高中数学 用不动点法求数列的通项论文

用不动点法求数列的通项
定义：方程
f(x)?x
的根称为函数
f(x)
的不动点.
利用递推数列
f(x)
的不动点，可将某些递推关系
a
n
?f(a
n?1
)
所确定的数列化为等比数
列或较易求通项的数列，这种方法称为不动 点法.
定理1：若
f(x)?ax?b(a?0,a?1),
p
是
f(x)
的不动点，
a
n
满足递推关系
a
n
?f( a
n?1
),(n?1)
，则
a
n
?p?a(a
n ?1
?p)
，即
{a
n
?p}
是公比为
a
的等比数列.
证明：因为
p
是
f(x)
的不动点
?ap?b?p

?b?p??ap
由
a
n
?a? a
n?1
?b
得
a
n
?p?a?a
n?1
?b?p?a(a
n?1
?p)

所以
{a
n
?p}
是公比为
a
的等比数列. 定理2：设
f(x)?
ax?b
(c?0,ad?bc?0)
，
{a
n
}
满足递推关系
a
n
?f(a
n?1
),n?1
，初
cx?d
值条件
a
1
?f(a
1
)

（1）：若
f(x)
有两个相异的不动点
p,q
，则
a
n
?pa?p
a?pc
?k?
n?1
（这里
k?
）
a
n
?qa
n?1
?q
a ?qc
（2）：若
f(x)
只有唯一不动点
p
，则
112c
??k
（这里
k?
）
a
n
?p a
n?1
?p
a?d
证明：由
f(x)?x
得
f( x)?
ax?b
?x
，所以
cx
2
?(d?a)x?b?0

cx?d
pd?b
?
p?
2
?
?
a?pc
?
cp?(d?a)p?b?0
?
（1）因为
p,q是不动点，所以
?
，所以
?
?
2
qd?b
?
?
cq?(d?a)q?b?0
?
q?
?
a?qc
?
aa
n?1
?b
pd?b
?p
a
n?1
?
a
n
?pca
n?1
?d(a?pc)a
n?1
?b?pd
a?pc
a?pc
a?pc
a
n?1
?p
??????
qd?b
a?qca
n?1
?qa
n
?q< br>aa
n?1
?b
(a?qc)a
n?1
?b?qda?qc< br>a
n?1
?
?q
a?qc
ca
n?1
?d< br>令
k?
a?pa?p
a?pc
?k
n?1
，则
n

a?qa?q
a?qc
nn?1

（2）因为< br>p
是方程
cx?(d?a)x?b?0
的唯一解，所以
cp?(d?a )p?b?0

所以
b?pd?cp?ap
，
p?
2
22
a?d
所以
2c
aa
n?1
?b(a?cp)a< br>n?1
?b?pd(a?cp)a
n?1
?cp
2
?ap(a ?cp)(a
n?1
?p)
a
n
?p??p???
can?1
?dca
n?1
?dca
n?1
?dca
n?1
?d
所以
ca?dc(a
n?1
?p)?d?cp
111 cd?cp112c
??
n?1
???????
a
n
?pa ?cpa
n?1
?pa?cpa
n?1
?pa?cpa?cpa
n? 1
?pa
n?1
?pa?d
令
k?
11
2c
??k
，则
a
n
?pa
n?1
?p
a ?d
a
n
?2
,n?N
*
，求数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
例1：设
{a
n
}< br>满足
a
1
?1,a
n?1
?
解：作函数
f( x)?
x?2
，解方程
f(x)?x
求出不动点
p?2,q??1< br>，于是
x
a
n?1
?2a
n
?2?2a
n
a?2
a?2
1
a?2
11
????
n
? (?)
n?1
?
1
?(?)
n
，逐次迭代得
n< br>a
n?1
?1a
n
?2?a
n
2a
n
?1a
n
?12a
1
?12
2
n?1
?(?1)
n
由此解得
a
n
?
n

n
2?( ?1)
例2：数列
{a
n
}
满足下列关系：
a
1< br>?2a,a
n?1
a
2
?2a?,a?0
，求数列
{ a
n
}
的通项公式
a
n
a
2
解：作函数
f(x)?2a?
，解方程
f(x)?x
求出不动点
p?a
，于是
x
1
?
a
n?1
?a
a
n
1111

