毕业论文——高中数学常见最值问题及解题策略

目 录
1 引言 ............................ ................................. 0
2 文献综述 ... .................................................. ...... 1
2.1国内研究现状 ........................... ........................... 1
2.2国内研究现状评价 .................................................. 1
2.3提出问题 .................................... ...................... 2
3 高中数学常见最值问题及解题策略 ..................................... 2
3.1无理函数的最值问题 ................................................ 2
3.2三角函数的最值问题 ................................................ 4
3.3 数列的最值问题 .................................. .................. 6
3.4 平面向量的最值问题 ............................................... 10
3.5 圆锥曲线的最值问题 ............................................... 11
3.6具有几何意义的最值问题 ........................................... 13
3.7几个特殊类型函数的最值问题 ....................................... 16
3.8用特殊方法求一类函数的最值问题 ................................... 23
4. 结论 . .................................................. ........... 23
4.1主要发现 ....................... .................................. 24
4.2启示 .. .................................................. ......... 24
4.3局限性 .......................... ................................. 24
4.4努力的方向 .................................................. ..... 24
参考文献 ................................ .......................... 25

1 引言
最值问题是人们在生产和日常生活中最为普 遍的一种数学问题，它的应用性和实用
性非常广泛，无论是在生产实践中还是在科学研究领域我们都会遇 到一些关于“最好”、
“最省”、“最低”、“最优”、“最大”、“最小”等问题，这些问题一般都是 转化为最值问
题进行求解．此类问题的求解，不仅充分训练了学生把实际问题抽象成数学问题的思维方式，还培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时也使学生逐步形成了应用数学的
意识．在近几 年的高考题中，最值问题是考试命题的一个重点，它占了高考分数的
5%~23%．从题型上讲，主要以 选择题、填空题和解答题三种形式出现．从难易程度上
讲，主要有基础题、中档题和高档题三种题型．它 在考查基础知识的同时，也逐步加强
了对能力的考查，高考将注重检查学生对所学课程内容达到融会贯通 的程度．因此，求
解最值问题将会是高考的一个难点，学生不但要较好地掌握各个分支的知识，还要善于
捕捉题目信息，有较强的思维能力，能够运用各种数学技能，灵活选择适当的解题方法，
方能达 到事半功倍之效．文章从高中数学试题中经常出现的无理函数、三角函数、数列、
向量、圆锥曲线和解析 式具有几何意义的最值问题以及三类特殊最值问题几个方面对高
中数学最值问题进行相关探讨，给出求高 考数学最值问题的解题策略，为学生的备考和
教师的教学提供相应的指导．
2 文献综述
2.1国内研究现状
对于中学数学中最值问题的求解，国内已经有了一定的探讨，文[1]－ [5]中总结归
纳了最值问题的常用求解方法；文[6]通过举例讨论了一类无理函数最值的求解策略；
文[7]讨论了如何巧求一类二元函数的最值；文献[8]针对解析式具有几何意义的函数的
最 值巧妙求法方法进行了归纳总结；文[9]给出了三类最小值问题的统一解法及一般结
果；文[10]对 一类函数最小值问题的处理方法进行了探讨；文[11]对一类函数最小值问
题的处理方法进行了相关的 补充；文[12]介绍了几种关于应用均值定理求最值的方法；
文[13]给出了2005～2009年 中最新五年高考真题及其详解；文[14]～[15]介绍了函数
最值的概念及其求解方法；文[16] 给出了用松弛变量法巧妙地求解一类二元函数的最值
问题的方法．
2.2国内研究现状评价
1

