高中数学论文一些高考题目的思考以及相关模拟试题的探讨

一些高考题目的思考以及相关模拟试题的探讨
不等式的证明一直都是高中学习的难点， 困扰了许多学生。2009年广东卷高考21题的不
等式证明引起了我的兴趣，我在此将之溯源，使大家 通晓其来龙去脉，以便更好地处理不等
式证明。
【题目回放】已知曲线
C< br>n
:x
2
?2nx?y
2
?0(n?1,2,)
．从 点
P(?1,0)
向曲线
C
n
引斜率为
k
n
(k
n
?0)
的切线
l
n
，切点为
P
n
(x
n
,y
n
)
．
（1）求数列
{x
n
}与{y
n
}
的通项公式；
（2）证明：
x
1
?x
3
?x
5
??x
2n?1
?
1?x
n
x
?2sin
n

1?x
n
y
n
【简评】应该说，今年的高考压轴题相对去年要求讨 论的数列递推而言，在运算量上降
低了难度，但是它更考查学生的思维水平，这样的题目在今后的高考中 是值得提倡的！
【解答】（1）依题有
C
n
:(x?n)
2< br>?y
2
?n
2
,直线
l
n
:y?k
n
(x?1)
因为
l
n
与
C
n
相切,所以 有
k
n
k
n
?1
2
?
n
得到n?1
k
n
?
y
n
n
，所以
n
?

x?1
2n?1
2n?1
n
又
(x
n
?n)
2
?y
n
2
?n
2
,
所以
y
n
n
2
?(x
n
?n)
2
n
2

??
(x
n
?1)
2
2 n?1(x
n
?1)
2
得
[(n?1)x
n
?n]
2
?0

所以
x
n
?
2
nn，
y
n
?2n?1

n?1n?1
（2）要证
x
1
?x
3
?x
5
??x
2n?1
?< br>1?x
n
x
?2sin
n
即证：
1?x
n
y
n
11

?2sin
2n?1 2n?1
1
??
1
??
1
?

?
?
1?
??
1?
?
?
?
1?
?
?
?
2
??
4
??
2n
?
首先：因为
111?12133?1412n?12n
所以有
1????,1????,?
,1???
222?13444?152n2n2n?1
1
?
242n2?4?6?
?
?2n1

?
1
??
1
??
??
?
1?
??
1?
?
?
?
1?
?
???
?
?
2n?11?3?5???(2n?1) 2n?1
?
2
??
4
??
2n
?
35

1
??
1
??
1
?
所以
??
1?
??
1?
?
?
?
1?
?
?
?
2
??
4
??
2n
?
1

2n?1
3
其次，构造函数
f(x)?
sinx
(0?x ?
3
)
，有
f'(x)?
xcosx?sinx
，因为当< br>0?x?
3
时
2
x
x
3
由右图知道：
tanx?x

