柯西不等式在高中数学中的应用及推广毕业论文

柯西不等式在高中数学中的应用及推广

[摘要]本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的几种证明方法及其在初等数学解题中的应用.同时对其在
其他领域的推广进行了简要论述，并且对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论，对柯西不等式在高中数学解题
中的应用进行了广泛的取证并得到了证明，从而肯定了其在高中数学学习中的重要性.
[关键词]
柯西（Cauchy）不等式；应用函数最值；三角函数证明；不等式教学
1

引言
中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的雏形和 影子.在中学数学教学中，不
等式的教学一直是一个难点，学生在学习和应用不等式同时，都会觉得解题 中困难重重.而柯西不等
式是著名的不等式之一，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而 解.柯西不等式在证
明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用.基于此，本文拟 以柯西不等式为
出发点，从其证明方法到推广及应用技巧等方面进行总结和归纳，并简谈其在中学数学中 的一些应
用.
2 柯西不等式的证明
本文所说的柯西不等式是指
nn
??
22

?
?
a
i
b
i
?
?
?
a
i
?
b
i
?
i?1,2?n
?
(1)
i?1i?1
?
i?1
?
n
2
当且仅当< br>a
?
a
bb
1
i
2
2
?L?
a
b
n
n
时，等号成立.
2.1 构造二次函数证明
首先 当
令
a
?
a
12
?L?
a
n
?0
或
b
1
?
b
2
?L?
b
n
?0
时，不等式显然成立.
nnn
A?
?
a< br>i
,B?
?
a
i
b
i
,C?
?b
i

i?1i?1i?1
22
当
aa
1,2 ,
L
a
n
中至少有一个不为零时，可知
A
?0
,构 造二次函数
f
?
x
?
?Ax?2Bx?C,
22
展 开得
f
?
x
?
?
?
?
ax?2a
i
b
i
x?b
2
i
2
i?1
2
n
2
i
?
?
?
?
ax?b
?
ii
i?1
2
n
2
?0

故
f
?x
?
的判别式
??4B?4AC?0
,移项得
AC?B
,得证.
2.2 向量法证明
令

?
?
?a
1
,a
2
,a
3
,
L
,a
n
?
,
?
?
?
b
1
,b
2
,b
3
,
L
,b
n
?

?
?< br>urur
?
?
?
?
?
?
?
则对向量
?
，
?
有
?
?
?
?
?
? cos
?
,
?
?1

?
?
?
ur ur
??
nn
ururur
2
ur
2
2
?
?
?
?a
1
b
1
?a
2
b
2
?
L
a
n
b
n
,
?
?
?
a
i
,
?
?
?
b
i
2

i?1i?1
得
?
n
??
n
2
??
n
2
?
?
?
a
i
b
i
?
?
?
?
a
i
??
?
b
i
?

?
i?1
??
i?1
??
i?1
?< br>urur
uurur
当且仅当
cos
?
,
?
?1
，即
?
,
?
平行式等号成立.

2
??
2.3 数学归纳法证明
a) 当n=1时 有
?a
1
b
1
?
?a
1
b
1
，不 等式成立.
22
2
b) 当n=2时
?
a
1
b
1
?a
2
b
2
?
?a
1
2b
1
2
?a
2
2
b
2
2
?2 a
1
b
1
a
2
b
2
2
?
a
2
1
?a
2
2
??
b
2
1?b
2
2
?
?ab
22
11
?ab?ab?a b
22
22
22
12
22
21

2222
因为
a
1
b
2
?a
2
b
1
?2a
1
b
1
a
2
b
2
，故有
?
a
1
b
1
?a
2
b
2
?当且仅当
a
1
b
2
?a
2
b
1
，即
2
2
?
?
a
1
2
?a
2< br>??
b
1
2
?b
2
2
?

a
1
a
2
?
时等号成立.
b
1
b
2
22
?a
k
b
k
?
?
?a
1
2
?a
2
?L?a
k
??
b1
2
?b
2
2
?L?b
k
2
?

2
c) 假设n=k时等式不成立，即
?
a
1
b1
?a
2
b
2
?L
当且仅当
a
a1
a
2
??L?
k
时等号成立.
b
1
b
2
b
k
?a
k
b
k
?a
k? 1
b
k?1
?

