北师大版高中数学课件ppt-高中数学必修四 1.5教学视频
运动模型的应用
内容摘要:中学物理教材中无论哪一部分的内
容都是以物
理模型为基础向学生传达物理知识的。物理模型是中学物
理知识的载体,通过对其进
行分析与讲解,是学生获得物
理知识的一种基本方法,更是培养学生创造思维能力的重
要途径。
本文拟从习题教学中浅谈提高运动模型的建模能
力。
关键词:运动模型、匀速圆周运动 学好物理,关键是学习物理思想和物理方法。常有高中
学生说,物理听课易懂,做题难。难就难在对
物理模型的
应用上,也就是学生在解题过程中往往存在一些问题,读
不懂题或做题过程思维混乱
。这在很大程度上是由于学生
不良解题习惯、建模能力差造成的。据对学生的调查,发
现大多数
学生的解题模式是:
读题
想公
式
求解
一般来说,较为有效的解决物理问题的思维流程应该是
通过审题先确定研究对象,对其进行抽象建立物理
模型,
再应用模型知识求解。此过程大致可以归纳为:
一个具体的物理问题
科学抽象
物理模型
数学抽象
数学方程(物理问题的数学表达式)
数学演算
方程的数学解
物理解释
物理问题之解
如果在解题过程中快速准确地建立起与题目相符合的
物理模型是至关重要的。这个解
题流程学生容易模仿,如
果说正确识别或建立物理模型是正确解题的前提,那么在
解决具有物理
过程的物理习题时,学生头脑中对物理过程
的一个清晰的图景则是解决此类物理问题的关键和保证。下面以力学中运动模型的应用为例。
一、 基本模型
1. 两种直线运动模型
匀速直线运动:
x?v
0
t,v?v
0
2
匀变速直线运动:
x?v
0
t?
1
2
at,v?v
0
?at
(特例:自由落体运动:
2
h?
1
2
g
t,v?gt
)
2. 两种曲线运动模型
平抛运动:
水平方向为匀速直线运动
竖直方向为自由落体运动
mv
2
4
?<
br>2
2
?mwr?m
2
r
(天体运动:匀速圆周运动:
F
合
?F
n
?ma
n
?
r
T
由万有引力提供向心力)
二、 模型应用
运动模型的
应用,要求我们对模型所遵循的规律十分
熟悉,从而才能对具体的物理问题加以纯化、抽象,灵活
地运用规律进行推理和计算。
1. 单个模型
(1) 匀变速直线运动模型
例1: 一跳水运动员从离水面10m高的平台上向上跃起,举
双臂直体离开台面,此时其重心
位于从手到脚全长的中点,
跃起后重心升高0.45m达到最高点,落水时
身体竖直,手先入水
(在此过程中运动员水
平方向的运动忽略不计)从离开跳台到手触
水面,他可用于完成空中动作
的时间是
______s。(计算时,可以把运动员看作全部
质量集中在重心的一个质点,g取
10ms
2
,
结果保留二位数)
解析:运动员的跳水过程是一个很复杂的过
程,主要是竖
直方向的上下运动,但也有水平方向的运动,更有运动员
做的各种动作。构建运动
模型,应抓主要因素。现在要讨
论的是运动员在空中的运动时间,这个时间从根本上讲与
运动员所作的各种动作以及水平运动无关,应由竖直运动
决定,因
此忽略运动员的动作,把运动员当成一个质点,
同时忽略他的水平运动。当然,这两点题目都作了说明,
所以一定程度上“建模”的要求已经有所降低,但我们应
该理解这样处理的原因。这样,我们把
问题提炼成了质点
作竖直上抛运动的物理模型。
在定性地把握住物理模型之后,应把这个模型
细化,
使之更清晰。可画出如图1所示的示意图。由图可知,运
动员作竖直上抛运动,上升高度
h
,即题中的0.45m;从最
高点下降到手触到水面,下降的高度为
H,由图中
H
、
h
、
10m三者的关系可知
H
=
10.45m。
由于初速未知,所以应分段处理该运动。运动员跃起
上升的时间为:
t
1
?
2h2?0.45
??0.3
s
g10
从
最高点下落至手触水面,所需的时间为:
t
2
?