????
22
a(a
n
?a)a
n< br>?aa
aa
2a??aa?
a
n
a
n
所以< br>{
111
1
}
是以
?
为首项，公差为的等差数列 < br>a
n
?aa
1
?aa
a
所以
11111n< br>a
??(n?1)???(n?1)??
，所以
a
n
?a?< br>
a
n
?aa
1
?aaaaa
n
ax
2
?bx?c
(a?0,e?0)
有两个不同的不动点
x
1
,x
2
,且由定理3：设函数
f(x)?
ex?f

u
n?1
?f(u
n
)
确定着数列
{u
n
}
,那么当且仅当
b?0,e?2a
时,
证明:
?
x
k
是
f(x)
的两个不动点
u
n? 1
?x
1
u?x
1
2
?(
n
)

u
n?1
?x
2
u
n
?x
2
ax ?bx
k
?c
2

?
x
k
?k
即
c?x
k
f?(e?a)x
k
?bx
k< br>(k?1,2)

ex
k
?f

2
?
u
n?1
?x
1
au
n
?bu
n
?c?x
1
(eu
n
?f)au
n
?(b?ex
1
)u
n
?c?x
1
fau
n
?(b?ex
1
)u
n
?(e?a)x
1
?bx
1
???
u
n?1
?x
2
au
n
2
?bu
n?c?x
2
(eu
n
?f)au
n
2
?(b? ex
2
)u
n
?c?x
2
fau
n
2?(b?ex
2
)u
n
?(e?a)x
2
2
? bx
2
于是,
2222
u
n?1
?x
1
u?x
1
2
au
n
?(b?ex
1
)u
n
?(e?a)x
1
?bx
1
u
n
?2x
1
u
n
?x
1
?(
n
)
?

?
2222
u
n?1
?x
2
u
n
?x< br>2
au
n
?(b?ex
2
)u
n
?(e?a )x
2
?bx
2
u
n
?2x
2
u
n
?x
2
2222
b?ex
1
(e?a)x
1?bx
1
u
n
?u
n
?
22
u?2x u?x
aa
1n1
?
n
2

?

22
b?ex
2
(e?a)x
2
?b x
2
u
n
?2x
2
u
n
?x
2< br>2
u
n
?u
n
?
aa
2
2
?
b?ex
1
??2x
1
?
?
b?(2a?e)x
1
?0
?
a

?
?

?
?
b?ex
b?(2a?e)x?02
2
?
?
??2x
2
?
?
a
1
x
1
?

?0

?
方程组有唯一解
b?0,e?2a

1
x
2例3：已知数列
{a
n
}
中,
a
1
?2,a< br>n?1
a?2
?
n
,n?N
*
,求数列
{a
n
}
的通项.
2a
n
2
x
2
? 2
解:作函数为
f(x)?
,解方程
f(x)?x
得
f(x )
的两个不动点为
?2

2x

a
n?1
?2
a
n?1
?2
?
a
n
?2
?22a
n
a
n
?2
?2
2a
n
2
2
?
a
n
?2?22a
n
a
n
?2?2 2a
n
2
2
?(
a
n
?2
a
n< br>?2
)
2

再经过反复迭代,得
a
n
?2
a
n
?2
?(
a
n?1
?2
a
n ?1
?2
)
2
?(
a
n?2
?2
a
n?2
?2
)
2
????????(
2
a
1?2
a
1
?2
)
2
n?1
?(
2?2
2?2
)
2

n?1

由此解得
a< br>n
?2?
(2?2)
(2?2)
2
n?1
2
n?1
?(2?2)
?(2?2)
4
2
n?1
2
n ?1

其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题: < br>例4：已知
a
1
?0,a
1
?1
且
a
n?1
?
a
n
?6a
n
?1
4a
n(a
n
?1)
2
2
,求数列
{a
n
}
的通项.
x
4
?6x
2
?1
解: 作函数为f(x)?
,解方程
f(x)?x
得
f(x)
的不动点为 2
4x(x?1)
x
1
??1,x
2
?1,x
3
??
42
33
i,x
4
?i
.取
p?1 ,q??1
,作如下代换:
33
a
n
?6a
n
? 1
a
n?1
?14a(a?1)
?
4
nn
2
a
n?1
?1
a
n
?6a
n
?1
4a< br>n
(a
n
?1)
逐次迭代后,得:
a
n
?< br>
2
2
?1
?
?1
n?1
a
n?4a
n
?6a
n
?4a
n
?1
a
n
?4a
n
?6a
n
?4a
n
?1
?(a< br>1
?1)
4
?(a
1
?1)
n?1
433
2
24
?(
a
n
?1
4
)

a
n
?1
(a
1
?1)
4
(a
1
?1)
4
n?1
4
n?1