重庆市重点中学高二、上期期末数学测试题及答案

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重庆市重点中学05-xx年度高二、上期期末数学测试题及答案
（满分150分，120钟完成）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个备
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若a，b为实数，则a>b>0是
a
2
?b
2
的( )
A.充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.(xx全国卷II文第6题)
x
2
y
2
双曲线
??1
的渐近线方程是( )
49
243
(A)
y??x
(B)
y??x
(C)
y??x

392
9
(D)
y??x

4
3.．以原点为圆心，且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程是( )
22222222
A．
x?y?5
B
x?y
=25 C．
x?y
=4 D．
x?y
=16
4..（xx江苏卷第6题）
抛物线y=4
x
2
上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
( A )

17157
( B ) ( C ) ( D ) 0
16168
5.． 设a,b,c分 别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA·x+ay+c
＝0与bx- sinB·y+sinC＝0的位置关系是( )
A.平行 B.重合
C.垂直 D.相交但不垂直
6.(xx全国卷III理第10题，文第10题)
设椭圆的两个焦点分别为F
1< br>、
、F
2
，过F
2
作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F< br>1
PF
2
为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
（A）
22?1
（B） （C）
2?2
（D）
2?1

22
7．设函数f(x )＝ax
2
+bx+c(a>0)，满足f(1-x)＝f(1+x)，则f(2
x< br>)与f(3
x
)的大
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小关系是( )
A.f(3
x
)>f(2
x
) B.f(3
x
)x
)
C.f(3
x
)≥f(2
x
) D.f(3
x
)≤f(2
x
)
8．已知集合
M?
?
(x,y)y?k(x?1)?1,x,y?R
?
，集合
N?(x,y) x
2
?y
2
?2y?0,x,y?R
那么
MIN
中 （ ）
??
A．不可能有两个元素 B．至多有一个元素
C．不可能只有一个元素 D．必含无数个元素
9.（xx江苏卷第11题）
x
2
y
2
点P(-3,1)在椭圆
2
?
2
?1(a? b?0)
的左准线上.过点P且方向为a=(2,-5)的光线,
ab
经直线
y
=－2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( )
( A )
3
2
11
( B ) ( C ) ( D )
3
2
32
10．在
R
上定义运算
?:x?y?x(1?y)
．若方程
1?(2?kx)???x< br>2
?4x?3
有
解，则
k
的取值范围是（ ）
?
4
??
1
??
14
?
A．
?
0 ,
?
B﹒
?
0,1
?
C﹒
?
0,
?
D﹒
?
,
?

?
3
?
?
3
??
33
?
二、填空 题：(本大题共6小题，每小题4分，共24分．)
11.（xx上海理第5题）
若双曲线 的渐近线方程为
y??3x
，它的一个焦点是
(10,0)
，则双曲线的方程 是
__________。
12．若函数
f(x)?
x
,(x?1 )
能用均值定理求最大值，则需要补
x
2
?2(a?2)x?3a
充
a
的取值范围是
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?
x?y?3?0
?
13.已知
?
2x?y?0
则
x
2
?y
2
?2x?4y?15
的最大值为
?
x?y?1?0< br>?
14．给出下列命题：①若
a?b,n?2k?1,(k?N?)
，则
a
n
?b
n
； ②若ab≥0，
则
a?b?a?b；③设A(m,m+1)，B(2,m-1)，则直线AB的倾斜角
?
?arctan2
m?2
④如果曲线C上的点的坐标
(x,y)
满足方程
F(x ,y)?0
，则方程，
F(x,y)?0
的
曲线是C其中真命题的序号是 ．
15.
(xx重庆卷文第16题)
1
?
?
1
?
?
已知
A
?
?,0
?
，B是圆F：
?< br>x?
?
?y
2
?4
(F为圆心)上一动点，线段AB的
2
?
?
2
?
?
2
垂直平分线交BF于P，则动点 P的轨迹方程为_____________
16.
(xx重庆卷理第16题)


连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）.
①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形
④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
(a?1)x
2
?2
?x
(其中
a?0)
17．(13分)解不等式：解关于
x
的不等式:
ax?1







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18、（xx广东卷第17题） < br>在平面直角坐标系xOy中，抛物线
y?x
上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足
AO?BO
（如图４所示）．
（Ⅰ）求
?AOB
得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ ）
?AOB
的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
2








1 9．（12分）某人上午7：00时，乘摩托车以匀速V千米／时(4≤V≤20)从A港出
发到相距5 0千米的B港去，然后乘汽车以匀速W千米／时(30≤W≤100)自
B港向距300千米的C市驶去 ，要求在当天16：00时至21：00时这段时间到
达C市．设汽车所需要的时间为X小时，摩托车所 需要的时间为Y小时．
(1)作图表示满足上述条件的X，Y的范围；
(2)如果 已知所要的经费：
p?100?3(5?x)?2(8?y)
（元），那么V，W分别
是多少时所要的经费最少?此时需花费多少元?