2H
?
g<
br>2?10.45
?1.4
s
10
所以运动员在空中用于完成动作的时
间约为:
t?t
1
?t
2
=1.7s
点评:构建物理模型
时,要重视理想化方法的应用,要养
成画示意图的习惯。像这个问题中,运动员的运动被理想
化为竖直上抛运动,可以把运动员看作全部质量集中在重
心的一个
质点。建立了质点模型后,就容易画出相应的起
跳和入水的草图,分析出过程。
(2)
平抛运动模型
例2 某同学对着墙壁练习打网球,假定球在墙面上以
25ms的速度沿水
平方向反弹,落地点到墙面的距离在10m
至15m之间,忽略空气阻力,取g=10ms
2<
br>,球在墙面上反弹
点的高度范围是
A.0.8m至1.8m
C.1.0m至1.6m
B.0.8m至1.6m
D.1.0m至1.8m
解析:网球反弹后的速度大小几
乎不变,故反弹后在空中
运动的时间在0.4s~0.6s之间,在这个时间范围内,网球
下落
的高度为0.8m至1.8m,由于竖直方向与地面作用后
其速度大小也几乎不变,故还要上升同样的高
度,故选项
A正确。
点评:网球与墙壁发生碰撞,入射速度与反射速度具有对
称性,
反弹后网球的运动轨迹与无墙壁阻挡是网球继续前
进的轨迹相对称,所以网球的运动可以转换为我们所熟
悉
的平抛运动模型处理了。
2.
复合模型
(1)直线运动的复合模型。匀速直线运动的复合模型,多
与相对运动有关,如通讯
兵由队尾到队头又返回的过程、
超市乘电梯等问题;匀速与匀变速直线运动、匀变速与匀
变速直
线运动的复合模型,如汽车追击和相遇问题。
例3
一路灯距地面的高度为h,身高为l的人以速度
v
匀
速行走,如图所示。
(1)试证明人的头顶的影子作匀速运动;
(2)求人影的长度随时间的变化率。
解析:
(1)设t=0时刻,人位于路灯的正下方O处,
在时刻t,人走到S处,根据题意有
OS=
vt
①
过
路灯P和人头顶的直线与地面的交点M为t时刻人头
顶影子的位置,如图所示.OM为人头顶影子到O点
的距离.
P
h
O
l
S
M
hl
?
由几何关系,有
OMOM?OS
②
OM?
hv
t
h?l
③ 解①②式得
因OM与时间t成正比,故人头顶的影子作匀速运动.
(2)由图可知,在时刻t,人影的长度为SM,由几何关系,
有SM=OM-OS ④
SM?
lv
t
h?l
⑤
由①③④式得
可见影长SM与时间t成正比,所以影长随时间的变化
率
k?
lv
h?l
点评:本题由生活中的影子设景,以光的直线传播
与人匀
速运动整合立意。根据光的直线传播规律,建立三角形的
模型。运用数学上的平面几何知
识解决物理问题,培养学
生应用数学知识解决物理问题的能力。
(2)曲线运动的
复合模型:有平抛运动复合模型、平抛运
动与匀速圆周运动复合模型、匀速圆周运动与匀速圆周运
动复合模型。
例4(08全国卷,25)我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿
近似于圆形轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息,
让卫星
轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波
信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m,地
球
和月球的半径分别为R和R
1
,月球绕地球的轨道半径和卫
星绕月球的轨道
半径分别为r和r
1
,月球绕地球转动的周
期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内
卫星轨道平面
与地月连心线共面,求在该周期内卫星发射的微波信号因
月球遮挡而不能到达地球
的时间(用M、m、R、R
1
、r、r
1
和T表示,忽略月球绕地球转动对遮
挡时间的影响)。
解析:如下图所示:
设O和
O
?
分别表示地球
和月球的中心.在卫星轨道平面上,
A是地月连心线
OO
?
与地月球表面的公
切线ACD的交点,D、
C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星轨道
的交点.过A
点在另一侧作地月球面的公切线,交卫星轨
道于E点.卫星在圆弧
BE
上运动时发出的
信号被遮挡.
设探月卫星的质量为m
0
,万有引力常量为G,根据万
有引力定律有: Mm
?
2
?
?
G
2
?m
??
r
r
?
T
?
2
①
?
?
?
r
1
②
?
2
?
2
?
mm
G
2
0
?m
0?
?
T
r
1
?
1
②式中,T
1
表示探月卫星绕月球转动的周期.
M
?
T<
br>1
?
??
?
m
?
T
?
2
由
以上两式可得:
?
r
1
?
??
?
r
?3
③
设卫星的微波信号被遮挡的时间为t,则由于卫星绕
月球做匀速圆周运动,
应有:<
br>t
?
?
?
?
T
1
?
④
?
??CO
?
B
.
rcos
?
?R?R
1
⑤
上式中?<
br>??CO
?
A
,
由几何关系得:
r
1
cos
?
