高中数学教学论文《高考易错题举例解析》

高考易错题举例解析
高考数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊 情形的讨论，却很容易被忽
略.也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误.本文通 过几个例子，剖析致错
原因，希望能对同学们的学习有所帮助,加强思维的严密性训练.
● 忽视等价性变形，导致错误
?
x?0
?
x?y?0
?
x? 1
?
x?y?3
?，但与
?
不等价
?
??
?
y?0
?
xy?0
?
y?2
?
xy?2
【例1】已知
f(x)?ax?
x
，若
?3?f(1)?0,3?f(2) ?6,
求
f(3)
的范围.
b
①
?
?3?a?b?0
?
错误解法 由条件得
?

b
3?2a??6
?
②
2
?
②×2－①
6?a?15

③

①×2－②得
?
8b2
???

④

333
10b431043
③
+
④
得
?3a??,即?f(3)?.

33333
x
，其值是同
b
错误分析 采用这种解法，忽视了这样 一个事实：作为满足条件的函数
f(x)?ax?
时受
a和b
制约的.当a
取最大（小）值时，
b
不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的.
?
f(1)?a?b
?
正确解法 由题意有
?
b
, 解得：
f(2)?2a?
?
2
?
12
a?[2f(2)?f(1)],b?[2f(1)?f(2)]

33
b165
?f(3)?3a??f(2)?f(1)
把
f(1)
和
f(2)
的范围代入得
399
1637
.
?f(3)?
33
在本题中能够检查 出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性.只有牢固地掌
握基础知识，才能反思性地 看问题.
● 忽视隐含条件，导致结果错误
2
【例2】(1) 设
?< br>、
?
是方程
x?2kx?k?6?0
的两个实根，则
(
?
?1)?(
?
?1)
的最小值是
22
(A)?
49
4
(B)8(C)18(D)不存在

思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当.
利用一元二次方程根与系数的关系易得：
?
?
?
?2k，
??
?k?6，

?(
?
?1)
2
?(
?
?1)
2
?
?
2
?2
?
?1?
?
2
?2
?
?1
?(
?
?
?
)
2
?2
??
?2(
?
?
?
)?2

349
?4(k?)
2
?
44

有的学生一看到
?
49
，常受选择答案（A）的 诱惑，盲从附和,这正是思维缺乏反思性的体现,
4
如果能以反思性的态度考察各个选择答案的 来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案.
2
?
原方程有两个实根
?
、
?
，∴
??
4k
?
4(k
?
6)
?
0
?
k??2或k?3.

当
k?3< br>时，
(
?
?1)?(
?
?1)
的最小值是8； 当
k??2
时，
(
?
?1)?(
?
?1)的最小值是18，这时就可以作出正确选择，只有（B）正确.
22
22
y2
?1
，求
x
2
?y
2
的取值范围. (2)已知
(x?2)?
4
2
2222
错误解法 由已知得
y??4x?16x?12
,因此
x?y??3x?16x?12??3(x?)?
22
8
3
28
,
3
2828
8
2222
时，
x?y
有最大值 ，即
x?y
的取值范围是(－∞, ).
33
3
错误分析 没有注意
x
的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值.
∴当
x??
y
2
y
2
2
?1
?
(x?2)?1?
事实上，由于
(x?2)?
≤1 ? －3≤
x
≤－1，
44
2
28
2222
从而当< br>x
=－1时
x?y
有最小值1，∴
x?y
的取值范围是[1, ].
3
● 忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误
【例3】已知：
a
＞0，
b
＞0 ，
a?b?1
, 求
(a?
1
2
1
)?(b?)
2
的最小值.
ab
错误解法
(a?
∴
(a?
1
1
2
1112
?4?8
,
)?(b?)
2
?a
2?b
2
?
2
?
2
?4
≥
2ab??4
≥
4ab?
ab
abab
ab
1
2
1)?(b?)
2
的最小值是8.
ab
22
错误分析 上面的 解答中，两次用到了基本不等式
a?b
≥
2ab
，第一次等号成立的条件是< br>a?b?
1
,
2
1
，显然，这两个条件是不能同时成立的,因此，8不是最小值.
ab
第二次等号成立的条件是
ab?
正确解法
11
(a? )
2
?(b?)
2
ab
11112
??
11
?a
2
?b
2
?
2
?
2
?4?(a2
?b
2
)?(
2
?
2
)?4?(a?b)< br>2
?2ab?
?
(?)
2
?
?
?4

ab
?
abab
?
ab
1
?(1?2ab)(1?
22
)?4
ab
??
a?b
2
11111
)?
得：1－
2ab
≥1－=, 且
22
≥16，1+
22
≥17，
2422
abab
1251
∴原式≥×17+4= (当且仅当
a?b?
时，等号成立)，
222
1
2
12
25
∴
(a?)?(b?)
的最小值是 .
2
ab
由
ab
≤
(