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20.
(xx重庆卷文第21题，满分12分)

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为
(3,0)
。
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 若直线l：
y?kx?2
与双曲线C 恒有两个不同的交点A和B，且
OA?OB?2
(其中O为原点)，求k的取值范围。







21. （12分）已知二次函数< br>f(x)?ax
2
?bx?c(a,b,c?R)
，当
x?[?1,1 ]
时，
|f(x)|?1
.
（1）求证：
|b|?1
；
（2）若
f(0)??1,f(1)?1
，求
f(x)
的表达式.











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22.
(xx重庆卷理第21题，满分12分)
x
2
?y
2
?1
，双曲线C
2
的左、右焦点分别为C
1
的左、右已知 椭圆C
1
的方程为
4
顶点，而C
2
的左、右顶点分别是C< br>1
的左、右焦点。
(1) 求双曲线C
2
的方程；
(2) 若直线l：
y?kx?2
与椭圆C
1
及双曲线C< br>2
恒有两个不同的交点，且
l与C
2
的两个交点A和B满足
O A?OB?6
(其中O为原点)，求k的取值范围。




















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参考答案
一、选择题：1—5 ACBBD 6—10 DACAB
y
2
1
4
?1
12﹒
a?
13. 26 14.① 15.

x
2
?y
2
?1
16.②③二、填空题：11﹒
x?
9
3
3
2
⑤
(a?1)x
2
?2(a?1)x
2
?2
(x?1)(x?2)?x
?
?x?0
?
三、17.解解:
?0?

ax?1ax?1
ax?1
1
(x?1)(x?2)(x?)?0

a
① 当
0?a?1
时, 原不等式的解集为
(??,?)?(?1,2)
② 当
a?1
时, 原不等式的
解集为
(??,?1)?(?1,2)
③ 当
a?1
时 原不等式的解集为
(??,?1)?(?
18．（xx广东卷第17题）
1
a
1
,2)

a
x
1
?x2
?
x?
?
?
3
解：（I）设△AOB的重心为G(x ,y),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2),则
?
…（1）
y?y
2
?
y?
1
?
3
?
∵OA⊥OB ∴
k
OA
?k
O B
??1
,即
x
1
x
2
?y
1
y
2
??1
，……(2)
又点A，B在抛物线上，有
y
1< br>?x
1
,y
2
?x
2
，代入（2）化简得
x
1
x
2
??1

∴
y?
22
y< br>1
?y
2
1
2
1122
2
?(x
1
?x
2
)?[(x
1
?x
2
)
2
?2x
1
x
2
]??(3x)
2
??3x
2
?

333333
2

3
II）
所以重心为G的 轨迹方程为
y?3x
2
?
（
S
?AOB
?
111
22222222

|OA||OB|?(x
1
2
? y
1
2
)(x
2
?y
2
)?x
1
x
2
?x
1
2
y
2
?x
2
y1
?y
1
2
y
2
222
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由（I）得
S
?A OB
?
1
6
111
66
x
1
?x
2
?2?2x
1
6
?x
2
?2?2(?1)
6?2??2?1

2222
当且仅当
x
1
?x
2
即
x
1
??x
2
??1
时，等号成立。
所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；
19．解：（1）依题意得：
v?
66
50300
,w?
，又
4?v?20,30?w?100< br>，所以
yx
525
，而
9?x?y?14
，所以满足条件的点 的范围是图中阴影部分：
3?x?10,?y?
22
（2）
Qp?1 00?3?(5?x)?2?(8?y),?3x?2y?131?p
作
出一组平行直线
3x?2y?t
（
t
为参数），由图可知，当直线
3x?2y?t
经过点
(10,4)
时，其在
y
轴上截距最大，此时
p
有最 小
值，即
x?10,y?4
当时，
p
最小此时
v?12.5 ,w?30
，
p
min
?93
元
20.
(xx重庆卷文第21题，满分12分)

x
2
y
2
解： （Ⅰ）设双曲线方程为
2
?
2
?1

(a?0,b?0).

ab
由已知得
a?3,c?2,再由a2
?b
2
?2
2
,得b
2
?1.

x
2
?y
2
?1.
故双曲线C的方程为
3
x
2
?y
2
?1得

(1?3k
2
)x
2
?62kx?9?0.
（Ⅱ）将y?kx?2代入
3
2
?
?
1?3k?0,
由直线l与 双曲线交于不同的两点得
?