国内虽然对最值问题的求解方法已有了一定的研究，尤其是最值问题的常 用求解方
法归纳比较全面系统．但是在近几年的高考题中，主要考查学生学以致用的能力，只利
用常用求解方法一般很难解决高考题中的最值问题．高考很多最值问题都是要综合应用
相关知识的概念、 性质、定理才可解决．现查阅到的参考文献中大多只讨论了最值问题
的常用求解方法及归纳了几个特殊最 值问题的统一解法，并没有具体探讨高考数学中基
本最值问题的求解策略．
2.3提出问题
由于高考过程中，试题数量多、时间少、难度大，要在高考中获胜，必须要讲解题
方法“精”、 “巧”、“练”．而大多资料并没有从高考的角度研究高考数学中最值问题的
求解，最值问题的求解方法 还不够完善，高考中学生对最值问题的求解还存在一定的困
难．因此，本文将通过查阅相关资料，站在高 考的角度，对高中数学常见最值问题及解
题策略进行总结、归纳、整理，进一步完善最值问题的求解策略 ，为学生的备考和教师
的教学提供相应的指导．
3 高中数学常见最值问题及解题策略 最值问题是中学数学的一个重要内容，也是各种考试命题的一个热点．尤其在高考
命题中，它是必不 可缺少的热门考点，在近几年的高考试卷中，函数的最值问题占了相
当大的比例．其主要以选择题、填空 题和解答题的类型出现，其目的在于考查学生对基
础知识的把握和灵活运用相关知识的能力．解决这类问 题涉及的知识面较宽，要求学生
不仅要能利用常用方法求解简单函数的最值问题，还要学生能根据知识的 内在联系以及
函数本身的特征适当选择最优解题方案，达到事半功倍之效．
3.1无理函数的最值问题
求形如
y?a
1
x
2
?b
1
x?c
1
?a
2
x
2
?b
2
x?c
2
的最值
此类题型求解最值的方法很多，一般有平面几何法、分 析法、解析几何法、复数法
和求导法．但在求解过程中这些方法的使用非常灵活，存在一定难度，要求对 常用最值
求解工具较为熟悉，能根据解析式的特征联系相关知识，恰当、准确地选用最优解题方
案进行求解．而如何实现使用最优解题方案进行求解，关键是要认真捕捉题目信息，仔
细观察解析式，从 而根据知识的内在联系，利用转化思想便可解决问题．
2

例1 求
f(x)?25?x
2
?x
2
?7x?2
的最小值.
解 令
y?25?x
2
?x
2
?7x
,显然x?[?5,0]
有意义,有
y?(25?x
2
?x
2
?7x)
2
?25?7x?2(25?x
2
)(x
2
?7 x)
,
则
?7x?0,2(25?x
2
)(x
2
?7x)?0
,（当
x?0
时等号成立）
当
x?0
时
y
min
?5
，
所以
f(x)
min
?7
．
评析 该题根据解析式的特征合理变形后， 采用分析法．利用不等式的性质进行解
答．本题主要考查学生的应变能力、分析能力和观察能力（各个时 候取等号的条件的一
致性，否则没有最值）．
例2 求
f(x)?x
2
?4x?13?x
2
?10x?26?3

(x?R)
的最小值．
解 令
y?(x?2)
2
?3< br>2
?(5?x)
2
?1
2
，设
z
1
?(x?2)?3i,z
2
?(5?x)?i
，则
y?z
1
?z
2
，且
z
1
?z
2
?3?4i?5
，
有
z
1
?z
2
?z
1
?z
2
?5
．
当且仅当
所以
17
314
??
时函数取得最小值．当
x?
时
y
min
?5
，
4
x?25?x3
f(x)
min
?8
．
评析 采用复数法，利用复数模的性质
z
1
?z
2
?z
1
?z
2
?z
1
?z
2
，把代数式转化为复数
模的关 系进行求解．
求二元无理式的最值
二元无理式的最值问题也是最值求解的一个难点，虽然它 的解题方法不少，但是解
答过程非常复杂繁琐，计算容易出错．而这种题可以运用一个定理便可轻松简捷 地求解．
3

x
1
x
2
(x
1
?x
2
)
2
??
定理1 设
x
1,x
2
?R
，
y,y
2
?R
，则（当且仅当x
1
:y
1
?x
2
:y
2
时
y
1
y
2
y
1
?y
2
?
22等号成立）．
例3 若
x?1?y?2?5
，求
f(x)?x?y
+
解 令
z?x?y?
5
的最小值.
2
x?1y?2
??1
,根据定理得
11
x?1y?2
z?x?y???1
,
11
(

x

?

1

?

y

?

2

)

2

?

?

1

1

?

1

5

2

?

?

1

2

27

?

,

2


当且仅当
当
x?
x?1
?
1
y?2，
x?1?y?2?5
时取得最小值.
1
2133
,y?
时
44
z
min
?
27
,
2
所以
f(x)
min
?16
．
评析 该无理函数求解最值的方法很多， 但是相比之下，利用此定理使用松弛变量
法
[16]
更为巧妙，但需注意的是题目中的 已知条件必须全部满足定理的要求，否则求解将
会有误，在使用这种方法时，必须认真捕捉题目信息．
3.2三角函数的最值问题
在高考试卷中，求解三角函数的最值问题的题目出现的非常频繁， 几乎每年都会出
现，占高考分数的
3%~8%
．它主要考查学生对三角函数基础知识的 综合运用．其难度
大，很多学生对此类问题“一筹莫展”．其实，三角函数的最值问题看似非常复杂，一
般使用常用最值求解方法很难求解，但是要解决它并不困难，只要充分理解其概念、性
质，牢记 公式，能灵活运用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式进行适当的变形化简，
然后根据它的性质、定理 逐步击破，便可解决问题．因此，在解决三角函数最值问题时，
4

