y
2
?ax?
在
(??,0),(0,??)为单调递减函数
x
设
y
1
?ax
，
y
2
?
(3)
a?0,b?0

1
?
当
x ?0
时，
y
1
?ax?0
，
y
2
?
b
?0

x
y?y
1
?y
2
?ax?< br>bb
?2ax??2ab
。
xx
当且仅当
ax?
b
bb
，即
x?
（因为
x?0
，故舍掉
x??
）取等号。
x
aa
x?
bbb
将
(0,??)
分为两部分：
(0,)
，
[,??)

aaa
b
)
，
a
bbaxx?b
)?(ax2
?)?(x
1
?x
2
)
12

x< br>1
x
2
x
1
x
2
(a)当
x
1
?x
2
?(0,
则
f(x
1
)?f(x
2
)?(ax
1
?
因为
x
1
?x
2?(0,
b
)
，所以
x
1
?x
2
?0 ,x
1
x
2
?0

a
2
对于
ax
1
x
2
?b?ax
2
x
2
?b?ax2
?b
,

因为
x
2
?(0,
bb
b
22
?(0,)
，故
ax
2
?b?a??b ?0

)
，则
x
2
aa
a
所以对于
f(x
1
)?f(x
2
)?(x
1
?x
2
)
ax
1
x
2
?b
?0

x
1
x
2
即
f(x
1
)?f(x
2
)
，
x?(0,
b
)
时，
f(x)
单调递减。
a< br>(b)当
x
1
?x
2
?[
b
,??)

a
bbaxx?b

)?(ax
2
?)?(x
1
?x
2
)
12
x
1
x
2
x1
x
2
f(x
1
)?f(x
2
)?(ax1
?
因为
x
1
?x
2
?[
b
,??)
，所以
x
1
?x
2
?0,x
1
x
2
?0

a
2
对于
ax
1
x2
?b?ax
1
x
1
?b?ax
1
?b
,
因为
x
1
?[
bb
b
,??)
，则
x
1
2
?(,??)
，故
ax
1
2
?b?a??b?0

aa
a
所以对于
f(x
1
)?f(x
2
)?(x
1
?x
2
)
ax
1
x
2
?b
?0

x
1
x
2
即
f(x
1
)?f(x
2
)
，
x?[
b
,??)
时，
f(x)
单调递增。
a
b
?0

x
2
?
当
x?0
时
y
1
?a x?0
，
y
2
?
y?y
1
?y
2
?ax?
b?bb
??(?ax?)??2ax???2ab
，
xxx当且仅当
ax?
b
bb
，即
x??
（因为
x? 0
，故舍掉
x?
）取等号。
x
aa
x??
bbb
将
(??,0)
分为两部分：
(?,0)
，
(??,]
aaa
b
,0)
时
a
bbaxx?b
)? (ax
2
?)?(x
1
?x
2
)
12
< br>x
1
x
2
x
1
x
2
(a)当
x
1
?x
2
?(?
则
f(x
1
)?f( x
2
)?(ax
1
?

因为
x
1?x
2
?(?
b
,0)
，所以
x
1
? x
2
?0,
0?x
1
x
2
?x
1
x
1
?x
1
2

a
2
对于
ax< br>1
x
2
?b?ax
1
x
1
?b?ax
1
?b
,
因为
x
1
?(?
bb
b,0)
，则
x
1
2
?(0,)
，故
ax
1
2
?b?a??b?0

aa
a
所以对于
f( x
1
)?f(x
2
)?(x
1
?x
2
)< br>ax
1
x
2
?b
?0

x
1
x
2
即
f(x
1
)?f(x
2
)
，x?(?
b
,0)
时，
f(x)
单调递减。
a
(b)当
x
1
?x
2
?(??,?
b
]

a
bbaxx?b

)?(ax
2
?)?(x
1< br>?x
2
)
12
x
1
x
2
x
1
x
2
f(x
1
)?f(x
2
)?(ax
1
?
因为
x
1
?x
2
?(??,?
b（注意为什么这样变换）
]
，所以
x
1
?x
2
?0,
x
1
x
2
?x
2
x
2
? x
2
2
a
2
对于
ax
1
x
2?b?ax
2
x
2
?b?ax
2
?b
, 因为
x
2
?(??,?
即
ax
1
x
2
?b?0

bb
b
22
?[,??)
，故
ax
2
?b?a??b?0

]
，则
x
2
aa
a
所以对于
f(x
1
)?f(x
2
)?(x< br>1
?x
2
)
ax
1
x
2
?b
?0

x
1
x
2
即
f(x
1
) ?f(x
2
)
，
x?(??,?
由于
y?ax?
b
]
时，
f(x)
单调递增。
a
b
在定义域内为奇 函数，故在
(??,0),(0,??)
上的对应区间里单调性相同。
x
故在
x?0
的时候，可根据奇函数的这一性质进行证明。
(4)
a?0,b?0