222
?
?
??(62k)? 36(1?3k)?36(1?k)?0.
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即
k
2
?
1
且k
2
?1.
① 设
A(x
A
,y
A
),B(x
B
,y
B< br>)
，则
3
uuuruuur
62k?9
x
A
?x
B
?,x
A
x
B
?,由OA?OB?2得x
A
x
B
?y
A
y
B
?2,

1? 3k
2
1?3k
2
而
x
A
x
B
? y
A
y
B
?x
A
x
B
?(kx
A
?2)(kx
B
?2)?(k
2
?1)x
A
xB
?2k(x
A
?x
B
)?2

?962k3 k
2
?7
?(k?1)?2k?2?
2
.

1?3 k
2
1?3k
2
3k?1
2
3k
2
?7? 3k
2
?9
1
2
?2,即?0,解此不等式得
于是
?k?3.
②
22
3k?13k?1
3
由①、②得
1
?k
2
?1.

3
33
)?(,1).

33
故k的取值范围为
( ?1,?
21．（1）由已知得
|f(?1)|?|a?b?c|?1
，
|f (1)|?|a?b?c|?1

∴
|2b|?|f(1)?f(?1)|?|f(1 )|?|f(?1)|?2
∴
|b|?1

b
则
f(x)< br>在
[?1,1]
为增函数，∴
f(?1)?f(0),f(0)??1
∴
|f(?1)|?1
??1
，
2a
b
与
|f(? 1)|?1
矛盾；若
??1
，则
f(x)
在
[?1,1]< br>为减函数，∴
f(1)?f(0)
与已知矛
2a
（2）若
?< br>?
?
f(0)??1
?
?2
?
b
?
2
盾。所以
?
从而由
?
f(1)?1
解得
?
b?0
. ∴
f(x)?2x?1

?[?1,1]，
2a
?
c??1
?
b
?
?
|f(? )|?1
2a
?
22．
39.
(xx重庆卷理第21题，满分12分)
22
解：（Ⅰ）设双曲线C
2的方程为
x
2
?
y
2
?1
，则
a2
?4?1?3,再由a
2
?b
2
?c
2
得b
2
?1.

ab
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故C
x
2
2
的方程为
3
?y
2
?1.

（II）将
y?kx?2代入
x
2
4
?y
2
?1得(1?4k
2
)x
2
?82kx?4?0.

由直线l与椭圆C
1
恒有两个不同的交点得
?2)
2
k< br>2
?16(1?4k
2
)?16(4k
2
?1)?0,
即
k
2
?
1
1
?(8
4
.

kx?2代入
x
2
将y?
3
?y
2
?1得 (1?3k
2
)x
2
?62kx?9?0
.
由直线l与双曲线C
2
恒有两个不同的交点A，B得
?
?
?
1?3k
2
?0,
1
?
?
??62k)
2
?36(1?3k
2
)?36(1?k
2
)?0.
即k< br>2
?且k
2
?1.

2
?(
3
设A (x则x
62k?9
A
,y
A
),B(x
B
,y< br>B
),
A
?x
B
?
由
u
OA
uur
?
u
OB
uur
1?3k
2
,x
A
?x
B
?
1?3k
2
?6得x
A
xB
?y
A
y
B
?6,而

x
A
x
B
?y
A
y
B
?x
A
x
B< br>?(kx
A
?2)(kx
B
?2)
?(k
2
?1)x
A
x
B
?2k(x
A
?x
B
)? 2

?(k
2
?1)?
?9
1?3 k
2
?2k?
62k
1?3k
2
?2

?
3k
2
?7
3k
2
?1
.
于是
3 k
2
?715k
2
3k?1
?6,即
?13
3k< br>2
?1
?0.
解此不等式得
k
2
?
1315
或k
2
?
1
2
3
.

由①、②、③得
1
4
?k
2
?
1
3或
13
15
?k
2
?1.

故k的取值范围为
(?1,?
133
15
)U(?
3
,?
1
2
)U(
1
2
,
3
3
)U(
13
15
,1)

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①
③

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