关键在于学生对其性质、定理的深刻理解和各个三角公式的灵活运用．
例4（2008年全国卷Ⅱ） 若动直线
x?a
与函数
f(x)?sinx< br>和
g(x)?cosx
的图像分
别交于
M
、
N
两点，则
MN
的最大值为（
B
）．
解
f(x)?g (x)?sinx?cosx?2sin(x?)
,根据三角函数的性质可知，当
4
3
?
x?k
?
?,k?z
时，
MN
max
?f(x)?g(x)
max
?2
．故 选
B
．
4
评析 本题主要考查学生对三角函数的性质的理解和应用．
例5（2008年全国卷Ⅰ） 设
?ABC
的内角
A
、
B< br>、
C
所对的边长为
a
、
b
、
c
，且
3
（Ⅰ）求
tanAcotB
的值．（Ⅱ）求
tan(A?B)的最小值．
acosB?bcosA?c
．
5
?
解 （Ⅰ）由正弦定理知
csinAcsinB
，
b?
,
sinCs inC
sinAsinB
acosB?bcosA?(?cosB??cosA)?c

sinCsinC
a?
sinAcosB?cosBsinA
?c
s in(A?B)
sinAcosB?cosAsinB
??c
sinAcosB?co sAsinB
(tanAcotB?1)?c
,
tanAcosB?1


?
由题意得
(tanAcotB?1)?c3
?c
,
tanAcotB?15
解得
tanAcotB?4
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
tanA?4tanB
，
则
A
、
B
都是锐角，于是
tanB?0
．
所以
tan(A?B)?
tanA?tanB3tanB3
，
??
2
1?tanAtanB1?4tanB4
5

且当
tanB?
3
1
时，上式取等号，所以
tan(A?B)
的最大值为．
4
2
评析 本题主要考查学生对三 角函数性质的理解和定理的应用能力．学生灵活使用
正弦定理将原解析式变形、化简，从而由题设产生新 的已知条件，为求解目标函数的最
值打下坚实的基础．
例6（2008年四川卷） 求函数< br>y?7?4sinxcosx?4cos
2
x?4cos
4
x
的最大值与最小
值．
解 由
y?7?4sinxcosx?4cos
2< br>x?4cos
4
x
得
y?(1?sin2x)
2
?6
．

由于函数
z?(u?1)
2
?6
在
[ ?1,1]
中的最值为
z
max
?10
，
z
min
?6
．
故当
sin2x??1
时
y
max
?10
，
当
sin2x?1
时
y
min
?6
．


评析 三角函数的公式非常多，学生解决问题时必须正确选用适当的公式对解析式
进行变形，才能使问题简单化，否则将越化越复杂，无法解决．因此，学生不但要熟记
公式，还要有灵 活运用公式的能力．
3.3数列的最值问题
数列的最值问题也是高考的一种题型之一，出现 也较为普遍，它曾在2009年四川
卷、安徽卷和2008年的江西卷、宁夏海南卷中出现．该类问题主 要以选择题、解答题
两种题型出现，选择题的难度不大，而对解答题的解题能力的要求却很高，不但要求 学
生对其基础知识非常熟悉，还要求学生有较强的计算能力、思维能力、分析能力和解决
问题的 能力．针对这类问题，学生必须熟记并能准确灵活地运用等差数列和等比数列的
各个公式．
例7（2009年安徽卷） 已知
?
a
n
?
为等差数列，< br>a
1
?a
3
?a
5
?105
，
a< br>2
?a
4
?a
6
?99
．
以
sn
表示
?
a
n
?
的前
n
项和，则使得
s
n
达到最大值的
n
是（
B
）．

A
．（21）
B
．（20）
C
．（19）
D
．（18）
6

解 由于数列
?
a
n
?
为等差数列，则
a
n
?a
1
?(n?1)d
，
有
a
1
?2d?35
，
a
1
?3d?33
．

则
a
1
?39
，

d??2
．

根据数列的前
n
项和公式
s
n
?39n?
n(n?1)
?(?2)??n
2
?40n
,
2
显然当
n?20
时
s
n
取得最大值．
评析 本题主要考查学生对公式的应用，学生只要有较强的观察能力、思维能力，
结合使用等差 数列的通项公式和前
n
项和公式就可以求解．
例8(2009年四川卷) 设数列< br>?
a
n
?
的前
n
项和为
s
n
，对任意的正整数
n
都有
a
n
?5s
n
?1成立，记
b
n
?
4?a
n
(n?N
?
)
．（Ⅰ）求数列
?
b
n
?
的通项公式．（Ⅱ）记
1?a
n
c
n
?b
2n
?b
2n?1
(n ?N
?
)
，设数列
?
c
n
?
的前
n
项和为
T
n
．求证：对任意的正整数
n
都有
T< br>n
?
3
．
2
（Ⅲ）设数列
?
b
n
?
的前
n
项和为
R
n
，已知正实数
?< br>满足：对任意的正整数
n
，
R
n
?
?
n恒
成立，求
?
的最小值．
解 （Ⅰ）当
n?1
时，
a
n
?5a
1
?1
，
则
1
a
1
??
．
4
又
a
n< br>?5s
n
?1
，
a
n?1
?5s
n?1?1
，
有
a
n?1
?a
n
?5a
n?1
，
7

