高中数学论文空间向量与立体几何论文

高中数学论文空间向量与立体几何论文
摘要：空间向量的引入，为解决三维空间中图形 的位置关系与度
量问题提供了一个十分有效的工具。进一步体会向量方法在研究几何
问题中的作 用。向量是一个重要的代数研究对象，引入向量运算，使
数学的运算对象发生了一个重大跳跃：从数、字 母与代数式到向量，
运算也从一元到多元。向量又是一个几何对象，本身既有方向，又有
长度； 是沟通代数与几何的一个桥梁，是一个重要的数学与物理模型，
这些也为进一步学习向量和研究向量奠定 了一定的基础。
在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常
规方法去解决 往往比较繁杂，而运用向量作形与数的转化，则能使过
程得到大大的简化.用向量法解决几何问题有着思 路清晰、过程简洁
的优点，往往会产生意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：
“学习的 最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大
脑疲劳，学习兴趣衰退.”这充分揭示了方法 求变的重要性，如果我
们能重视向量的教学，重视学生在学习向量过程中产生的障碍并且提
供相 应的教学对策，必然能引导学生拓展思路，减轻他们的学习负担。
一、空间向量在立体几何中的应用
例 如图所示，四面体ABCD中， E分别是BD、BC的中点，
CA=CB=CD=BD=2， AB=AD=
（1）求点E到平面ACD的距离。
分析：假设过点E的向量为平面ACD的法向量，欲求E点到平面
ACD的距离只需求

在投影即可.我们知道垂直于平面ACD，因而它垂直平面ACD所
有直线，不妨以为 一组基，则，因为AB=AD=DB-2， CA=CB=CD=BD=2，
所以，
根据法向量定义得
化简得到如下方程
在上述解题过程中我们没有建立直角坐标系， 而是任取空间三个
不共面向量作基底，很显然在立体几何所给的已知条件中这点很容易
具备的， 因而这个方法具有很普遍的适应性.还是这题条件，我们来
尝试另外一个重要问题。
例题2
1. 求点线距离、求线面夹角
问题1：求直线AM与平面AB1P所成的角. 解： 建系同上。由
问题2可知AM=（-2，3，4）， 平面AB1P的一个法向量n=（1，1，1）
又直线AM与平面AB1P所成的角为线AM与平面AB1P的法向量n
夹角的余角，故直线A M与平面AB1P所成的角为arcsin。
小结：本例属于线面成角问题，向量法求解的方法是：设 n为平
面α的一个法向量，AB是直线L的方向向量，则直线L与平面α所
成的角为arcsi n|
2.求面面所成的角（二面角）
问题2：求平面B1PQ与平面D1DCC1所成的锐二面角的大小. 解：
∵面D1DCC1 垂直与坐标平面yoz，故设面D1DCC1的一个法向量为1n=
（0，1，0），又设面B1PQ的 一个法向量为2n=（x，y，z）

∵PB1=（0，4，-4）， PQ=（4，2，2）
二、空间向量在立体几何中应用的教学注意事项
1.注重数学思想。 由于空间向量是平面向量的推广，空间向量及
其运算所涉及的内容与平面向量及其运算类似，因此，宜多 引导学生
与平面向量及其运算类比，与实数及其运算类比，从“数、量与运算”
发展的角度理解 向量。让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使
学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳。体验数 学在结构上的和
谐性与在推广过程中的问题，并如何解决问题
2.注意数与形的关联。向量的 特征之一是其本身具有数与形两重
含义。本章教学中，除了要关注前面多次提及的知识纵向联系之外，< br>还要特别关注知识的横向联系，从不同角度研究同一问题，认识与运
用向量及其运算中数与形的关 联。教学中应结合几何图形予以探讨，
特别要重视平行六面体的模型作用，引导学生借助图形理解它们， 注
意避免不联系几何意义的死记硬背。
3.根据特点选择方法。重视综合方法、向量方法、坐 标方法各自
特点的分析与归纳，综合方法以逻辑推理作为工具解决问题；向量方
法利用向量的概 念及其运算解决问题；坐标方法利用数及其运算来解
决问题，坐标方法常与向量运算结合起来使用，根据 它们的具体条件
和特点选择合适的方法。
三、结语
空间向量的引入，为解决三维空 间中图形的位置关系与度量问题
提供了一个十分有效的工具。进一步体会向量方法在研究几何问题中

的作用。向量是一个重要的代数研究对象，引入向量运算，使数学的
运算对象发生了 一个重大跳跃：从数、字母与代数式到向量，运算也
从一元到多元。向量又是一个几何对象，本身既有方 向，又有长度；
是沟通代数与几何的一个桥梁，是一个重要的数学与物理模型，这些
也为进一步 学习向量和研究向量奠定了一定的基础。
参考文献：
[1]章水云 新课标下高中数学“有效教学”的策略探究《中学数
学研究》 2006、8.