最新高二数学上册期末考试试卷及答案

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最新高二数学上册期末考试试卷及答案

试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分.考试时间
120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1．已知命题
p：
?x∈R，sinx≤1，则( C )
A．
?
p：
?x∈R，sinx≥1

B．
?
p：
?x∈R，sinx≥1
C．
?
p：
?x∈R，sinx>1

D．
?
p：
?x∈R，sinx>1
2．等差数列{
a< br>n
}中，
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＝－24，
a
18
＋
a
19
＋
a
20
＝78，则此数列前20
项和等于( B )．
A．160 B．180 C．200 D．220
3．△
ABC
中，∠
A
，∠
B
，∠
C
所对的边分别为
a
，
b，
c
．若
a
＝3，
b
＝4，∠
C
＝6 0°，则
c
的值
等于( C )．
A．5 B．13 C．
13
D．
37

4．若双曲线
x
2< br>y
2
a
2
－
b
2
＝1的一条渐近线经过点( 3，－4)，则此双曲线的离心率
为( D )
A.
7
3
B.
54
4
C.
3
D.
5
3

5．在△ABC中，能使sinA＞
3
2
成立的充分不必要条件是( C )
A．A∈
?
?
?
0，
π
?
3
?
?
B．A∈
?
?
π2π
??
ππ< br>?
?
3
，
3
?
?
C．A∈
?
?
3
，
2
?
?
D．A
∈
?
?
π5π
?
?
2
，
6
?
?

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6．△
ABC
中，如果
a
＝
b
tanAtanB
＝
c
tanC
，那么△
A BC
是( B )．
9．当
x
＞1时，不等式
x
＋
A．(－∞，2]

1
≥
a
x?1
恒成立，则实数
a
的取值范围是( D )．
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
A．直角三角形
三角形


B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角
B．[2，＋∞)
0
?
x≥
4
?
4
，
10．若不等式组
?
x＋3y≥
所表示的平面区域被直线
y
＝
kx
＋
分为面积相等
3
?
3x＋y≤ 4
?
7. 如图，
PA
⊥平面
ABCD
，四边形
ABCD
为正方形，
E
是
CD
的中点，
F
是AD
上一点，当
BF
⊥
PE
时，
AF
∶
FD
的值为( B )
A．1∶2 B．1∶1 C．3∶1 D．2∶1




8．如图所示 ，在空间直角坐标系中有直三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
，
CA
＝
CC
1
＝
2
CB
，则直线
BC
1
与直线
A B
1
夹角的余弦值为( A )
A.
5
5
2
B.
5
3

的两部分，则
k
的值是( A )．
A．
7
3
B．
3
7
C．
4
3
D．
3
4
11．若关于
x
的 不等式2
x
2
－8
x
－4－
a
≥0在1≤
x
≤4内有解，则实数
a
的取
值范围是( A )
A．
a
≤－4
C．
a
≥－12
B．
a
≥－4
D．
a
≤－12
12．定义域为 R的偶函数
f
(
x
)满足：对?
x
∈R，有
f(
x
＋2)＝
f
(
x
)－
f
(1)， 且当
x
∈[2,3]时，
f
(
x
)＝－2(
x－3)
2
，若函数
y
＝
f
(
x
)－l og
a
(
x
＋1)在(0，＋∞)上至少
有三个零点，则
a
的取值范围为 ( B )
A.
?
?
0，
?
6
?
?

6
?
2
?
2
?

?
B.
?
?
0，
?
3
?
3
?

?
C.
?

?
0，
?
5
?
?

5
?
3
C. D.
55
5
?
D.
?
0，
?

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解析 由于定义为R的偶函数
f
(
x
)满足：对?
x
∈R，有
f
(
x
＋2)＝
f
(
x
)－< br>f
(1)，
得
f
(－1＋2)＝
f
(－1)－
f
(1)＝0，即
f
(1)＝0，故
f
(
x
＋2 )＝
f
(
x
)，可知
f
(
x
)的周
期
T
＝2，图象以
x
＝2为对称轴，作出
f
(
x
)的部分图象，如图，
∵
y
＝log
a
(
x＋1)的图象与
f
(
x
)的图象至少有三个交点，即有log
a
(2＋
1)>
f
(2)＝－2且0<
a
<
1，解 得
a
∈
?
?
0
3
?
?
，
3
?
?
。

第Ⅱ卷（选择题 共90分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的
相应位置

13．已知某抛物线的准线方程为y＝1，则该抛物线的标准方程为________。x
2
＝－4
y
14.若
a
＝(1,1,0)，
b
＝(－1,0,2)，且
ka
＋
b
与2
a
－< br>b
互相垂直，则
k
的值是
______
7
5
__。
15．过椭圆
x
2
y
2
16
?
4
?1
内一点M(2,1)引一条弦，使弦被点M平分，则这条弦所
在直线
的斜率等于________ －
1
2