即
1
a
n?1
??a
n
．
4
所以，数列
?
a
n
?
成等比数列，其首相
1
1
a
1
??
，
q??
．
4
4
则
所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
则
又
有
当
n?1
时

a?
1
n
n
?(
4
)
，
4?( ?
1
b
n
?
4
)
n
?
5
1?(?
1
4?
?4)?1
．
n
(
n
4
)
b
n
?4?
5
(?4)
n
?1
，
c
55
n
?b
2n
?b
2n?1
?< br>4
2n
?1
?
4
2n?1
?1

?
25?1
n
6
(1
n
6?1)
n
(1?6
?
25?1
n
6
(1
n
6
2
)? ?3
n
1?6
?
25?1
n
6
(1
n6
2
)

?
25
16
n
,
b
1
?3
，
b
2
?
13
3
．
c
1
?
4
3
．
8

4)

4

T
1
?
3
，
2
当
n?2
时
4111
?25?(
2
?
3
???
n
)

3161616
11
n? 1
[1?()]
2
4
16
??25?
16
1
3
1?
16
1
2
4
??25?
16
1< br>3
1?
16
693
??,

482

（Ⅲ）由（Ⅰ）知
T
n
?
b
n
??4?
5
．
(?4)
n
?1
一方面 ，已知
R
n
?
?
n
恒成立，取
n
为大于1的奇数时，设
n?2k?1(k?N
?
)
，则
R
n
?b
1
?b
2
? ??b
2k?1

1111
???
?
?)
1232 k?1
4?14?14?14?1
11111
?4n?5[?
1
?(
2
?
3
)?
?
?(
2k
?
2k? 1
)]
4?14?14?14?14?1

?4n?1,

?4n?5(?
有
?
n
?R
n
?4n?1
即
(
?
?4)n??1
对一切大于1的奇数
n
恒成立．所以
?
?4
．否则
(
?
?4) n??1
只对满足
n?
1
的正奇数
n
成立，矛盾．
4?
?
另一方面，当
?
?4
时对一切的正整数
n
都有
R
n
?4n
恒成立，事实上，对任意的正
整数
k
都有
b
2k?1
?b
2k
?8?
5

2k?12k
(?4)?1(?4)?1
?
5
9

520
?
16
k
?116
k
?4
15?1 6
k
?40
?8?
(16
k
?1)(16
k
?4)
?8,

?8?
当
n
为偶数时，设
n?2m(m?N?)
，则 R
n
?(b
1
?b
2
)?(b
3
?b
4
)???(b
2m?3
?b
2m?2
)?b
2m ?1
?8m?4n
，
当
n
为奇数时，设
n?2m?1(n?N?)
，则
?

R
n
?(b
1
?b
2
)?(b
3
?b
4
)??(
m
b
?23
?
m
b
2
)b
?m?1
?
)
4n
，
?2
?
m?2
8(
所以，对一切正整数
n都有
R
n
?4n
．
综上所述，正实数
?
的最小值为4．
评析 本题主要考查数列、不等式等基 础知识，化归思想、分类整合思想等数学思
想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力，要求学生有 较强的综合解题能力．
3.4平面向量的最值问题
在考查平面向量的最值问题中，一般结合 三角函数进行考查，题型多以选择题、填
空题和解答题的形式出现，考生需要深刻理解平面向量的概念、 性质和数量积与向量积
的几何意义，灵活运用向量的各种性质，有较强的运算和论证能力便可解决问题． 对于
这类题型，学生首先要根据题目的已知条件，利用向量的性质灵活变形，进而利用数量
积或 向量积便可求解．
????????
例（92009年安徽卷） 给定两个长度为1的平面 向量
OA
和
OB
，它们的夹角为
120
?
，
????????????
?
如图所示，点
C
在以
O
为圆 心的圆弧
AB
上变动。若
OC?xOA?yOB
，其中
x,y?R< br>，
则
x?y
的最大值是
（２）．

