数学归纳法教学认识论文

对数学归纳法教学的几点认识
数学归纳法是证明数学命题的一种方法，是中学数学的重要内< br>容，又是会考、高考的热点问题，同时也是学生学习的难点。数学
归纳法呈现固定的程式，学生一 般只会简单的模仿，而在具体问题
的应用中往往感到力不从心。究其原因，一是没有领会数学归纳法的实质。二是对与自然数有关的一些命题的具体内容理解不清，缺
乏对策。许多学生只是借助于像多 米诺骨牌这样的事例作类比来认
识这种方法的可靠性，但没有认识到方法在逻辑推理上的严格性。
不少学生则是在没有比较好地理解基础上机械地运用数学归纳法
的两个步骤去证明数学结论，从而导致 证明过程中出现表述上的种
种错误。
目前，数学归纳法的教学常常借助于多米诺骨牌游戏让学 生对
数学归纳法有一个直观的认识。多米诺骨牌是理解数学归纳法的最
好模型．我们用第一块骨 牌表示a1，它若倒下，相应地，表示a1
是正确的；第二块骨牌表示a2，它若倒下，相应地，表示a 2是正
确的；…，用第k块骨牌表示ak，它若倒下，表示ak是正确的……
只要能保证所有多 米诺骨牌都倒下，相应地，就能保证通项公式对
一切正整数都成立．
那么，所有多米诺骨牌都 倒下的条件是什么呢？通过观察可以
发现，只要满足以下两个条件，所有骨牌就都能倒下：
①第一块骨牌倒下；
②相邻的两块，前一块倒下一定导致后一块倒下．

“为什么满足这些条件多米诺骨牌会全部倒下呢？”一定要让
学生来解释其中的道理，并解释每 一个条件的作用分别是什么，这
是教学过程中的一个不可或缺的重要环节．通过这个解释学生才能
够领会数学归纳法的实质，掌握使用这个方法的要领，理解这个方
法．
需要指出的是，弄清 所有骨牌都倒下的条件是必要的，但更需
要明确的是，我们要做什么事？——“保证”，保证这些条件都 已
经满足．
数学归纳法本质上是一种演绎法，是在推理过程、叙述形式上
被约缩了的 演绎法。实际上，在数学归纳法中隐含着一连串的三段
论，其第一个三段论如下：
大前提：如果命题p(n)对n=k成立，那么命题p(n)对n=k+1也
成立；
小前提：命题p(n)对n=1成立；
结论：命题p(n)对n=2成立。
于是，有第二个三段论式：
大前提：如果命题p(n)对n=k成立，那么命题p(n)对n=k+1也
成立；
小前提：命题p(n)对n=2成立；
结论：命题p(n)对n=3成立。
于是，又有第三个三段论，从中得到命题p(n)对n=4成立。
……这样，每一个三段论都得到命题链中的一个命题的证明，

直至无穷，从而得到所要证明的数学命题的证明。
在我们设计数学归纳法的教学时，我们应该 解决以下四个问题，
并围绕这四个问题展开：1、为什么要使用数学归纳法？2、什么是
数学归 纳法？3、什么时候使用数学归纳法？4、怎样正确使用数学
归纳法？
具体教学可以通过几个片段来实现：
第一阶段，主要解决为什么要使用数学归纳法的问题。
问题1：2个正方形是否可以剖开成有限块，再拼成一个正方形？
请同学们尝试。
[ 设计意图]通过具体的问题引入课题，将一个看似简单的问题
与数学归纳法关联起来，激发学生的学习兴 趣，学生可能会想出很
多种分割的方法。
问题2：3个正方形能否剖开成有限块，再拼成一个 正方形？请
你回答能与不能，并说出你的理由。
[设计意图]对于两个正方形，学生通过操作 也许可以了解能否
将2个正方形剖开再拼成一个正方形，但对于3个正方形这样的做
法可能不行 了。设计这个问题的目的是在于引导学生的归纳思维，
即能否将3个正方形转化为2个正方形来考虑。
问题3：如果我们对3个正方形也能做到这一点，那么对于4个、
5个、6个，…，n个正方形 是否都能做到这一点呢？
[设计意图]引导学生发现，4个可能转化为3个，5个可以转化
为 4个，k+1个可能转化为k个，因此只要k个正方形能做到，那

么k+1个正方形必能做到。初步奠定学生归纳法的基本概念。
第二阶段，主要解决什么是数学归纳法。
问题4：例如：对于数列{an}，已知a1=1， （n=1，2，3，…），
求其通项公式an。
[设计意图]这个是一个过渡性问题，为学习 什么是数学归纳提
供一个范例。让学生通过a2=2，a3=3，a4=4，…，猜想an=n，这个例子在教材“合情推理与演绎推理”中出现过，通过这个例子，
要说明如果ak= k，那么我们一定能够知道ak+1= = ，并说明与
正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐 个验证，但当要证明n
取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的，需要寻找一
种新的 方法。类似于问题1，通过命题的转化，经过有限个步骤的
推理，证明n取所有正整数都成立。
问题5：要使（1）（2）两种活动进行下去，需要满足怎样的条
件？
[设计意图] 多米诺骨牌游戏是很好的数学归纳法的现实影子，
可以帮助归纳出数学归纳法的两个步骤。由于数学归纳 法的学术形
态与教学形态不同，我们不能对学生讲命题a与命题b是等价的，
也不能讲两个命题 是等价的证明。数学归纳法的教学形态应该是让
学生理解归纳奠基与归纳递推两个步骤是保证命题对所有 自然数
（n＞n0）的充分条件。在这个过程中归纳递推p(k) p(k+1) 是
核心，有了归纳递推的保证，就有一系的演绎推理：p(1) p(2)
p(3) p(4)p(5)…p(n) p(n+1) …。

第三阶段，主要解决什么时候使用数学归纳法。
问题6：你能用数学归纳法证明问题3和问题4的正确性吗？
问题7：从下列等式中，你能归纳出一般的规律并用数学归纳法
证明吗？
[设计意图 ]通过具体问题的证明，让学生进一步感知数学归纳
法的思想和证明步骤。至于第4个问题“怎样正确使 用数学归纳法”
可以在第阶段内解决以突出主要矛盾。
数学归纳法的教学首先是一科程序性教 学。为了让学生能够正
确应用数学归纳法，还要进行形式化教学。在形式化现象下的本质
规律的 教学，即内涵教学，则是数学归纳法教学的内在精髓。数学
归纳法通过有限的程序，完成了验证无限的结 论，它的灵魂就是递
归思想。在数学归纳法的教学过程中，恰到好处地进行数学归纳法
的教学， 既可帮助学生区分这两种方法，又可引领学生了解发现问
题的途径，可谓一举两得。培养学生“观察—归 纳—猜想—证明”
的链条式思维模式，开发学生的创造性思维能力，将会对学生未来
思考的发展 起到推波助澜的作用。数学归纳法的应用是数学归纳法
教学中很重要的一个环节。数学归纳法可以用来证 明与正整数有关
的恒等式、不等式、整除性问题和几何问题等。
数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可靠的基础上，利用命
题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问
题。它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全
归纳法结论不可靠的不足，使我们认 识到事情由简到繁、由特殊到

一般、由有限到无穷．其蕴含的数学思想方法有归纳的思想，递推
的思想，特殊到一般的思想， 有限到无限的思想方法等等。