高中数学论文：二项式定理的七个方面的应用全国通用

二项式定理的七方面应用
一、利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数
例1
(x?x)
12
的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（ ）．
A．4项 B．3项
C．2项 D．1项
策略：本题主要考查二项展开式的通项公式的有关知识．
解：
(x?x)
的 展开式的通项公式为
T
r?1
?C(x)
3
3
12
r
12
12?r
(x)?Cx
3
rr
12
r12? r
?
33
Cx
r
12
6?
r
6
，
当
r?0，612，
时，含x的项的幂指数为正整数．故选择答案B．
点评 ：利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数，实际上就是对二项展开式的
通项公式的考查，此类 问题是高考考查的重点．
二、利用二项式定理求展开式的系数和
例2 若
(1?2 x)
2004
?a
0
?a
1
x?a
2
x< br>2
?
则
(a
0
?a
1
)?(a
0< br>?a
2
)?(a
0
?a
3
)?
?a
2004
x
2004
(x?R)
，
?(a
0
?a
2004
)?
_________．（用数字作答）
策略：本题考查赋值法在求解二项展开式的系数和中的应用．
解：令
f(x)?(1 ?2x)
2004
，则
f(0)?a
0
?1
，
f( 1)?a
0
?a
1
?
即
(a
0
?a
1
)?(a
0
?a
2
)?(a
0
?a
3
)??(a
0
?a
2004
)

?2003a0
?(a
0
?a
1
?a
2
?a
3??a
2004
)?2004
．
点评：赋值法是解决二项展开式的系数 和的有效方法，通过对二项展开式中的字母或代
数式赋予允许值，以达到解题目的．
三、利用二项式定理求幂指数n
1
?
11
?
例3 若< br>?
2x?
?
展开式中含
2
项的系数与含
4
项 的系数之比为
?5
，则n等于（ ）
x
?
xx
?n
?a
2004
?1
，
A．4 B．6
C．8 D．10
策略：要求n的值，只需根据题目条件建立一个关于n的方程即可．
解：
T
k?1
?
1
?
k
?C
?
?
?
(2 x)
n?k
?C
n
(?1)
k
2
n?k
x
n?2k
，
?
x
?
k
n
k
令< br>n?2k??2
，则
n?2k?2
．
rr?nr?2nr
(?1)2x

T
r?1
?C
n
，
令
n?2r?4
，则
n?2r?4
．所以
r?k?1
． < br>kk
C
n
(?1)
k
2
n?k
C
n
??5
，
r
(?1)
k?r
2
r?k
?? 5
． 由题意，得
rrn?r
C
n
(?1)2C
n

∵r?k?1
，
2(k?1)

∴
化简得
?5
，解得
k?4
．
k?2

∴n?6
．
故选择答案Ｂ． 点评：利用二项式定理求幂指数n，主要是体现了方程思想在二项展开式中的应用，我
们只要根据题 目条件建立关于n的方程，即可获解．
四、利用二项式定理证明整除问题
例４ 求证：
3
2n?2
?8n?9(n?N
?
)
能被64整除．
策略：把
3
2n?2
拆成与8的倍数有关的和式．
证明：
3
2n?2
?8n?9?9
n?1
?8n?9?(1?8)
n?1< br>?8n?9

12233
?1?C
n?1
8?C
n? 1
8?C
n?1
8?
n?1n?1
?C
n
?8n? 9

?1
8
2233
?C
n?1
8?C
n ?1
8?
n?1n?1
?C
n
，
?1
8
23n?1
∵C
n
，C
n
，，C
n?1?1?1
都 是自然数，
∴上式各项均为64的倍数，
即
3
2n?2
?8n? 9(n?N
?
)
能被64整除．
点评：利用二项式定理证明整除（或求余数）问题，通常把底数拆成与除数的倍数有关
的和式．
五、利用二项式定理求近似值
例 求
0.998
6
的近似值，使误差小于0．001．
策略：因为
0 .998
6
?(1?0.002)
6
，所以可以用二项式定理来计算． 解：
0.998
6
?(1?0.002)
6
?1?6?(?0. 002)?15?(?0.002)
2
?
∵
T
3
?15?( ?0.002)
2
?0.00006?0.001
．
即第3项以后的项的绝对值都小于0.001，
∴从第3项起，以后的项可以忽略不计， < br>即
0.998
6
?(1?0.002)
6
?1?6?(?0. 002)?0.988
．
12233
x?C
n
x?C
n< br>x?
点评：由
(1?x)
n
?1?C
n
nn
?C
n
x
知，当x的绝对值与1相比很小且n
?(?0.002)
6
，
足够大时，
x
2
，
x
3
，…，
x
n
等项的绝对值就会更小，因此在精确度允许的范围之内可以忽
略不计．因此可以 使用近似计算公式
(1?x)
n
?1?nx
．在使用这个公式时，要注意按问 题对
精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍．
六、利用二项式定理证明组合数问题
021222
例6 求证：
(C
n
)?(C
n
) ?(C
n
)?
n2
?(C
n
)?
(2n!)
．
n!n!
策略：观察等式
(2n)!
nn2n
n
?C
2n
的特点，想到构造等式
(1?x)·(1?x)?(1?x)
，利用同一
n!n!

项的系数相等进行证明．
证明：已知
0122< br>(1?x)
2n
?(1?x)
n
·(1?x)
n
?( C
n
?C
n
x?C
n
x?
nn0122
? C
n
x)(C
n
?C
n
x?C
n
x?nn
?C
n
x)
，
由于
x
n
的系数 为第一个因式中
x
r
的系数与第二个因式中
x
n?r
的系数 的乘积的和，
021222
)?(C
n
)?(C
n
)?< br>即
(C
n
n2
?(C
n
)
（这是因为
x
r
的系数
C
n
r
与
x
n?r
的系数
C
n
n?r
相等）
n
而在
(1?x)2n
的展开式中
x
n
的系数为
C
2n
，因此原 等式恒成立．
点评：对于本题的解决，基于对等式的认真观察分析基础之上，充分利用展开式系数的< br>特点，进行合理构造．
七、利用二项式定理证明不等式
?
1
?
例7 求证：
2?
?
1?
?
?3(n?N
?
，n
≥
2)
．
?
n
?
?
1
?
1
1
2
1
?C
n
?
策略：因为
?
1?
?
?1?C
n
2
nn n
??
?
1
?
1
1
2
1
?Cn
?
证明：
?
1?
?
?1?C
n
nn
2
?
n
?
n
n
?C
n
n
n
?C
n
n
1
，所以我们可以借助放缩法来证明．
n
n
1
，
n
n
因为各项均是正数，且
n?N
?
，
?
1
?
所以去掉第二项以后的各项得
?
1?
?
?1?1?2
；
?
n
?
n

?
1
?
1
1
2
1
1??1?C?C?
nn
??
nn
2
?
n
?
n
n
?C
n
1
n
n1n?11(n?1)(n?2)
?1?1?·?·?
2!n3!n
2
? 1?1?
11
??
2!3!
?
1

n!
1 ?
1(n?1)(n?2)
?·
n!n
n?1
?2?1

1
111
2
n
?3?
1
?3
．
?1?1??
2
??
n?1
?1?
1
2222
n? 1
1?
2
?
1
?
综上可得
2?
?
1?
?
?3(n?N
?
，n
≥
2)
．
?
n
?
n
点评：利用二项式定理证明不等式的技巧是恰当使用放缩法．比较2n 与n的多项式的
大小关系更是其典型的应用．