图1:例9的示意图
10

????????????
解 在
OC?xOA?yOB
两边分别作向量积得
????????
1

x?y?OA?OB

（1）
2
????????
1

?x?y?OB?OC

（2）
2
（1）+（2）得
????????????????????????????
x?y?2(OA?OB)?OC?2DC?OC?2cos?OD?OC?,

因为
????
OD?1
．
所以
x?y
的最大值为2．
评析 本题主要考查平面向量的数量积与向量积的几何意义，灵活性大．
3.5圆锥曲线的最值问题
圆锥曲线的最值问题是一种难度较大的题型，很多考生对于该类问 题经常会丢分，
而该类问题的分值比较高，大约占高考分数的
10%
左右．它考查的范 围比较广，多以解
答题的形式出现，考查学生对椭圆、抛物线的几何性质的理解，对直线与椭圆、直线与
抛物线的位置关系等基础知识的掌握程度，考查学生的解析几何的基本思想方法和综合
解题能力 ．针对这类题型，学生首先要充分理解圆锥曲线的概念、性质、定理，然后再
结合题目的已知条件综合运 用相关知识进行求解．
x
2
y
2
例10（2009年浙江卷） 已 知椭圆
C
1
：
2
?
2
?1的右顶点为A（1,0） ，过
C
1
的
ab
焦点且垂直长轴的弦长为1．（Ⅰ）求椭圆
C
1
的方程．（Ⅱ）设点P在抛物线
C
2
：
y?x
2
?h(h?R)
上，
C
2
在点P处的切线与
C
1
交于点M，N．当线段AP的中点与MN
的中点的横坐标相等时，求h的最小值．
解 （Ⅰ）由题意得
?
b?1,
?
2
?
2b< br>?1,
?
?
a

11

则

?
a?2,
?

?
b?1,

因此，所求的椭圆方程为
y
2
?x
2
?1
．
4
（Ⅱ）如图2，








图2:例10的示意图
设
M(x
1
,y
1
),N (x
2
,y
2
),p(t,t
2
?h)
则抛物线< br>C
2
在点
P
处的切线斜率为
y
'
x?t?2t
，
直线
MN
的方程为
y?2tx?t
2
?h
，
将上式代入椭圆
C
1
的方程中 得

4x
2
?(2tx?
2
t?h)
2
?4?
，
0

即

4(?1t
2
x< br>2
)?t4
2
t?(h?x)
2
?t(
2
h ?
，
)

?

4
因为直线
MN
与椭圆
C
1
有两个不同的交点
所以(3)中的
12
3）


0
（

?
1
?16
?
?< br>?t?2(h?2)t?h?4
?
?
?0
． （4） < br>422
设线段
MN
的中点的横坐标为
x
3
，
则
x
1
?x
2
t(t
2
?h)
x
3
??
，
22(1?t
2
)
设线段
PA
的中点的横坐标为
x
4
，
则
x
4
?
t?1
，
2
由题意得
x
3
?x
4
，
即
?

0
（5）
t
2
?(1?h)t?1

由（5）式中的
?
2
?(1?h)
2
?4?0
，
得
h?1
或
h??3
．
当
h??3
时
h?2?0
，
4?h
2
?0
，
则不等式（3）成立，所以
h?1
．
当
h?1
时代入方程（5）得
t??1
．
将
h?1,t??1
代入不等式（4）成立，所以
h
min
?1
．
评析 此题考查的内容非常广泛，考查了椭圆、抛 物线的几何性质，也考查了圆锥
曲线的位置关系．同时也考查了分类思想和不等式的性质等，综合能力较 强．
3.6具有几何意义的最值问题
13

求函数最值的方法比 较多，但当所求函数具有某种几何意义时，求其最值用数形结
合的方法比较灵活巧妙
[8]．可把求函数的最值转化为求直线斜率、直线截距、两点间的
距离等最值问题．用数形结合的方法解 赋有几何意义的解析式的函数的最值，它兼有数
的严谨与形的直观之长，利用它使复杂的问题简单化，抽 象的问题具体化，它是优化解
题过程的重要途径之一．其转化的关键是要有较强的转化意识．包含“以形 助数”和“以
数解形”两方面．以形助数”可以使抽象的概念和解析式直观化、形象化；“以数解形”< br>可以使图形的性质更丰富、更准确、更深刻．
用数形结合法解题的一般步骤：
第一步，先把已知条件与待求结论的代数式（或量）都化成形；
第二步，观察图形，寻找解题方案；
第三步，求解得出结论．
转化为求直线斜率的最值问题
2?6cos
2
x?3cos
4
x
例11 求函数
y?
的最值
2
6?2sinx
3cos
4
x?6cos
2
x?(?2)
2?6cos
2
x?3cos
4
x
解 令
k?
＝
?
知
2
2
?2sinx?(?6)
6?2sinx
4
点
B
的轨迹为一抛物线弧
x
2
?(y?3)(x?[?2,0],y?[?3,0])
，其抛物线二端 点为
3
(?2,0),(0,?3)
，显然，定点
(?6,?2)
分 别与二端点
(?2,0),(0,?3)
构成的二直线斜率产生函
数的最大值和最小值 ．

