2002高中数学联赛试题-怎样在二十天内迅速提高高中数学
椭圆焦点三角形面积公式的应用
x
2
y
2
定理
在椭圆
2
?
2
?1
（
a
＞
b
＞0
）中，焦点分别为
F
1
、
F
2
，点P是椭圆上任意一点，<
br>ab
?F
1
PF
2
?
?
，则
S?F
1
PF
2
?b
2
tan
?
2.
y
P
P
证明：记
|PF
1
|?
r
1
,|PF
2
|?r
2
，由椭圆的第一定义得
r
1
?r
2
?2a,?(r
1
?r
2
)<
br>2
?4a
2
.
在△
F
1
PF2
中，由余弦定理得：
r
1
?r
2
?2r
1<
br>r
2
cos
?
?(2c)
2
.
配
方得：
(r
1
?r
2
)?2r
1
r
2?2r
1
r
2
cos
?
?4c.
即
4a?2r
1
r
2
(1?cos
?
)?4c.
22
22
22
F
1
O
F
2
x
2(a
2
?c
2
)2b
2
?r
1
r
2
??.
1?cos
?
1?cos
?
由任意三角形的面积公式得：
S
?F
1
PF
2
?
1sin
?
r
1
r
2
sin
?
?b
2
??b
2
?
21?cos
?
2sin
?
22
?b
2
?tan
?
.
?
2
2cos
2
2
cos
?
?S
?F
1
PF
2
?b
2
ta
n
?
2
.
y
2
x
2
同理可证，
在椭圆
2
?
2
?1
（
a
＞
b
＞0
）中，公式仍然成立.
ab
典题妙解
x
2
y
2
??1
上的一点，
F
1
、
F
2
是其焦点，且
?F
1
PF
2
?60?
，求 例1
若P是椭圆
10064
△
F
1
PF
2
的面积. <
br>x
2
y
2
??1
中，
a?10,b?8,c?6,<
br>而
?
?60?.
记
|PF
1
|?r
1
,|PF
2
|?r
2
.
解法一：在椭圆
10064
?
点P在椭圆上，
?
由椭圆的第一定义
得：
r
1
?r
2
?2a?20.
在△
F
1
PF
2
中，由余弦定理得：
r
1
?r
2
?2r
1
r
2
cos
?
?(2c)
2.
22
配方，得：
(r
1
?r
2
)
2
?3r
1
r
2
?144.
?400?3r
1
r
2
?144.
从而
r
1<
br>r
2
?
S
?F
1
PF
2
?
256
.
3
112563643
r
1
r
2
sin
?
????.
22323
x
2
y
2
??1
中，
b
2
?64
，而
?
?60?.
解法二：在椭圆
10064
?S
?F
1
PF
2
?b
2
tan
?
2
?64tan30??
643
.
3
解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！
x
2
y
2
??1
上的点，
F
1
、
F
2
分别是椭圆的左、右焦点，若例2 已知P是椭圆
259
PF
1
?PF
2
|PF
1
|?|PF
2
|
?
1<
br>，则△
F
1
PF
2
的面积为（ ）
2
A.
33
B.
23
C.
3
D.
3
3
解：设
?F
1
PF
2
?
?
，则
cos?
?
PF
1
?PF
2
|PF
1
|?|
PF
2
|
?
1
，
?
?
?60?.
2
?S
?F
1
PF
2
?b
2
ta
n
故选答案A.
?
2
?9tan30??33.
x2
y
2
??1
的左、右焦点分别是
F
1
、F
2
，点P在椭圆上. 若P、
F
1
、例3（04湖北）已知椭
圆
169
F
2
是一个直角三角形的三个顶点，则点P到
x
轴
的距离为（ ）
A.
999
9797
B. C. D. 或
544
77
b
2
9
?
；若P是直角顶点，设解：若
F1
或
F
2
是直角顶点，则点P到
x
轴的距离为半通径的
长
a4
2
点P到
x
轴的距离为h，则
S
?F
1
PF
2
?btan
?
2
?9tan45??9
，又
S
?F
1
PF
2
?
1
?(2c)?h
?7h,
2
?7h?9
，
h?
97
.
故答案选D.