2
d) 那么当n=k+1时
?
a
1
b
1
?a
2
b
2
??
22
?
?
a
1
b
1
?a
2
b< br>2
???a
k
b
k
?
?2a
k?1
b
k?1
?
a
1
b
1
?a
2
b< br>2
???a
k
b
k
?
?a
k?1
b
k?1

222
?a
1
2
?a
2
???a
k
?b
1
2
?b
2
???b
k< br>2
?2a
k?1
b
k?1
?
a
1
b
1
?a
2
b
2
???a
k
b
k< br>?
22
?a
k?1
b
k?1
????
??a?a???a?b?b???b?ab
2
1
22
?a
2???a
k?1
2
1
2
?b
2
???b
k
2
?1
?
?
?
a
2
1
21
2
k
??
?
?
?
b
2
1< br>2
2
2
3
?
22
1k?1

当且仅当
a
1
b
k?1
?b
1
a
k?1
,a
2
b
k?1
?b
2
a
k?1< br>,L,a
k
b
k?1
?b
k
a
k?1
时等号成立.于是n=k+1时不等式成立.
由a),b)c),d)可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立.
2.4 利用恒等式证明
先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数
a1
,a
2
,L,a
n
;b
1
,b
2< br>,L,b
n
有柯西—拉格朗日恒等式
?
a
2
b3
?a
3
b
2
?
?L?
?
a
2
b
n
?a
n
b
2
?
2
由实数性 质
?
?0
?
?
?R
?
可得柯西不等式成立.
3

柯西不等式的推广
22
?L+
?
a
n?1
b
n
?a
n
b
n?1
?

2
以上给出了柯西不等式的四种证法.利用四种不同的方法全面论证柯西不等式，能加深我们对柯西不等式的认识和理解，为其在数学解题方面的研究提供了更完备的参考理论.
nn
?
n
?
2
2
22
命题1 若级数< br>?
a
i
与
?
b
i
收敛，则有不等式.
?
?
a
i
b
i
?
?
?
a
i
?
b
i

i?1i?1
i?1i?1
?
i?1
?
nn
2
证明 由
?
a
i?1< br>n
2
i
，
?
b
i?1
n
2
i
收敛 ，可得
2
?
n
??
n< br>2
??
n
2
?
0?
?
?
a
i
b
i
?
?
?
?
a
i
??
?
b
i
?

?
i?1
??
i?1
??
i?1
?
nn
nnn
?
n
?
??< br>2
22
2
2
因为
?
a
i
收敛，且< br>?
lim
?
a
i
b
i
?
?lim< br>?
a
i
lim
?
b
i
，从而有不等式?
?
a
i
b
i
?
?
?
ai
?
b
i
n??
i?1i?1
?
i?1
?
i?1
i?1
?
n??
i?1
?
n??
i?1
n
2
2
成立.
nn
?
n
?
22
22
命题2 若级数
?
a
i
与
?
b
i
收敛，且对
?n?N
有
?
?
a
i
b
i
?
?
?
a
i
?
b
i
，则对定义在
i?1i?1
i?1i ?1
?
i?1
?
nn
2
bbb
22
??< br>???????
x
?
dx
.
fxgxdx?fxdxg上的任意连续函数有不等式
a,b
fx,gx
?
?
a
?
?
a
????
??
?
a
??
2
证 明 因为函数
f
?
x
?
,g
?
x
?< br>在区间
?
a,b
?
上连续，所以函数
f
?
x
?
与
g
?
x
?
、
f
2
?
x
?
,g
2
?
x
?
在
?
a,b
?
上可积，将
?
a,b
?
区间等分，取n每个小区 间的左端点为
?
i
，由积分的定义得
?
f
?
x< br>?
dx?lim
?
f
?
?
?
V
x,
?
g
?
x
?
dx?lim
?
g
?
?
?
V
x
a
x??
i
i?1
a< br>x??
i
i?1
b
n
b
n
?
令a?f
2
1
2
b
a
f
2
?
x
?
dx?lim
?
f
2
?
?
i
?
V
x,
?
g
2
?
x
?
dx?li m
?
g
2
?
?
i
?
V
x
x??
i?1
a
x??
i?1
n
b
n
< br>?
?
1
?
,b
2
1
?g
?
?
i
?
则
?
a
与
?
b
i
2
收敛，由柯西不等式得
2
2
i
i?1i?1
nn

?
n
??
n
2
??
n
2
?
f
?
g
?
V
x?f
?
V
xg< br>?
V
x
????????
iiii
?
?
??
?
??
?
?
?
i?1
??
i?1
??
i?1
?
??????
22
limf
?
g?
V
x?limf
?
V
xlimg
?
V
x
????????
iiii
?
x??
?
??
x ??
?
??
x??
?
?
i?1i?1i?1
??? ???
从而有不等式
n
2
nn
2