图3:例11的示意图
所以
14

k< br>1
?
?2?01
?2?(?3)1
?
，
k
2
???
．
?6?(?2)2
?6?06
故
y
max
?
11
，
y
min
??
．
26
转化为求两点间的距离的最值问题
例12
[8]
求< br>y?x
2
?a
2
?(x?1)
2
?(a?1)
2
的最值.
1
时，设
M(0,a),N(1,a?1)
，动点
2
解 在
x?1?a
时
y
min
?0
．当
a?a?1< br>即
a?
，且
MN
不平行于
x
轴，
P(x, 0)
，则
y?PM?PN?MN
（
M
、
N
、
P
共线时取等号）
即
MN
必与
x
轴相交.设交点为
P
0
，
P
0
就是使
y
取得最大值
MN< br>的点，如图4

图4:例12的示意图
对直 线
MN
：
(a?1?a)x?y?a?0
．当
y?0
,
x?
1
(a?)
时，有
a?a?12
a
y
max
?MN?1?(a?a?1)
2
，
在
a?1
或
a?0
且
x?a
时
y
max
?2
．
在
11a
?a?1
或
0?a?
且
x?
时
222a?1
y
max
?1?(2a?1)
2
．
评析 这里用几何中的距离公式，把问题转化为“在直线上求一点，使该点到两已
15

知点的距离之差（和）最大（最小）”的问题求解.
转化为求直线截距的最值问题
例13 求函数
f(x)?2x?4?1?x
的最值．
解 函数
f(x)
的定义域
x?[?2,1]
，令
a?1?x,
b?2x?4
，则消去
x
得
a
2
b
2
??1
，其中
a ?[0,3],b?[0,6]
．
36
令
w?f(x)?a?b
， 即
b??a?w
．故函数
f(x)
的最值转化为求直线
b??a?w
的截距
w
的最值.如图5

图5:例13的示意图
显然 ，过点
(3,0)
的直线
b??a?w
的截距最小，且最小值为
2< br>，直线
b??a?w
与椭
圆相切时直线
b??a?w
的 截距
w
最大，且最大值为3．故
f
max
(x)?3
，
f
min
(x)?3
．
3.7几个特殊类型函数的最值问题
以下 几个类型的函数的解题方法非常独特，按正常思维解答所得结果往往与正确答
案差距很大．学生要在这类 题上获胜，必须对特殊题型的特殊方法进行归纳总结．文[9]
已给出了三类最小值问题的统一解法及一 般结果，但由于这类问题的重要性，本文将对
这三类特殊类型函数的最值问题进行相关整理，以便引起学 生对这三类题型的重视．
p
(x?0,p?0)
型的最小值问题
x
p
情形1 对于求
y?x?
的最小值，其中
0?x?b
，
p
是一个正常数，且
p?b
2
．
x
求
y?x?
16

解 （通常的解法）设
y?x?
p?
??
?(0?x?p)
,则
xx
y?2p?
?
?
?
x
?2p?
?
?
?
b
，
上述两个不等号中的等式同时成立，当且仅当
?
x
2
?p?
?
,
?
?
x?b.

解之得
?
?
?p?b
2
,
?
?
x?b.

于是
y
min
?b?
p
．
b
2
的最小值.
sinx
2?
??
解 令
y?sinx??(0?
?
?2)
，则
sinxsinx
例14 求
y?sinx?
y?22?
?
?
?
sinx
?22?
?
?
?
,
以上两个不等号中的等式同时成立，当且仅当
?
sin
2
x?2?
?
,
?
?
sinx?1.

解之得
?
?
?1,
?
?
sinx?1.

于是
y
min
?3

评析 该题若直接使用基本不等式
a?b?2ab
进行求解，结果为2，而正确答案是
3．
p
(0?a?x,0?p?a
2
)
型的最小值.
x
??
?p
解 （通常的解法）令
y?x??(
?
?p)
,则
xx
情形2 对于求
y?x?
17

y?2
?
?
??p
x
?2
?
?
?
?p
a
,
上面的两个不等式同时成立，当且仅当
?
x
2
?
?
,
?
?
x?a.

解之得
?
x?a,
?
2
?
?
?a.

于是
y
min
?a?
p
.
a
例15 求
y?
2
?3sinx
的最小值.
7?3sinx
2
xn?)?

