高中数学教学论文赏析等比数列的前n项和公式的几种推导方法

赏析等比数列的前n项和公式的几种推导方法
等比数列的前n项和公式是学习等比数列知识中的重点内容之一，其公式：
a?a
n
q
a
1
(1?q
n
)
当
q?1
时 ，
S
n
?
① 或
S
n
?
1
②
1?q
1?q
当q=1时，
S
n
?na
1

本身不仅蕴涵着分类讨论的数学思想，而且用以推导等比数列前n项和公式的方法---错位
相 减法，更是在历年高考题目中频繁出现。本文变换视野、转换思维，从不同的角度加以推
导，以加深对公 式的理解与应用,希望能起到抛砖引玉的效果。
一般地，设等比数列
a
1
, a
2
,a
3
,La
n
L
它的前n项和是
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
??a
n

公式的推导方法一：
?
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
??a
n
当
q?1
时，由< br>?

n?1
?
a
n
?a
1
q
2n?2n?1
?
?
S
n
?a
1
?a
1
q?a
1
q??a
1
q?a
1
q
得
?

23n?1n
?
?
qS
n
?a
1< br>q?a
1
q?a
1
q??a
1
q?a
1q
?(1?q)S
n
?a
1
?a
1
q
n

a?a
n
q
a
1
(1?q
n
)
∴当
q?1
时，
S
n
?
① 或
S
n
?
1
②
1?q
1?q
当q=1时，
S
n
?na
1

当已知
a
1
, q, n 时常用公式①；当已知
a
1
, q,
a
n
时，常用公式②.
拓展延伸：若
?
a
n?
是等差数列，
?
b
n
?
是等比数列，对形如
?
a
n
gb
n
?
的数列，可以用错位相
减法求和。
2n?2n?1
例题 数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?n?(n?1)?2?(n?2)?2?L?2?2?2
，则
S
n
的表达式为（ ）．
n?1n
A．
S
n
?2?2?n?2

n
C．
S
n
?2?n?2



n?1
B．
S
n
?2?n?2

n?1
D．
S
n
?2?n?2

2n?2n? 1
解析：由
S
n
?n?(n?1)?2?(n?2)?2?L?2?2?2< br>，①

23n?1n
可得
2S
n
?2n?(n ?1)?2?(n?2)?2?L?2?2?2
，②
②－①，得
S
n
?2?2?L?2
2n?1
2(1?2
n
)
?2?n??n?2< br>n?1
?n?2
，故选（D）．
1?2
n
点评：这个脱胎于 课本中等比数列前
n
项公式推导方法的求和法，是高考中命题率很高的地
方，应予以高 度的重视。
公式的推导方法二：
当
q?1
时，由等比数列的定义得，a
a
2
a
3
????
n
?q

a
1
a
2
a
n?1
根据等比的性质，有
a
2
?a
3
???a
n
S?a
1
?
n?q

a
1
?a
2
???a
n?1
S
n
?a
n
即
S
n
?a
1
?q< br>?
(1?q)S
n
?a
1
?a
n
q

S
n
?a
n
a?a
n
q
a
1(1?q
n
)
∴当
q?1
时，
S
n
?
或
S
n
?
1

1?q
1?q
当q=1时，
S
n
?na
1

该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比的性质，导出了公式，
给我们以耳 目一新的另类感觉。
导后反思：定义是基础，深刻理解定义，灵活地运用好定义，往往能得到一些很有 价值的
结论和规律。例如等比数列的一个常用性质：
已知数列
?
a
n
?
是等比数列（
q??1
），
S
n
是其前
n
项的和，则
S
k
，S
2k
?S
k
，S
3k
?S
2k
，…，
仍成等比数列。其推导过程可有以下两种常见的 证明过程：
证明一：（1）当
q
=1时，结论显然成立；
（2）当
q
≠1时，
S
k
?
a
1
?
1?q
k
?
1?q
a
1
?
1?qk
?
1?q
,S
2k
?
a
1
?
1?q
2k
?
1?q

,S
3k
?
a< br>1
?
1?q
3k
?
1?q

S
2k
?S
k
?
a
1
?
1?q
2k
?< br>1?q
??
a
1
q
k
?
1?q
k< br>?
1?q
?S
3k
?S
2k
?
a
1
?
1?q
3k
?
1?q
2
?
a
1
?
1?q
2k
?
1?q
2
a
1
q
2k
?
1?q
k
?
1?q

?
?
S
2k
?S
k
?
?
a
1
2
q
2k
?
1?q
k
?
(1?q)
2
a< br>1
?
1?q
k
?
a
1
q
2k
?
1?q
k
?
S
k
?(S
3k
?S2k
)??
1?q1?q

?
∴
a
12
q
2k
?
1?q
k
?
(1?q)
2
2

?
S
2k
?S
k
?
2
=
S
k
?(S
3k
?S
2k
)

∴
S
k
，S
2k
?S
k
，S
3k
?S
2k
成等比数列.
［这一过程也可如下证明］：
证明二：
S
2k
－
S
k
=
(a
1
?a
2< br>?a
3
?La
2k
)
－
(a
1
?a
2
?a
3
?La
k
)

k
k=
a
k?1
?a
k?2
?a
k?3
?La2k
=
q(a
1
?a
2
?a
3
?La
k
)
=
qS
k
?0

2k
同理，
S
3k
－
S
2k
=
a
2k?1
? a
2k?2
?a
2k?3
?La
3k
=

qS
k
?0

∴
S
k
，S
2k< br>?S
k
，S
3k
?S
2k
成等比数列。
对 比以上两种证明过程，我们不难看出，利用好定义在解决某些问题的过程中可以收到
很简捷的效果。
公式的推导方法三：

S
n
?a
1
?a
2
?a
3
??a
n
＝
a
1
?q(a
1
?a
2
?a
3
??a
n?1
)

＝
a
1
?qS
n?1
＝
a
1?q(S
n
?a
n
)

?
(1?q)S
n
?a
1
?a
n
q

a?a
n
q
a
1
(1?q
n
)
∴当
q?1
时，S
n
?
或
S
n
?
1

1?q
1?q
当q=1时，
S
n
?na
1

“方程”在代数课程里占有重要的地位，是应用十分广泛的一种数学思想，在数列一章
的公式 考察中常利用方程思想构造方程（或方程组），在已知量和未知量之间搭起桥梁，来
求解基本量，使问题 得到解决。这种推导方法正是运用了该思想，使我们的思维不拘泥于书
本。
. 以上三种 推导方法，从不同的思维角度切入等比数列前
n
项和的表达式，着眼点不同，
侧重点各 异，从而在推导方法的运用上也各有千秋，推导方法一注重补因子后错位相减；推
导方法二则侧重于前< br>n
项的和式与定义式的联系；而推导方法三则是构造了
S
n
与S
n?1
间的
递推关系式，充分利用了
S
n
与S
n?1和首项及公比之间的关系来得前
n
项的和公式。希望同
学们在学习中认真领悟，仔 细体味，以求使思维得到更为灵活广阔的锻炼。