基本初等函数乘积的不定积分

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基本初等函数乘积的不定积分
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基本初等函数乘积的不定积分
【课题论文】湖北省教育科学 十二五 规划2011
年立项课题（项目编号2011B266）
一、幂函数与指数函数乘积的不定积分
1。 xnaxdx=ax ni=0(-1)i1(lna)i+1(xn)(i)+C。
二、幂函数与对数函数乘积的不定积分
2。 xnlogaxdx=xn+1(n+1)lnalnx-1n+1+C。
三、幂函数与三角函数乘积的不定积分
3。 xncosxdx= ni=0(xn)(i)(sinx)(i)+C。
4。 xnsinxdx=- ni=0(xn)(i)(cosx)(i)+C。
四、幂函数与反三角函数乘积的不定积分
5。 xnarcsinxdx=1n+1xn+1arcsinx- xn+11-x2dx。
6。 xnarccosxdx=1n+1xn+1arccosx+ xn+11-x2dx。
其中：In+1= xn+11-x2dx(令x=sint可
得)=-xn1-x2n+1+nn+1In-1, ,
五、指数函数与对数函数乘积的不定积分
7。 axlogbxdx=1lnbax
i=0(-1)i1(lna)i+1(lnx)(i)+C。
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六、指数函数与三角函数乘积的不定积分
8。 eaxcosbxdx=1a2+b2eax(bsinbx+acosbx)+C。
9。 eaxsinbxdx=1a2+b2eax(bsinbx-acosbx)+C。
七、指数函数与反三角函数乘积的不论文联盟
http:定积分






10
11
。
。


axarcsinbxdx=ax
axarccosbxdx=ax
i=0(-1)i1(lna)i+1(arcsinbx)(i)+C。
i=0(-1)i1(lna)i+1(arccosbx)(i)+C。
八、对数函数与三角函数乘积的不定积分
12。 cosbxlnxdx= i=01bi+1(sinbx)(i)(lnx)(i)+C。
13。 sinbxlnxdx=- i=01bi+1(cosbx)(i)(lnx)(i)+C。
九、对数函数与反三角函数乘积的不定积分

。

C。
十、三角函数与反三角函数乘积的不定积分
16。 sinxarcsinxdx=-cosxarcsinx+ cosx1-x2+C。
17。 sinxarccosxdx=-cosxarccosx- cosx1-x2+C。
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14。
arcsinxlnxdx=(lnx-1)(xarcsin x+1-x2)-ln1-1-x2x-1-x2+C
15。
arccosxlnxdx =(lnx-1)(xarccosx-1-x2)+ln1-1-x2x+1-x2+

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18。 cosxarcsinxdx=sinxarcsinx- sinx1-x2+C。
19。 cosxarccosxdx=sinxarccosx+ sinx1-x2+C。
十一、幂函数与幂函数乘积的不定积分
20。 xmxndx=1m+nxm+n+c(m+n -1),
xmxndx=ln|x|+c(m+n=-1)。
十二、指数函数与指数函数乘积的不定积分
21。 axbxdx=axbxlna+lnb+C。
十三、对数函数与对数函数乘积的不定积分
22。 logaxlogbx=1lnalnb ln2xdx,
ln2xdx=xln2x-2 lnxdx=xln2x-2xlnx+2x+C。
十四、三角函数与三角函数乘积的不定积分
23。 sinxsinxdx=12
（1-cos2x)dx=12x-14sin2x+C。
24。 sinxcosxdx=12sin22x+c。
25。 cosxcosxdx=12
(1+cos2x)dx=12x+14sin2x+C。
十五、反三角函数与反三角函数乘积的不定积分
26。 (arcsinx)2dx=x(arcsinx)2-2
xarcsinx1-x2dx=x(arcsinx)2+2
arcsinxd1-x2=x(arcsinx)2+21-x2?arcsinx-2x+C。
27。 arcsinxarccosxdx=
arccosxd(xarcsinx +1-x2)=arccosx(xarcsinx+1-x2)-
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xarcsinx+1-x21-x2dx=arccosx(xarcsinx+1-x2)-x+
arcsinxd
1-x2=arccosx(xarcsinx+1-x2)+1-x2arcsinx-2x+C。
28。 (arccosx)2dx=x(arccosx)2+2
xarccosx1-x2dx=x(arccosx)2-2
arccosxd1-x2=x(arccosx)2-21-x2arccosx+2x+C。
上面15种情况中：有11种情况（一、二、三、
四、六、九、十一、十二、十三、十四 、十五）的积
分结果可以用初等函数表示出来，有4种情况（五、
七、八、十）的积分结果不能 用初等函数表示出来。
例 求 x3(e-x+lnx+cosx)dx。
解 x3(e-x+lnx+cosx)dx=e-x
3i=0(-1)i(x3)(i)(-1)i+1+x44lnx-14+
3i=0(x3 )(i)(sinx)(i)=-e-x(x3+3x2+6x+6)+x44lnx-14+(x3
- 6x)sinx+(3x2-6)cosx+c。

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