7
解
y?(7 ?3si
7?3sixn
令
y?(7?3sinx)?
?
7?3si nx
?
?
?2
7?3sinx
?7(
?
?2)，则
y?2
?
?
?
?2
7?3sinx
?7 ?2
?
?
?
?2
4
?7
，
上面的两个不等式同时成立，当且仅
?
(7?3sinx)
2
?< br>?
,
?
?
sinx?1.

解之得
?
?
?16,
?
?
sinx?1.

于是
y
min
?
2
?3
．
4
求
y? x
2
?
p
(x?0,p?0)
的最小值问题
x
18

p
(0?x?b,p?4b
3
)
的最小值．
x
??
p?2
?
p
解 （通常的解法）令
y?x
2
???(
?
?)
，则
2x2x2x2
p?2
?
p?2
?
,
y?33
?
2
??3
3
?
2
?
2x2b情形1 对于求
y?x
2
?
上面的两个不等式同时成立，当且仅当 < br>?
2
?
3
?
?
,
?
?
x? b.

解之得
?
?
?2b
3
,
?
?
x?b.

于是
y
min
?b
2
?
p
．
b
5
(x?(0,
?
))
的最小值.
sinx
??
5?2
?
5
解 令
y?sin
2
x???(0?
?
?)
，则
2sinx2sinx2sinx2
例16 求
y?sin
2
x?
y?3
3
?
22
5?2
??
5?2
???3
3
?
,
42sinx42
上面的两个不等式同时成立，当且仅当
?
2sin
2
x?
?
,
?
?
sinx?1.

解之得
?
?
?2,
?
?
sinx?1.

于是
y
min
?6
．
p
（
0?a?x
且
0?p?4a
3
）．
x
??
2
?
?p
解 （通常的解法）令
y?x
2
???(p?2
?
)
，则
2x2x2x
情形2 对于求
y?x
2
?
19

y?3
3
?
22
2
?
?p
?2
?
?p
??3
3
?
,
42x42a
上面的两个不等式同时成立，当且仅当
?
2x
3?
?
,
?
?
x?a.

解之得
?
?
?2a
3
,
?
?
x?a.

于是
y
min
?a
2
?
p
．
a
例17 求
y?x
2
?
4
x?9
2
的值域．
解 令
y?(x
2
?9)
2
?
?
x?9
2?
?
x?9
2
?
2
?
?4
x?92
?9(
?
?2)
，则
2
?
?4
?9
,
?9
y?3
3
?
2
?
2
?
?4
x
2
?9
?9? 3
3
?
2
?
上面的两个不等式同时成立，当且仅当
??
(x
2
?9)
3
?
?
,
?
?
?
x?0.

解之得
?
?
?
?3
9,
?
?
?
x?0,

于是
y
min
?
4
．
3
求
y?x?
p
(x?0,p?0)
型的最小值问题.
2
x
pa
3
情形1 对于求
y?x?
2
(0?x?a,p?)
的最小值.
x2
20

解 （通常的解法）令
y?
xx
?
p?
?
???
2
(0?
?
?p)
，则
22x
2
x
y?3
3
?
4
?
p?
??
p?
?
3
?3?
2
,
x
2
4a
上面的两个不等式同时成立，当且仅当
?
x3
?2
?
,
?
?
x?a.

解之得
?
a
3
?
?
?,
2
?
?
x?a.
?

于是

y
min
?a?
p
．
2
a
?2x
2
3?x
2
?63?x
2
?7
例18
y?
的最小值．
2
3?x
23?x
2
(3?x< br>2
)?7
7
2
解 定义域为
?3?x?3
，
由
y?
得．

y?23? x?
2
2
3?x
3?x
令
y?3?x
2
? 3?x
2
?
?
3?x
2
?
7?
?
，
3?x
2
上面的两个不等式同时成立，当且仅当
3
?
2
?
(3?x)
2
?
?
,
?
2
?
?
x?0.

解之得
x?0,
?
?
3
?
2
?
?
?
?3.

于是
y
min
?23?
7
．
3
pa
3
情形2 对于求
y?x?
2
(x?a?0,0?p?)
的最小值．
x2
21

解 （通常的解法）令
y?
xx
??
?p
???
2
(
?
?p)
，则
2 2x
2
x
y?3
3
?
4
?
?
?p
x
2
?3
3
?
4
?
?
?p
a
2
，
上面的两个不等式同时成立，当且仅当
?
x
3
?2
?
,
?
?
x?a.

解之得
?
a
3
?
?
?,
2
?
?
x?a .
?