?
?
命题3 赫尔德不等式
b
a
f
?
x
?
g
?
x
?
dx
?
2
?
?
f
2
?
x
?
dx
?
g
2?
x
?
dx

aa
bb
设
a
1
?o,b
1
?0,
?
i?1,2,L,n
?
,p ?0,q?0,
满足
11
????
??1
，则
?
a
i
b
i
?
?
?
a
i
p
? ?
?
b
i
q
?

pq
i?1
?< br>i?1
??
i?1
?
nn
1
p
n
1
q
pp
等号成立的充分必要条件是
a
i
?
?
b
i
?
i?1,2,?,n;
?
?0
?
.
证明 在证明
有
1111
对任何正数A和B，有
A
P< br>?A
q
?AB
.对凸函数
f
?
x
?
?In
?
x
?
??1
时，
pqpq
?
11
?
1111
In
?
A
P
?B
q
?
?InA
P
?InB
q
?InAB?A
P
?Bp
?AB

q
?
pqpq
?
p
令A?
a
k
?
n
p
?
?
?
a< br>i
?
?
i?1
?
1
p
,B?
bk
?
n
q
?
?
?
b
i
??
i?1
?
1
q
代入上述不等式并对于k=1,2,
L
,n,把这n个不等式相加得
?
nn
?
a
k
b< br>k
1
a
k
p
1
b
k
q
?< br>?
?
?
n
?
11n
pq
p
i?1< br>ab
i
q
?
n
p
?
p
?
n
q
?
q
k?1
?
??
i
?
??
a
i
??
?
b
i
?
i?1
?
i?1
?
i?1
??
i?1
?
即
?
?
11
?
???1

?
pq
?
?
?
p
??
q
?
ab?ab
?
ii
?
?
i
??
?
i
?

i? 1
?
i?1
??
i?1
?
成立.等号成立的充分必要条件是
a
i
?
?
b
i
?
i?1,2,L,n?
.
pq
nn
1
p
n
1
q
我们知道，柯西不等式在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用，它在不同的领域有着不同
的表现形式 ，对它的应用可谓灵活多样.柯西不等式在初等数学和高等数学中有着不 菲的价值，它
的应用充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性.

4 柯西不等式的应用
4.1 在不等式的证明中，柯西不等式的作用

柯西不 等式可以直接运用到其他不等式的证明中，运用柯西不等式证明其他不等式的关键是构
造两组数，并按照 柯西不等式的形式进行探索.
1
x
?2
x
?
L
?
?
n?1
?
?an
x
例1 设定义在R上的函数
f
?
x
?
?lg
，若
0?a?1,n?N,
且n
n?2
，求证：
f
?
2x
?
?2f
?
x
?
.
分析 要证明
f
?
2x
??2f
?
x
?
即证
x
1
2x
?2< br>2x
?
L
?
?
n?1
?
?an
2x
1
x
?2
x
?
L
?
?
n?1?
?an
x

lg?2lg
nn
故只需证
2 x2x
1
2x
?2
2x
?
L
?
?
n?1
?
?an
2x
1
x
?2
x
?
L
?
?
n?1
?
?an
x

?2
nn
因为
2xx
?
1
2x
?2?? ?
?
n?1
?
?an
2x
2x
2x
??
?
1?1???1
?
?
1
2222x
?2? ??
?
n?1
?
?an
2x
2x
x
2?
(2）
又因
0?a?1,n?N,
且
n?2
，故
?
2
?
?x
?
1
x
?2???
?
n?1
?
?an
x
x
x
2
?
< br>2
2xx
1
2x
?2
2x
???
?
n?1
?
?an
2x
?
1
x
?2
x
???
?
n?1
?
?an
x
?
?
?所以
?

nn
??
即
lg
1?2+
L
+
?
n?1
?
?ann
2x2x
2x
2x
?
1
x
+2
x< br>?
L
?
?
n?1
?
x
?an
x?
?2lg
??

n
??
??
所以
f
?
2x
?
?2f
?
x
?
.
例2
a
1
,a
2
,L,a
n
为互不 相等的正整数，求证：对于任意正整数n,有不等式
a
1
?
a
n
a
2
11
.
?L??1??L?
2
2
n
2
2n
证明 由柯西不等式得
?
a
1
1
a
n
1
??
a
1
a
2
a
2
1
a
n?
?
111
?
?+?+
L
+?
??
?
?
2
?
2
?
L
?
2
?
?
??
L
?
?

?
12nn
?
?< br>a
1
a
2
a
n
?
a
1
a< br>2
a
n
?
??
?
12
又因为
a1,
a
2
La
n
为互不相等的正整数 ，故其中最小的数不小于1，次小的数不小于2，最大的不小
2