16．已知函数f
(
x
)＝
x
α
的图象过点(4,2)，令
a
n
＝
1
fn
＋1＋
fn
，
n
∈ N
*
。
记数列{
a
n
}的前
n
项和为S
n
，则
S
2 016
＝________。2 017－1
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.解答写 在答题卡的制定区域内.
17．(12分)已知
a
，
b
，
c
分别是△
ABC
内角
A
，
B
，
C
的对边，sin
2
B
＝2sin
A
sin
C
。< br>(1)若
a
＝
b
，求cos
B
；

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(2)设
B
＝90°，且
a
＝2，求△
ABC< br>的面积。
解 (1)由sin
2
B
＝2sin
A
s in
C
及正弦定理，得
b
2
＝2
ac
，
∵
a
＝
b
，∴
a
＝2
c
。由余弦定理，得 cos
B
＝
a
2
＋
c
2
－
b2
a
2
＋
1
4
a
2
－
a2
1
2
ac
＝＝。
2
a
×
1
2
a
4
(2)由(1)得
b
2
＝2
ac
。 ∵
B
＝90°，
a
＝2，∴
a
2
＋
c2
＝2
ac
，∴
a
＝
c
＝2，
∴S
＝
1
△
ABC
2
ac
＝1。
18 ．设
p
：实数
x
满足
x
2
－4
ax
＋3
a
2
＜0，其中
a
≠0，
q
：实数
x
满足
?
?
x
2
－
x
－6≤0，
?
x
2
＋2
x
－8＞0。


(1)若< br>a
＝1，且
p
∧
q
为真，求实数
x
的取值范 围；
(2)若
p
是
q
的必要不充分条件，求实数
a
的取值范围。

解 (1)由
x
2
－4
ax
＋ 3
a
2
＜0，得：(
x
－3
a
)(
x－
a
)＜0，
当
a
＝1时，解得1＜
x
＜3，
即
p
为真时实数
x
的取值范围是1＜
x
＜3。 < br>由
?
?
x
2
－
x
－6≤0，
?x
2
＋2
x
－8＞0。

解得：2＜
x
≤3，
即
q
为真时实数
x
的取值范围是2＜
x
≤3。 < br>若
p
且
q
为真，则
p
真且
q
真，所 以实数
x
的取值范围是2＜
x
＜3。
(2)
p
是
q
的必要不充分条件，即
q
推出
p
，且
p
推不出
q
，
设集合
A
＝{
x
|
p
(
x
)}；集合
B
＝{
x
|
q
(
x
)}，则集合
B
是集合
A
的真子集，
又
B
＝(2,3]，
当
a
＞0时，
A
＝ (
a,
3
a
)；
a
＜0时，
A
＝(3a
，
a
)。
所以当
a
＞0时，有
?
?
a
≤2，
?
3＜3
a
，

解得1＜
a
≤2，
当
a
＜0时，显然
A
∩
B
＝?，不合题意，


19．(本小题满分12分)已知动圆经过点
F
(2,0)，并 且与直线
x
＝－2相切。
(1)求动圆圆心
P
的轨迹
M
的方程；
(2)经过点(2 ,0)且倾斜角等于135°的直线
l
与轨迹
M
相交于
A
，
B
两点，
求|
AB
|。

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解 (1)设动圆圆心
P
(
x
，
y
)。
因为动圆经过点
F
(2,0)，并且与直线
x
＝－2相切，
所以点
P
到定点
F
(2,0)的距离与到定直线
x
＝－2 的距离相等，
故点
P
的轨迹是一条抛物线，其焦点为
F
，准线为< br>x
＝－2，设轨迹方程
为
y
2
＝2
px
(< br>p
＞0)，则
p
2
＝2，
所以轨迹
M
的方程为
y
2
＝8
x
。 (2)轨迹
M
的焦点(2,0)，直线
l
的斜率
k
＝t an 135°＝－1，于是其方程为
y
＝－(
x
－2)。
由?
?
y
＝－
x
－2，
?
y
2
＝8
x
，

消去
y
得
x
2
－12
x
＋4＝0。 设
A
(
x
1
，
y
1
)，
B< br>(
x
2
，
y
2
)，则
x
1
＋
x
2
＝12，
于是|
AB
|＝
x
1< br>＋
x
2
＋
p
＝12＋4＝16。
20．(12分) 如图，在三棱锥
P
－
ABC
中，
PA
⊥底面
ABC
，△
ABC
是直角三角
形，且
PA
＝
AB
＝
AC
。又平面
QBC
垂直于底面
ABC
。

(1)求证：
PA
∥平面
QBC
；
(2)若
PQ
⊥平面
QBC
，求锐二面角
Q
－
PB
－
A
的余弦值。
解 (1)证明：过点
Q
作
QD
⊥
B C
交
BC
于点
D
，
因为平面
QBC
⊥平面
ABC
。
所以
QD
⊥平面
ABC
。
又
PA
⊥平面
ABC
，
所以
QD
∥
PA
。
而
QD
?平面
QBC
，
PA
?平面
QBC
，
所以
PA
∥平面
QBC
。
(2)因为
PQ
⊥平面
QBC
，
所以∠
PQB
＝∠
PQC
＝90°。

