高中数学教学论文《高中数学二项式定理》(课例)

缺“1”就错
在不等式求最小值中，常数“1”的魅力非常的大，通过“1”的中介，
可以帮助避免误区，获得成功。
一 “1”在整体中的应用
例：已知
m?0
，
n?0
且
m?n?1
，求
解 常见误区：
?m?0,n?0
，
m?n?1

?m?n?2mn
19
?
的最小值。
mn

(m?n)
2
1

?mn??
44
199
??2?236?12

mnmn

?

?
误区分析：
取到等号时
19
?
的最小值是12 mn
1
19
当
m?n
时，取得等号；又因为
??24
时，
?mn?
mn
9
mn
19
?
既
n?9m
；出现
m?n
与
n?9m
的矛盾
mn
正确突击：
?m?0,n?0,m?n?1


?
1919
??1?(?)

mnmn
?(m?n)(19
?)
mn
9mn
?1???9
nm

9mn
?10??
nm
9mn
?10?2??16
nm 当
9mn
?
时，既
n
2
?9m
2

n?3m
时取到等号，
nm

?m?n?1
?m?3m?1
19

?m?
1
,n?
3
时，
?
的最小值是16
mn
44
二 把分子换成“1”
例：已知
m?0,n?0< br>且
m?n?1
，求
(1?
11
)(1?)
的最小值。
mn
解 常见误区：
?m?0,n?0,m?n?1

?m?n?2mn

?mn?
1
4

?(1?
11111
m
) (1?
n
)?2
m
?
m
?2
mn
?4 误区分析：
?mn?
1
时，当
m?n
既
m? n?
1
42
取到等号，又因为
(1?
1
m
)(1?
1
n
)?4
时，当
1
m
?1,
1
n
?1
，既
m?1,n?1
时取到等号，与
m?0,n?0,m?n ?1
矛盾。
正确突击：
?m?0,n?0,m?n?1

?( 1?
1
m
)(1?
1
n
)
?(1?
m?n m?n
m
)(1?
n
)
?(2?
n
m
)( 2?
m
n
)
?4?
2m2n
n
?
m
?5?
2m2n
n
?
m

?5?2
2m
n
?
2n
m
?5?4?9

当
2m
n
?
2n
m
，既
m?n?< br>1
2
时，
(1?
1
m
)(1?
1
n
)
的最小值是9
三 在待求式中应用“1”
例：若
0?x ?2,mn?0
，求
m
2
n
2
2?x
?
x
的最小值。

解 常见误区：
?0?x?2,mn?0
m
2
n
2
m
2
n
2
???2?
2? xxx(2?x)
2mn
x(2?x)
?
2mn
x(2?x)
?
2mn
?2mn

x?2?x
2
m
2
n
2
m
2
n
2
m
2
n
2
?
误区分析：要使取到等号，所以既
??2
2?xx
2?xxx(2 ?x)
2n
2
x?2?x
x?
2
时；但由时取到等号，所以
x?2?x
既
x?1
x(2?x)?
2
m?n
2< br>2n
2
时取到等号；所以
x?
22
与
x?1
不能同时取到等号。
m?n
正确突击：
?0?x?2, mn?0
m
2
n
2
m
2
n
2
x? 2?x
???(?)()
2?xx2?xx2

2
1m
2< br>xn(2?x)
?[?m
2
?n
2
?]
22?xx< br>
?(m
2
?n
2
?2mn)?(m?n)
2
m
2
xn
2
(2?x)4m
2
m
2
n
2
n
2
2
?
?
当，既
x?
22< br>，
x?2
22
时的最小值
2?xx
2?xx
m ?n
m?n
1
2
1
2
是
(m?n)
2
实战沙场：
1 已知
m?0,n?0
且
m?n
的最小值是9
）
14
求
m?n
的最小值。（
参考答案：
m?3,n?6
时；
??1
，
mn
1
2
2 已知
x?0,y?0
且
4x?9y?xy
，求
x?y
的最小值。（
参考答案：
x?10,y?15
时；
x?y
的最小值是25
）
1
2
3 已知
m,n(m?0,n?0)
的等差中项为且
x ?m?n,y?
最小值。（
参考答案：5
）

11
?
，求
x?y
的
mn

4 设< br>m?0,n?0
，若
3
是
3
m
与
3
n
的等比中项，求
考答案：
31
的最小值。（
参
?
m3n
16
）

3
a
2
b
2
5 若
0?x?1,a?0,b?0
，求
?
的最小值。（
参考答案：(a?b)
2
）

x1?x