?R
1
⑥ T
Mr
1
3
mr
3
?
R?R
1
R
1
?
?
arccos?arccos
?
?
rr
1
?
??
⑦
t?
由③④⑤⑥得:
?
点评:把抽象的物理具体化,将物理
知识与数学知识有机
结合,培养数学物理方法,提高综合分析问题与解决问题
的能力。
(3)直线运动与曲线运动复合模型:匀速(或匀变速)直
线运动与平抛运动复合、
匀速(或匀变速)直线运动与圆
周运动复合等。
例5 如图所示为车站使用的水平传送带装置
的示意图.绷
紧的传送带始终保持3.0ms的恒定速率运行,传送带的水
平部分AB距水平地
面的高度为A=0.45m.现有一行李包(可
视为质点)由
A端被传送到B端,且传送到月端时没有被及时
取下,行李包从B端水平抛出,不计空气阻力,g取l0
ms
2
.
(1)若行李包从B端水平抛出的初速v=3.0ms,求它在空中运动的时间和飞出的水平距离;
(2)若行李包以v
0
=1.0ms的初速从A
端向右滑行,包与传
送带间的动摩擦因数μ=0.20,要使它从B端飞出的水平距
离等于(1
)中所求的水平距离,求传送带的长度L应满足的
条件.
解析:(1)设行李包在
空中运动时间为t,飞出的水平距
h?
1
gt
2
①
离为s,则
s=
vt
②
代入数据得:t=0.3s ③
s=0.9m ④
(2)设行李包的质量为m,与传送带相对运动时的加速
度为a,则
滑动摩擦力
F?
?
mg?ma
⑤
代入数据得:a=2.0ms
2
⑥
要使行李包从B端飞出的水平距离等于(1)中所求水平
距离,行李包从B端飞出
的水平抛出的初速度v=3.0ms
设行李被加速到时通过的距离为s
0
,则
⑦
代入数据得s
0
=2.0m ⑧
故传送带的长度L应满足的条件为:L≥2.0m
点评:由该问题可知:选择合适的参考系
,建立质点模型,
匀速运动、匀变速运动、平抛运动模型是解决问题的关键。
由此可知,解决
物理问题,建立正确易懂的物理模型
是破题的关键,建立物理模型要遵循物理研究问题和解决
问
题的思想及方法,即是把抽象问题具体化,化抽象思维
为形象思维;把具体问题理想化,深入浅出,化复
杂为简
单,当然吧建模过程中要遵循原物理情景及规律,尊重客
观事实。学生如能贯彻这样的学
习思想,定能形成良好的
解题习惯,提高分析和解决问题的能力,从而提高物理水
平。
2
2as
0
?v
2
-v
0
针对练习:
1 . 一杂技演员,用一只手抛球.他每隔0.40s抛出一球,接
到球便立即把球抛出
,已知除抛、接球的时刻外,空中总有
四个球,将球的运动看作是竖直方向的运动,球到达的最
大高度是(高度从抛球点算起,取g=10ms
2
)( )
A. 1.6m
C.3.2m D.4.0m
B.
2.4m
2.在水平地面上建有相互平行的A、B两竖直墙,墙高
h=20m,相
距d=1m,墙面光滑。从一高墙上以水平速度
v
0
=5ms抛出一个弹性小球,与两
墙面反复碰撞后落地(如
图1所示)。试求:
(1)小球的落地点离A墙多远?小球从抛出到
落地与墙面
发生的碰撞次数n为多少?(g=10ms
2
)
(2)小球与墙面发生m次(m
A
V
0
B
h
d
图1
3. 一列长为L的队伍.行进速度为v
1
,通讯员从队伍尾
以速
度v
2
赶列排头,又立即以速度v
2
返回队尾.求出这
段时间里队伍
前进的距离是多少?
4.
A、B
两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当
B
车在
A
车前84 m处时,
B
车速度为4
ms,且正以2 ms
2
的加
速度做匀加速运动;经过一段时间后,
B
车加速度突然变
为零。
A
车一直以20 ms的速度做匀速运动。经过12
s
后两车相遇。问
B
车加速行驶的时间是多少?
