高中数学蒋杰-高中数学真题卷
2019高教社杯全国大学生数学建模竞赛
B题目及优秀论文精选
B题 “同心协力”策略研究
“同心协力”(又称“同心鼓”)是一项团队协
作能力拓展项目。该项目的
道具是一面牛皮双面鼓,鼓身中间固定多根绳子,绳子在鼓身上的固定点沿圆
周
呈均匀分布,每根绳子长度相同。团队成员每人牵拉一根绳子,使鼓面保持水平。
项目开始时
,球从鼓面中心上方竖直落下,队员同心协力将球颠起,使其有节奏
地在鼓面上跳动。颠球过程中,队员
只能抓握绳子的末端,不能接触鼓或绳子的
其他位置。
图片来源:https:_
项目所用排球的质量为270 g。鼓面直径为40 cm,鼓身高度为22
cm,鼓的
质量为3.6 kg。队员人数不少于8人,队员之间的最小距离不得小于60
cm。项
目开始时,球从鼓面中心上方40 cm处竖直落下,球被颠起的高度应离开鼓面
40
cm以上,如果低于40cm,则项目停止。项目的目标是使得连续颠球的次数
尽可能多。
试建立数学模型解决以下问题:
1. 在理想状态下,每个人都可以精确控制用力方向、时机
和力度,试讨论
这种情形下团队的最佳协作策略,并给出该策略下的颠球高度。
2. 在现实
情形中,队员发力时机和力度不可能做到精确控制,存在一定误
差,于是鼓面可能出现倾斜。试建立模型
描述队员的发力时机和力度与某一特定
时刻的鼓面倾斜角度的关系。设队员人
数为8,绳长为1.7m,鼓面初始时刻是水
平静止的,初始位置较绳子水平时下降11
cm,表1中给出了队员们的不同发力
时机和力度,求0.1 s时鼓面的倾斜角度。
表1
发力时机(单位:s)和用力大小(单位:N)取值
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
用力参数
发力时机
用力大小
发力时机
用力大小
发力时机
用力大小
发力时机
用力大小
发力时机
用力大小
发力时机
用力大小
发力时机
用力大小
发力时机
用力大小
发力时机
用力大小
1
0
90
0
90
0
90
-0.1
80
-0.1
80
-0.1
80
-0.1
90
0
90
0
90
2
0
80
0
90
0
80
0
80
-0.1
80
0
80
0
80
-0.1
80
0
80
3
0
80
0
80
0
80
0
80
0
80
0
80
0
80
0
80
0
80
4
0
80
0
80
0
90
0
80
0
80
-0.1
80
0
80
0
90
0
90
5
0
80
0
80
0
80
0
80
0
80
0
80
0
80
-0.1
80
-0.1
80
6
0
80
0
80
0
80
0
80
0
80
0
80
0
80
0
80
0
80
7
0
80
0
80
0
80
0
80
0
80
0
80
0
80
0
80
0
80
8
0
80
0
80
0
80
0
80
0
80
0
80
0
80
0
80
-0.1
80
鼓面倾角(度)
3.
在现实情形中,根据问题2的模型,你们在问题1中给出的策略是否需
要调整?如果需要,如何调整?
4. 当鼓面发生倾斜时,球跳动方向不再竖直,于是需要队员调整拉绳策略。
假设人数为10
,绳长为2m,球的反弹高度为60cm,相对于竖直方向产生1度
的倾斜角度,且倾斜方向在水平面的
投影指向某两位队员之间,与这两位队员的
夹角之比为1:2。为了将球调整为竖直状态弹跳,请给出在
可精确控制条件下所
有队员的发力时机及力度,并分析在现实情形中这种调整策略的实施效果。
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