所以
f'(x)?0
有
f(x)?3sin
3
?
2

?3sin?
362
所以有
sinx
?
1
(0?x?
3
)
，令
x?
x
2
3
1

1
有
1
?2sin
2n?12n?1
2n?1
所以综上有
x
1
?x
3
?x
5
??x
2n?1
?
1?x
n
x
?2sin
n

1?x
n
y
n
【思考】对于本题最后一问来说，两步的不等式证明难度并不大，特别是左边的不等式，它是2008年福建省高考的原题，我在去年就曾对它进行溯源，现在再次引用如下：
已知函数f(x)=ln(1+x)－x
(1)求f(x)的单调区间;
(2)记 f(x)在区间[0,n](n∈N*)上的最小值为b
n
,令a
n
=ln( 1+n)－b
n
.
(i)如果对一切n,不等式a
n
n+2
－
c
恒成立,求实数c的取值范围;
2a
n+2
(ii)求证:
a
1
·a
3
·a
3
·…·a
2n
－
1
a
1
a
1
·a
3
+
+·…·+
<2a
n
+1－1. < br>a
2
a
2
·a
4
a
2
·a
4
·a
6
·…·a
2n
解析:(1)因为f(x)=ln(1+x)－x,
x
所以f’(x)=－,
x+1
令f’(x)>0有－1有x>0,
所以f(x)的单调递增区间为
(－1,0),单调递减区间为(0,+∞)
(2)由(1)知f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以b
n
=f(n) =ln(1+n)－n,所以a
n
=n(n∈N*).
c
(i) 不等式a
n
n+2
－等价于c<(n+2)－n(n+2),
2a
n+2
设g(x)=x+2－x(x+2),
2x(x+2)－(2x+2)
从而g’(x)=,因为4x
2
+8x－4x
2
－4－8x=－4<0,
2x(x+2)
所以2x(x+2)<2x+2,所以g’(x)<0,所以g(x)在[1 ,+∞])上单调递减,而
4
2+
n
2n+4
limg(n)=l im(n+2－n(n+2))=lim=lim=1,
n→∞n→∞n→∞
n+2+n(n+2)
n→∞
22
1++1+
nn
从而c≤1.

a
1
·a
3
·a
3
·…·a
2n
－
1
a
1
a
1
·a
3
(i i)在这里,我不想急于要证明+
+·…·+
<2a
n
+1－1成立,我a
2
a
2
·a
4
a
2
·a
4
·a
6
·…·a
2n
们先研究通项.
a
1
·a
3
·a
3
·…·a
2n
－
1
13< br>2n－1
=·
·…·
,
a
2
·a
4
·a
6
·…·a
2n
242n
在2008年高考前我曾经命制过一 个命题:
11111
求证:(1－)(1－)(1－
)·…·(1－
)<.试想 2462n
2n+1
2n－12n－1
111113131
(1－)(1 －)(1－
)·…·(1－
)=·
·…·
,不就·
·…·
< 成立了吗，所以
2462n242n242n
2n+1
我们就探究一下上面这个命题的证明:
(方法一)标准答案所提供的方法:
2n－1
2
1·
(2n－1) (2n+1)
1
2n－1
1333·51131
(·
·…·
)=
2
·
2
·…··<,从而·
·…·
<
2
242n24(2n)2n+12n+1242n
2n+1
(方法二)运用分式放 缩:
11+1233+14
因为<=,<=
,…,
22+1344+15
2n－12n－1+1
2n
<=,
2n2n+12n+1
2n－1
2
113
相乘得: (·
·…·
)<,
242n2n+1
2n－1
131
从而·
·…·
<
242n
2n+1
(方法三)换元法:
2n－1
24132n
设A=·
·…·
,B=·
· …·
,因为A2
242n352n+1
2n －1
2
1
2n－1
13131
故(·
·…·
)<,从而·
·…·
<.
242n2n+1242n
2n+1
1
再由(i)知<2n+1－2n－1,
2n+1
从而
a
1
·a
3
·a
3
·…·a
2n
－
1
a
1
a
1
·a
3
+
+·…·+
<2a
n
+1－1.
a
2a
2
·a
4
a
2
·a
4
·a
6
·…·a
2n
2n－1
131
回头看看这道题目,它的主要步骤就在于证明·
·…·
<,
242n
2n+1
那么这个命题能否溯源呢？在2008年高考前一天,我恰好针对1985年的高考题改编出
了这个命题
11111
(1－)(1－)(1－
)·…·(1－
)<,现在引源：
2462n
2n+1
1985年上海高考试题
求证
111
(1?1)(1?)(1?)
?
(1?)?2n?1.
解析:
352n?1

2462n
3572n?1
1352n?1??
?
?
??
??
??
?
?
(2n?
1)

1352n?1
2462n
2462n
?< br>(
2
?
4
?
6
?
2n
)
2
?2n?1
(1?1)(1?
1
)(1?
1
)
?< br>(1?
1
)?2n?1.