7
金指点睛
y
2
x
2
??1上一点P与椭圆两个焦点
F
1
、
F
2
的连线互相垂直，
1. 椭圆则△
F
1
PF
2
的面积为（ ）
4924
A. 20 B. 22
C. 28 D. 24
x
2
?y
2<
br>?1
的左右焦点为
F
1
、
F
2
，2. 椭圆
P是椭圆上一点，当△
F
1
PF
2
的面积为1时，
PF1
?PF
2
4
的值为（ ）
A. 0
B. 1 C. 3 D.
6
x
2
?y
2
?1
的左右焦点为
F
1<
br>、
F
2
，3. 椭圆 P是椭圆上一点，当△
F
1
P
F
2
的面积最大时，
PF
1
?PF
2
4
的
值为（ ）
A. 0 B. 2
C. 4 D.
?2
x
22
4．已知椭圆
2
?y?1
（
a
＞1）的两个焦点为<
br>F
1
、
F
2
，P为椭圆上一点，且
?F
1<
br>PF
2
?60?
，
a
则
|PF
1
|
?|PF
2
|
的值为（ ）
A．1
B．
1
3
C．
4
3
D．
2
3
5. 已知椭圆的中心在原点，
对称轴为坐标轴，
F
1
、
F
2
为焦点，点P在椭圆上，直线
PF
2
倾
1
与
PF
斜角的差为
90?，△
F
1
PF
2
的面积是20，离心率为
5
，
求椭圆的标准方程.
3
1
??
，△
F
1
PF
2
2
|PF
1
|?|PF
2
|
PF
1
?
PF
2
F
1
、
F
2
为左右焦点，6．已知椭圆的中
心在原点，P为椭圆上一点，且
的面积是
3
，准线方程为
x??
43
，求椭圆的标准方程.
3
参考答案
2
2
1. 解：
?F
1
PF
2
?
?
?90?,b?24
，
?
S
?F
1
PF
2
?btan
?
2
?24tan45??24
.
故答案选D.
2
2.
解：设
?F
1
PF
2
?
?
，
?
S
?F
1
PF
2
?btan
?
2
?tan
?
2
?1
，
?
?
2
?45?,<
br>?
?90?
，
PF
1
?PF
2
?0
.
故答案选A.
2
3. 解：
a?2,b?1,c?3
，设?F
1
PF
2
?
?
，
?
S
?F
1
PF
2
?btan
?
2
?tan<
br>?
2
，
?
当△
F
1
PF<
br>2
的面积最大时，
?
为最大，这时点P为椭圆短轴的端点，
?
?120?
，
2
?
PF???2
.
1
?PF<
br>2
?|PF
1
|?|PF
2
|cos
?
?a
cos120
故答案选D.
4． 解：
?F
1
PF
2?
?
?60?
，
b?1
，
S
?F
1<
br>PF
2
?b
2
tan
?
2
?tan30??
3
，
3
又
?
S
?F
1
PF2
?
13
|PF
1
|?|PF
2
|sin?
?|PF
1
|?|PF
2
|
，
24
?
4
33
，从而
|PF
1
|?|PF
2
|?
.
|PF
1
|?|PF
2
|?
3
4
3
故答案选C.
2
5. 解：设
?F
1
PF
2<
br>?
?
，则
?
?90?
.
?
S<
br>?F
1
PF
2
?btan
?
2
?b
2
tan45??b
2
?20
，
ca
2
?b
2
5
又
?
e??
，
?
aa3
b
2
5
205
?
1?
2
?
，即
1?
2
?
.
9
9
a
a
2
解得：
a?45
.
x
2
y
2
y
2
x
2
??1
或??1
.
?
所求椭圆的标准方程为
45204520
6．解：
设
?F
1
PF
2
?
?
，
?
cos
?
?
1
??,
?
?120?
.
2
|PF
1
|?|PF
2
|
PF
1
?PF
2
S
?F
1
PF
2
?b
2
tan
?
2
?b
2
tan60??3b
2
?3
，
?
b?1
.
c
2
?b
2
c
2
?
11433
a
2
43
又
?
，即.
??c???3
?
?
ccc33
c3
?
c?3
或
c?
3<
br>.
3
22
x
2
?y
2
?1
； 当
c?3
时，
a?b?c?2
，这时椭圆的标准方程为
4
x
2
23
3
22
当
c?
时，
a
?b?c?
，这时椭圆的标准方程为
?y
2
?1
；
43
3
3
但是，此时点P为椭圆短轴的端点时，
?
为最大，
?
?60?
，不合题意.
x
2
?y
2
?1
.
故所求的椭圆的标准方程为
4