于是
y
min
?a?
p
． 2
a
4cot
3
x?1
?
,x?(0,]
，求
y
的取值范围． 例19 已知
y?
2
2cotx4
解
y?2coxt?
1
??
?1
，令
y?cotx?cotx ??(
?
?1)
，则
22
2coxt
2cotx2cot x
y?3
3
?
2
?
?
?1
2cotx2
?3
3
?
2
?
?
?1
2
，
上面的两个不等式同时成立，当且仅当
?
2cot
3
x?
?
,
?
?
cotx?1.

解之得
?
?
?2,
?
?
cotx?1.

于是
y
min
?
5
．
2
所以
5
y
的取值范围是
[,??)
．
2
22

3.8用特殊方法求一类函数的最值问题
此类函数不能运用基本不等式求解它 的最值问题，必须利用相关的定理，使用其结
论
[10]
才可以使求解过程简便、容易 ．利用其结论解题时，必须注意限制条件，若限制条
件不满足定理所需条件则不能直接使用其结论进行求 解．否则将无法寻求到准确答案．
定理2 设初等函数
f(x)
在区间
I
上恒有
f(x)?0
，
c
为正常数，则当且仅当
f(x)? c
在
I
上取最小值时，函数
g(x)?f(x)?
c
在I
上取最小值．
f(x)
例20（1997年全国高考题） 甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，
速度不得超过C千米时.已知汽车每小时的运输成本（以元为单位） 由可变部分和固定
部分组成：可变部分与速度V(千米时)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a
元．（Ⅰ）把全程运输成本y元表示为速度V(千米时)的函数，并指出这个函数的定义
域．（ Ⅱ）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解 （Ⅰ）运输成本为
y?
ab
s
(bV
2
?a)?sb(V?)
，由于速度不得超过C千米< br>VV
时，所以
0?V?C
．因此，这个函数的定义域为
(0,C]．
（Ⅱ）令
f(V)?V?
ab
,?V?(0,C]
，显然， 当且仅当
f(V)
取最小值时，全程
V
运输成本y最小，由定理知，在区间< br>(0,C]
上，仅当
V?ab
最小时，
f(V)
最小．
若
ab?(0,C]
，则
当
V?ab时
，
V?ab
最小．
若
ab?(0,C],即ab?C
，则
当V=C时
V?ab
最小．
所以为使全程运输成本y最小
当
ab?C
时，行驶速度应是
V?
ab
，
b
当
ab?C
时，行驶速度应是
V?C
．
4.结论
23

4.1主要发现
本文对近几年高中数学 最值问题的求解方法进行探讨，给出了高考数学中最值问题
的具体方法和求解过程，研究了高考数学中经 常出现的无理函数的最值问题、三角函数
的最值问题、数列的最值问题、平面向量的最值问题和圆锥曲线 的最值问题以及一般联
赛题中会出现的三类特殊类型函数的最值问题．从方法上讲，它涉及到的知识面广 ，难
度大，技巧性强，方法灵活多变，很多考生难以把握，使用常用最值求解方法无法求解，
需 根据函数本身所具有的特点以及相关知识所涉及到的概念、性质、定理才可进行求解；
从能力上讲，它要 求学生在充分掌握基础知识的同时，对常用求解方法较为熟悉，能准
确恰当地选择最优解题方案，有较强 的观察能力、分析能力、计算能力和解决问题的能
力．本文的探讨有利于考生进一步了解高考数学中最值 问题的求解方法，使高考学生在
复习过程中，对准重点，突破难点，训练到位．为学生的备考和教师的教 学提供相应的
指导．
4.2启示
通过对近几年高考数学中与最值问题有关的高考试 题的分析，在最值问题的专题复
习中，应重视对相关知识所涉及到的基本概念、基本性质、基本定理、基 本方法的复习
和基本能力的提高，尤其是观察能力、分析能力和运算能力的培养和训练.
4.3局限性
本文探讨了近几年高中数学中需用相关知识的概念、性质、定理才可以求解的最 值
问题的解题策略．由于本人还未真正走入教学实践，未能将理论应用于实际教学中，尤
其是无 理函数、数列和几个特殊类型函数的最值问题的求解方法灵活多变，它在考察基
础知识的同时，也不断加 强了对能力的考察．且高考最值问题常考常新，形式变化多样，
难以掌握．因此，本文的探讨还存在一定 的局限性．
4.4努力的方向
最值问题是高中数学的重要内容，也是每年高考必考的内容， 且常考常新，能力的
要求不断地提高，在今后的学习和研究中，我将结合自身教学实践，加强学生对基础 的
知识的掌握，继续对每年的全国各省市的高考数学试题中的最值问题的求解作深入的探
讨，使 最值问题的求解方法更系统、更完善，以此弥补本文的不足．
24

参考文献
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