1352n?1
352n?1
1998年全国高考文科试题
证明
111
(1?1)(1?)(1?)
?
(1?)?
3
3n?1.
473n?2
解析: 运用两次次分式放缩:
2583n?13693n

???
?
??.??
?
??
1473n?22583n?1
(加1)
(加2)
2583n?147103n?1

??????.?????
1473n?23693n
相乘,可以得到:


3n?1
?
47103n?11473n?2
?
258
????
?
??(3n?1)
?
???
?
?
?
?.??
?
??
3n?2
?
2583n?12 583n?1
?
147
473n?2
2
所以有
(1?1)( 1?
1
)(1?
1
)
?
(1?
1
)?3
3n?1.

至于不等式证明则有题如下：
sinx
π
(2008年自编题)已知函数f(x)= (0x2
(1)求证:
f(
?
?
??
)?f(
?
?
?
)(0?
?
?
?
?)
;
22
(2)求证:
f
3
(x)x
2
?15f(x)?18?0
;
(3)求证:
5
?
?f(20
?
)?7
?
(其中
5
?
和7
?
使用的是角度制).
解析：（1）要证：
?
?
??
f()?f(
?
?
?
)(0?
?
?
?
?)

22
只要证明：f(x)在
(0,)
上单调递减
2
f'(x)?
xcosx?sinx
，构造单位圆如图所示：
x
2
?

y

P

A


x
O
B
T




由扇形OAB面积小于直角三角形POB面积有
tanx?x
所以
f'(x)?0

有
f(
?
?
??
)?f(
?
?
?
)(0?
?
?
??)

22
32
sin
3
x15sinx
（2 ）要证明
f(x)x?15f(x)?18?0
即证明：
??18?0

xx
由（1）构造的单位圆，由直角三角形AOT的面积小于扇形OAB的
x
3
15x
2
面积有
sinx?x
，所以只要证明
??18 ?0
，即
x?3

xx
这是显然成立的，所以
f
3
(x)x
2
?15f(x)?18?0

（3）要证明
5
?
?f(20
?
)?7
?
，只要证明
17
?sin20
?
?

420
因为
s in60
?
?sin3?20
?
??4sin
3
20
?
?3sin20
?

3
设
sin20
?
?x
0
，
g(x)?4x
3
?3x?
，则
x0
是
2
g(x)?0
的根

g'(x)?3(2x?1)(2x?1)
因为
g(
710003?1757
)??0

202000
1< br>?
17
?
g()?0
,所以
x
0
?
?
,
?
即
4
?
420
?
17
?sin20
?
?

420
所以有
5
?
?f(20
?
)?7
?

下面再展示一些与本题具有类似思想的小题：
(2009年福建省新课程高考模拟题)首项系 数为1的二次函数y=f(x)在x=1处的切线与x轴平
行,则
1212
A．f(arcsin)>f(arcsin) B．f(arcsin)=f(arcsin)
33
33
1212
C．f(arcsin)33
33
解析：容易知道y=f(x)在
(??,1)
上单调递减
又y=arcsinx在[－1，1]上递增,
21
所以arcsin> arcsin;现在只要判
3
3
断arcsin
因为
2
与1的大小关系就可以了.
3
22
,
?
32
22
?
所以arcsi n
?arcsin??1
,
324
12
所以f(arcsin)>f(arcsin),选择A
33

11
(2008年福建省四月质量检查)设a=sin1,c=5sin ,b=3sin,判断a、b、c的大小关系为
53
A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c
sinx
π
解析：联想到研究函数f(x)= (0x2
借助图象：









y
1
O
?
2
x
π
借 助斜率可以知道f(x) 在(0,)上单调递减;
2
11
从而f()>f()>f(1),选c>b>a
53
选择C
【结束语】不等式的证明重在思考和积累，笔者自己的经验而言，数学再于融会贯通，
只要 恰当地使用方法，数学的光彩遍地都是！