1
?
当
x?0
时 ，
y
1
?ax?0
，
y
2
?
b
? 0

x
y?y
1
?y
2
?ax?
b?bb
??(?ax?)??2ax???2ab
。
xxx

当且仅 当
ax?
b
bb
，即
x?
（因为
x?0
， 故舍掉
x??
）取等号。
x
aa
x?
bbb
将< br>(0,??)
分为两部分：
(0,)
，
[,??)

aaa
b
)
，
a
bbaxx?b

)? (ax
2
?)?(x
1
?x
2
)
12
x< br>1
x
2
x
1
x
2
(a)当
x
1
?x
2
?(0,
则
f(x
1
)?f(x
2
)?(ax
1
?
因为
x
1
?x
2?(0,
b
)
，所以
x
1
?x
2
?0 ,
0?x
1
?x
2
?x
2
?x
2

a
因为：
a?0
（在
a?0
时则不用考虑
a
的取值对
ax
1
x
2
的影响）
2
所以：
ax
1
x
2
?b?ax
2
x
2
?b?a x
2
?b
,
b
b
b
2
2
ax?b?a??b?0
因为
x
2
?(0,)
，则
x
2
?(0,)
，故
2
a
a
a
即
ax
1
x
2
?b? 0
，（不要忘了
a?0
）
所以对于
f(x
1
)? f(x
2
)?(x
1
?x
2
)
ax
1x
2
?b
?0

x
1
x
2
即
f(x
1
)?f(x
2
)
，
x?(0,
b
)
时，
f(x)
单调递增。
a
(b)当
x
1
?x
2
?[
b
,??)

a
bbaxx?b

)?(ax
2
?)?(x
1< br>?x
2
)
12
x
1
x
2
x
1
x
2
f(x
1
)?f(x
2
)?(ax
1
?
因为
x
1
?x
2
?[
因为：
a?0

b
,??)
，所以
x
1
?x
2< br>?0,x
1
?x
2
?x
1
?x
1
? 0

a
所以：
ax
1
x
2
?b?ax1
x
1
?b?ax
1
?b
,
因为
x
1
?[
2
b
b
b
2
,??)
，则
x
1
?[,??)
，故
ax
1
2
?b?a ??b?0

a
a
a
即
ax
1
x
2
?b?0

所以对于
f(x
1
)?f(x
2
)?(x
1
?x
2
)
ax
1
x
2
?b
?0

x
1
x
2
即
f(x
1
)?f(x
2
)
，
x?(
b
, ??)
时，
f(x)
单调递减。
a
b
?0

x
2
?
当
x?0
时
y
1
?a x?0
，
y
2
?
y?y
1
?y
2
?ax?
bb
??2ax??2ab
，
xx
当且仅当
ax ?
b
bb
，即
x??
（因为
x?0
，故舍掉
x?
）取等号。
x
aa
x??
bbb
将
(?? ,0)
分为两部分：
(?,0)
，
(??,]

aaa
b
,0)
时
a
bbaxx?b

)?(ax
2
?)?(x
1
?x
2
)
12
x
1
x
2
x
1
x
2
(a)当
x< br>1
?x
2
?(?
则
f(x
1
)?f(x2
)?(ax
1
?
因为
x
1
?x
2< br>?(?
b
2

,0)
，所以
x
1
? x
2
?0,
x
2
?x?x?x?x?x?x?x
22121 1
21
a
2222
因为
a?0
，所以
ax
2
?ax
1
?x
2
?ax
1
?ax
2?b?ax
1
?x
2
?b?ax
1
?b
因为
x
2
?(?
bb
b
22
?(0,)
，故
ax
2
?b?a??b?0

,0)
，则
x
2
aa
a
即
ax
1
?x
2
?b? 0

所以对于
f(x
1
)?f(x
2
)?(x1
?x
2
)
ax
1
x
2
?b
?0

x
1
x
2
即
f(x
1
)? f(x
2
)
，
x?(?
b
,0)
时，
f( x)
单调递减。
a
(b)当
x
1
?x
2
?(??,?
b
]

a
bbaxx?b
)?(ax
2
?)?(x
1
?x
2
)
12

x
1
x
2
x
1
x
2
f(x
1
)? f(x
2
)?(ax
1
?

因为
x
1
?x
2
?(??,?
b
2
]
，所以
x1
?x
2
?0,
x
2
?x
2
?x2
?x
1
?x
2
?x
1
?x
1
?x
1
2

a
22
因为
a?0
，所以< br>ax
2
?ax
1
?x
2
?ax
1
2
?ax
2
?b?ax?x?b?ax?b

12
21
又因为
x
2
?(??,?
即
ax
1
x
2
?b?0

bb
b
22
?[,??)
，故
ax
2
?b?a??b?0

]
，则
x
2
aa
a
所以对于
f(x
1
)?f(x
2
)?(x< br>1
?x
2
)
ax
1
x
2
?b
?0

x
1
x
2
即
f(x
1
) ?f(x
2
)
，
x?(??,?
由于
y?ax?
b
)
时，
f(x)
单调递减。
a
b
在定义域内为奇 函数，故在
(??,0),(0,??)
上的对应区间里单调性相同。
x
故在
x?0
的时候，可根据奇函数的这一性质进行证明。