又
PB
＝
PC
，
PQ
＝
PQ
，

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所以△
PQB
≌△
PQC
，
所以
BQ
＝
CQ
。
所以点
D
是
BC
的中点，连接
AD
，则
AD
⊥
BC
，因此AD
⊥平面
QBC
，
故四边形
PADQ
是矩形。 分别以
AC
，
AB
，
AP
所在直线为
x
轴，
y
轴，
z
轴，建立如图所示的空间
直角坐标系。
设
PA
＝2
a
，则
Q
(
a
，
a,< br>2
a
)，
B
(0,2
a,
0)，
P
(0,0,2
a
)。
设平面
QPB
的法向量为
n
＝(
x
，
y
，
z
)，
因为
PQ
→
＝(
a
，
a,
0)，
PB
→
＝(0,2
a
，－2
a
)，
所以
?
?
ax
＋
ay
＝0，
?
2
ay
－2
az
＝0，< br>
取
n
＝(1，－1，－1)。
又平面
PAB
的一个法向量为
m
＝(1,0,0)，
设锐 二面角
Q
－
PB
－
A
的大小为
θ
， 则cos
θ
＝|cos〈
m
，
n
〉|＝
m·
n
＝
3
|
m
||
n
|
3< br>，
即锐二面角
Q
－
PB
－
A
的余弦值等于
3
3
。
21．(本小题满分12分)若
{
a
31
n
}
的前n项和为
S
n
，点
(n,S
n< br>)
均在函数y＝
2
x
2
?
2
x
的图 像上。
（Ⅰ）求数列
{
a
n
}
的通项公式;
a< br>n
=3n-2
（Ⅱ）
b
n
?
3
aa
，
T
n
是数列
{b
n
}
的前n项和，
nn?1
(1)
?
点
(
n
,
S
31
n
)
均在函数y＝
2
x
2
?
2
x
的图像上,
?
S
31
n
=
2
n2
?
2
n
,
故
S
3
2
1
n?1
?
2
(n?1)?
2
(n?1)

(n?2)
,…
从而当
n?2


S
n
-
S
n?1
=
3n-2,即
a
n
=3 n-2,
又当n=1时,
a
1
?S
1
?
1,满足上式
?
a
n
=3n-2
(2)

?
b
3
n
?
a
,
a
n
=3n-2 ,
n
a
n?1
?
b
3
1
n
?< br>(3n?2)(3n?1)
=
3n?2
?
1
3n?1

?
T
n
?1?
1
4
?
1
4
?
1
7
?
1
7
?
1
10
?.. .?
1
3n?2
?
11
3n?1
=
1?
3 n?1
?
3n
3n?1
.

22．(本小题满分12分)已 知椭圆
x
2
＋2
y
2
＝
a
2
(< br>a
＞0)的一个顶点和两个焦点构
成的三角形的面积为4。
(1)求椭圆
C
的方程；
(2)已知直线
y
＝
k
(
x
－1)与椭圆
C
交于
A
，
B
两点，是否存在
x
轴上的点

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M
(
m,
0) ，使得对任意的
k
∈R，
MA
→
·
MB
→
为定值？若存在，求出点
M
的坐标；
若不存在，说明理由。
解 (1)设椭圆的短半轴为
b
，半焦距为
c
，
则
b
2
＝
a
2
a
2
a
2
2
，由
c
2
＝
a
2
－
b
2
，得
c2
＝
a
2
－
2
＝
2
，
由< br>1
2
×
b
×2
c
＝4解得
a
2＝8，
b
2
＝4，则椭圆方程为
x
2
y
2
8
＋
4
＝1。
(2) 由
?
?
y
＝
kx
－1，
?
x
2< br>＋2
y
2
＝8，


得(2
k
2< br>＋1)
x
2
－4
k
2
x
＋2
k2
－8＝0，
设
A
(
x
1
，
y1
)，
B
(
x
2
，
y
2
)，
由根与系数的关系，得
x
＋
x
4
k
2
2
k
2
－8
12
＝
2
k
2
＋1，
x
1
x
2
＝
2
k
2
＋1< br>，
则
MA
→
·
MB
→
＝(
x1
－
m
，
y
1
)·(
x
2
－
m
，
y
2
)
＝
x
1
x
2
－
m
(
x
1
＋
x
2
)＋
m
2
＋
k
2
(
x
1
－1)(
x
2
－1)
＝(
k
2
＋1)
x
1
x
2
－(
m
＋
k
2
)·(
x
1< br>＋
x
2
)＋
k
2
＋
m
2

1)
2
k
2
－84
k
2
＝(
k< br>2
＋
2
k
2
＋1
－(
m
＋
k
2
)
2
k
2
＋1
＋
k
2
＋
m
2

＝－
5＋4
mk
2
＋8
2
k
2
＋1
＋
m
2
，
当5＋4
m
＝16，即
m
＝
11
4
时，
MA
→< br>·
MB
→
＝－
7
16
为定值，
故存在点M
?
?
11
?
→
?
4
，0
?
?
，使得
MA
·
MB
→
为定值。