5.如图所示,质量
m
=1
kg的小球用细线拴住,线长
l
=
0.5
m,细线所受拉力达到
F
=18 N时就会被拉断.当小球
D
从图示位置释放后摆到悬点的正下方时,细线恰好被拉断。
o
O
力加速度
g
=10 若此时小球距水平地面的高度
h
=
E
5 m,重
C
ms
2
,求小球落地处到地面上P点的距离.(P
点在悬点的
B
正下方)
A
P
6.如图,倾斜角为37°的光滑斜面与竖直放置的光滑圆
弧
轨道在B处相切连接,CE为圆弧的水平直径,AE连线竖
直,D为圆弧轨道的最高点。圆弧
轨道半径为R=1.0m,质
量m=0.1kg的小球从A处以初速度v
0
=10ms
沿斜面向上滑
并进入圆弧轨道。g取10ms
2
,sin37°≈0.6,求:
(1)小球滑至B处时的速率v
B
;
(2)小球对轨道最高点的压力大小N
D
;
(3)小球滑过C点时的加速度大小a
c
;
(4)小球在初速度为v
0
’(v
0
’
2
=58m
2
s
2
)的情况下沿
圆弧轨道连续滑过的弧长L。
7. 如图所示,有一块木板静止在光滑且足够长的水平面
上,木板质量为M=4kg,长为L
=1.4m;木板右端放着一小滑
块,小滑块质量为m=1kg,其尺寸小于L。小滑块与木板之
2
?
?0.4(g?10ms)
间的动摩擦因数为
参考答案:
1.解析:小球运动的示意图如图,当小
球1刚刚抛出,我
们认为同时接住球5,球5在手中的
停留时间为0.40s,球4落到手中然
后再抛出球5,这样球4从图中位置
落到手中的时间也为0.40s,这样球
达到的高
度就是最大,根据对称性,
这样可知一个小球在空中运动的时间为0.4×4s,则每个球
上升
、下降时间均为0.8s,所以根据竖直上抛运动的规律,
2
H?
1
2
gt
,得H=3.2m,所以C正确。
2.解析:因小球与墙壁发生弹性碰撞,由对称性,
小球的
运动可以认为从A点水平抛出所做的平抛运动。
(1)落地所用的时间
t?
2h2?20
?s?2s
g10
水平位移
x?v
0
t?5?2m?10m
所以碰撞次数n=xd=10
小球的落地点离A墙的距离为0。
(2)平抛运动水平方向是匀速直线运动
发生第m次碰撞时所用时间
t
m<
br>?m
1
2
2
1
2
d
v
0
md
2
m
2
下落高度
h?gt?g()?(m?10)。
v
0
5
3.
2v
1
v
2
L
2
v
2
?v
1
2
4.解析:
设A车的速度为vA,B车加速行驶时间为t,
两车在t
0
时相遇。则有
s
A
?v
A
t
0
①
1
s
B
?v
B
t?at
2
?
(v
B
?at)(t
0
?t)
2
②
式中,t
0
=12s,s
A
、s
B
分别为
A、B两车相遇前
行驶的路程。依题意有
s
A
?s
B
?s
③
式中 s=84 m.由①②③式得
t
2
?2t
0
t?<
br>2
?
(v
B
?v
A
)t
0
?s?
?0
a
④
代入题给数据
vA=20ms,vB=4ms,a =2ms2,
有
⑤
式中t的单位为s.解得
t
1
=6s
⑥
t
2
=18s不合题意,舍去。因此,B车加速行驶的时间
t
2
?24t?108?0
,t
2
=18 s
为
6 s.
5. 解析:球摆到悬点正下方时,线恰好被拉断,说明此时
线的拉力F=18
N,则由
v
2
F?mg?m
l
可
v?
求得线断时球的水平速度为
(F?mg)l(18?10)?0.5
?ms?2ms
m1
2
gt
线断后球做平抛运动,由
h?
1
可求得
物体做平抛运动的时
2
间为
t?
2h2?5
s=1 s
?
g10
则平抛运动的水平位移为x=vt=2×1 m=2 m
6.
(1) V
B
2
=76 (2)3N (3)
a
2
=3700 m
2
s
4
(4)
п2
m
7. 解析:(1)小滑块与木板间的滑动摩擦力
f?
?
N?
?
mg
小滑块在滑动摩擦力f作用下向右匀加速运动的加速
度
2
a?fm?
?
g?4ms
1
木板在拉力F和滑动摩擦力f作用下向右匀加速运动的
加速度
a
2
?(F?f)M
使m能从M上面滑落下来的条件是
a
2
?a
1
即
(F?f)M?fm解得F?
?
(M?m)g?20N
(2)设m在M上滑动的时间为t,当恒力F=22.8N,木板
的加速度
2
a?(F?f)M?4.7ms
2
)
2
S?at2
11
小滑块在时间t内运动位移
2
S?at2
22
木板在时间t内运动位移
因
S
2
?S
1
?L
22
4.7t2?4t2?1.4解得t?2s
即
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