分类与整合,高中数学解题中重要思想论文

分类与整合,高中数学解题中的重要思想
分类与整合是解决问题的一种逻辑方法；是中 学数学重要的思想
方法之一。分析近几年高考中分类与整合的试题可知：分类与整合
思想在高考 中占有十分重要的地位，是一个热点问题。其原因是：
分类与整合试题具有明显的逻辑性、综合性、探索 性的特点，能体
现“着重考察数学能力”的要求。
那么，引起分类的原因究竟有哪些？分类与 整合有何标准和方
法？分类能否避免？这都是我们必须从理论层面上需要弄清的问
题.下面结合 具体题型来回答这些问题。
一、由数学概念引起的分类
例1：设 且 ，比较 与| |的大小.
解: .
① 当 时， ，所以| .
②当 时， 所以| .
由①、②可知| .
评：本题是由对数函数的概念内涵引发的分类，称为概念分类型，< br>由概念内涵分类的还有很多，如：绝对值；直线的斜率；指数函数
等.
二、由定理、公式引起的分类
例2：设等比数列 的公比为 ，前 项和 （ =0，1，2，3…）
（1）求 的取值范围；（2）设 ，记 的前 项和为 ，试比较 与 的
大小。

分析：本题的两问都需要进行分类求解，其分类的对象主要是等
比数列的公比.
解：（1）因为 是等比数列， ，可得 ， ，当 时， ；当 时， ，
即 （ =1，2，3，…），上式等价于① （ =1，2，3，…）
或② （ 1，2，3，…），解①式得 ；解②式，由于 可为奇数、
可为偶数，故 .综上， 的取值范围是（-1，0） （0，+∞）.
（2）由 ，得 ， ，于是 .又因为 ，且 或 ，所以，当 或 时， ，
即 ；当 且 时， ，即 ；当 或 时， ，即
评：数列是高考必考内容之一.而等差、等比数列的通项、前 项
和是数列的基础，在研究一个数列的通项时，对 与 要分别予以研
究，而涉及等比数列或用错位相减法去求解时，要对公比 是否为
零，进行分类。
三、由变量或参数的取值范围引起的分类
例3：已知 在区间［-2,2］上，恒为非负数,求实数 的取值范围.
解：设 ， ，由题意知, , ,恒成立,故只须 在［-2,2］上的
最小值为非负即可.
⑴当- <-2,即 时, 在区间［-2,2］上递增,所以 .解得 ，这与 矛
盾,故舍去.
⑵当-2 ,即-4 时, ，解得:-6 ，又因为-4 ,所以 .
⑶当 ,即a<-4时, 在区间［-2,2］上递减,所以 ,解得 ,又因
为 <-4,所以 .由⑴、⑵、⑶知: .
评:首先等价转换命题,结合对称轴与区间的各种位置关系分类

讨论,函数 图像的对称轴为 ,由于 为参数不确定,所以要分 在区
间［-2,2］的左、右侧和区间上三种情况.
四、几何元素的形状、位置的变化引起的分类
例4：如图，已知一条直线ab，它的两个端点分别在直二面角 －
－ 的两个面内移动，若 和平面 所成的角分别为 ，试讨论 的范
围.
解：（1）当 时， .
（2） 与 不垂直时，在平面 内作 ， 为垂足，连接 .
∵平面 ∴ .∴ 是 与平面 所成的角，即 .
在平面 内作 ，垂足为 ，连结 .同理， .在 中， ，在 和 中 ，
即 。 和 均为锐角， ,而 ,∴ .
（3）若 与 重合，则 .综上所述，可知 .
评：解决本题的关键是搞清两直线不同的位置关系对 的影响，
这是确定分类标准的关键所在。
综上所述，从以上几例的解题过程中可以看出，分类 与整合是一
种重要的解题策略，但这种分类与整合的方法有时比较繁杂，若有
可能，要尽量避免 .如用正难则反的逆向思维，就是避免分类讨论
的典型例子，当然我们还可以通过发掘题中隐含条件或通 过等价转
化等方法来避免分类讨论.