● 不进行分类讨论，导致错误
n
【例4】(1)已知数列
?
a
n?
的前
n
项和
S
n
?2?1
，求
a< br>n
.
nn?1nn?1
?2
n?1
错误解法
a
n
?S
n
?S
n?1
?(2?1)?(2?1)?2?2
错误分析 显然，当
n?1
时，
a
1
?S
1?3?2
1?1
?1
.
因此在运用
a
n
?S
n
?S
n?1
时，必须检验
n?1
时的情形，即：
a
n
?
?
2
(2)实数
a
为何值时，圆
x ?y?2ax?a?1?0
与抛物线
y?
2
错误解法 将圆
x?y?2ax?a?1?0
与抛物线
y?
2
222
222
?
S
1
(n?1)
.
?
S
n
(n?2,n?N)
1
x
有两个公共点.
2
1
x
联立，消去
y
，
2
得
x?(2a?)x?a?1?0(x?0)
①
1
2
2< br>?
??0
?
17
1
?
因为有两个公共点，所以方程① 有两个相等正根，得
?
2a??0
， 解之得
a?
.
2
8
?
2
?
?
a?1?0.
错误分析 （如图2－2－1；2－2－2）显然，当
a?0
时，圆与抛物线有两个公共点.


y y




O O
x

x
要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方
正根、一负根；或有两个相等正根.
当方 程①有一
图
2
－
2
－
正根、一负根时，得
程①有一
图
2
－
2
－
?
??0
解之，得
? 1?a?1
.
?
2
a?1?0
?
因此，当
a?< br>1
17
222
2
或
?1?a?1
时，圆
x? y?2ax?a?1?0
与抛物线
y?x
有两个公共点.
8
2
● 以偏概全，导致错误
以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致 使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而
表现出思维的不严密性.
【例5】(1)设等 比数列
?
a
n
?
的全
n
项和为
S
n
.若
S
3
?S
6
?2S
9
，求数列的公 比
q
.
a
1
(1?q
3
)a
1
(1?q
6
)a
1
(1?q
9
)
??2?
错误解法
?S
3
?S
6
?2S
9
,
?
，
1?q1?q1?q
整理得q
3
(2q
6
?q
3< br>?1）＝0
.
6333
3
由q?0得方程2q?q?1?0.?(2 q?1)(q?1)?0,?q??
4
2
或q?1

a
1
(1?q
3
)a
1
(1?q
6
)a< br>1
(1?q
9
)
??2?
错误分析 在错解中，由， 1?q1?q1?q
整理得q
3
(2q
6
?q
3
?1）＝0
时，应有
a
1
?0和q?1
.
在等比数列中 ，
a
1
?0
是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比
q?1
的情况，再在
q?1
的情况下，对式子进行整理变形.
正确解法 若
q?1
，则有
S
3
?3a
1
，S
6
?6a
1
，S
9
?9a
1
，但< br>a
1
?0
，即得
S
3
?S
6
?2S
9
，
与
题设矛盾，故
q?1
.
a
1(1?q
3
)a
1
(1?q
6
)a
1
(1?q
9
)
363
??2?
）＝0
,又依题意
S
3
?S
6
?2S
9
? ?
q( 2q?q?1
1?q1?q1?q
即
(2q?1)(q?1)?0,
因为q?1
，所以
q?1?0,
所以
2q?1?0
解得
q ??
(2)求过点
(0，1)
的直线，使它与抛物线
y?2x
仅有一 个交点.
错误解法 设所求的过点
(0,1)
的直线为
y?kx?1
，则它与抛物线的交点为
2
3333
3
4
.
2
?
y?kx?1< br>222
，消去
y
得
(kx?1)?2x?0
整理得
kx?(2k?2)x?1?0

?
2
?
y?2x
?
直线与抛物线仅有一个交点，
???0,
解得
k
?
错误分 析 此处解法共有三处错误：
第一，设所求直线为
y?kx?1
时，没有考虑k?0
与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该
直线的斜率是存在的，且不为零，这是不 严密的；
第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考
虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系
理解不透；
第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它 的二
次项系数不能为零，即
k?0
，而上述解法没作考虑，表现出思维不严密.
正确解法 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直
x
轴，因为过点
(0，
所以
x?0
即
y
轴，
1)
，
它正好与抛物线
y?2x
相切.
②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行
x
轴，它正好与抛物线
y?2x
只有一个交点.
2
2
11
?
所求直线为
y?x?1

22
?
y?kx?1
③一般地，设所求的过点
(0,1)
的直线为
y?kx?1(k?0)
,则
?
2
，
?
y?2x
?
k
2
x
2
?(2k?2)x?1?0.
令
?? 0,
解得k = ,∴ 所求直线为
y?
1
2
1
x?1

2
，x? 0，y?
综上，满足条件的直线为：
y?1
1
x?1
.
2