高中数学论文：一个函数图象的自对称与两个函数图象的互对称

一个函数图象的自对称与两个函数图象的互对称


一个 函数图象的自对称与两个函数图象的互对称是函数中比较容易搞
错的知识点之一，而在高考或许多模拟题 中对这块内容比较看重，不同的题
目时有出现.希望通过本文能给读者在这类问题时一点启示.
一、一个函数图象的自身成轴对称
若函数
y?f(x)
满足
f(a ?x)?f(a?x)
，则函数
y?f(x)
的图象关于
直线
x?a
对称.
证明：设点
P
(x,f(x))
是
y?f(x)< br>图象上任意一点，则它关于直线
x?a
的对称点
Q
坐标为
(2a?x,f(x))
，
?
f(2a?x)?f[a?(a?x)]?f[a?(a?x)]?f(x)
， < br>?
点
Q
(2a?x,f(x))
的坐标满足方程
y?f(x)
，即点
Q
(2a?x,f(x))
也
在函数
y?f(x)< br>的图象上，
?
函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称.
特例 若函数
y?f(x)
满足
f(?x)?f(x)
，则函数的 图象关于
y
轴对
称.
实例 1.已知函数
y?sin2x?ac os2x,(x?R)
的图象关于直线
x??
?
8
对称，求实数a
的值.
解：
?
函数的图象关于直线
x??
?
8
对称， < br>?
f(?
?
8
?x)?f(?
?
8
?x)< br>，
?
sin2(?
?
sin(?
?
8
?x )?acos2(?
?
8
?x)?sin2(?
?
8
?x) ?acos2(?
?
8
?x)
，
?
4
?2x)? acos(?
?
4
?2x)?sin(?
?
4
?2x)?a cos(?
?
4
?2x)
，
??
2
cos2x?
2
2
?sin2x?
2
222
sin2x?acos2x? asin2x
222
222
cos2x?acos2x?asin2x
，
222
?
2(a?1)sin2x?0

1

?
a??1

2.探求函数
f(x)?a x
4
?bx
3
?cx
2
?dx?e,(a,b,c,d,e ?R且a?0)
的
对称轴.
解：假如函数的对称轴为直线
x?h
，
则由
f(h?x)?f(h?x)
知：
a(h?x)
4
? b(h?x)
3
?c(h?x)
2
?d(h?x)?e
?a(h?x )
4
?b(h?x)
3
?c(h?x)
2
?d(h?x)? e,

化简得：
(4ah?b)x
3
?(4ah
3
?3bh
2
?2ch?d)x?0,


?
4ah?b?0
使上式恒成立，则
?

32
4a h?3bh?2ch?d?0,
?
?h??
b
且b
3
?4a bc?8a
2
d?0,

4a
b
，
4a
即 当系数满足
b
3
?4abc?8a
2
d?0
时，函数
f(x)
有对称轴
x??
当系数不满足
b
3
?4abc? 8a
2
d?0
时，函数
f(x)
无对称轴.
二、一个函数图象的自身成中心对称
若函数
y?f(x)
满足
f( a?x)?f(a?x)?2b
，则函数
y?f(x)
的图象
关于点
(a,b)
对称.
证明：设点
P
(x,f(x))
是
y? f(x)
图象上任意一点，则它关于点
(a,b)
的
对称点
Q
坐标为
(2a?x,2b?f(x))
，
?
f(2a?x)?f[a? (a?x)]?2b?f[a?(a?x)]?2b?f(x)
，
?
点
Q< br>(2a?x,2b?f(x))
也在函数
y?f(x)
的图象上，
?
函数
y?f(x)
的图象关于点
(a,b)
对称.
特例 若
f(?x)?f(x)?0
，则函数的图象关于原点对称.
实例 1.已知函数
y?log
2
试确定函数的表达式.
bx?1
的图象关于点（1，1）成中心对称，
ax?2
2

解：由
log
2
b(1?x)?1b(1?x)? 1
?log
2
?2,

a(1?x)?2a(1?x)?2
?
?bx?b?1bx?b?1
??4,

?ax?a?2ax?a?2?
?b
2
x
2
?b
2
?2b?1?4(?a< br>2
x
2
?a
2
?4a?4),

?
b
2
?4a
2
,
?
?
2

2b?2b?1?4(a?4a?4),
?
5
?
3
?
a? ?a??,
??
4
或
4

?
?
5
?
3
?
b??
?
b?,
2
?
2
?
?
函数的表达式为
y?log
2
10x?46x?2
或y?log
2
.

5x?8?3x?8
2.求三次函数
y?ax
3
?bx
2
?cx?d
(a?0)
图象的对称中心 .
解：设对称中心为点
(h,k)
,
由
f(h?x)?f(h?x)?2k
,得
a(h?x)
3
?b(h?x)
2
?c(h?x)?d?a(h?x)
3
?b(h?x)< br>2
?c(h?x)?d?2k,
化简得：
(3ah?b)x
2
?ah
3
?bh
2
?ch?d?k,

要使上式恒成立，
?
ah
3
?bh
2
?ch?d ?k,
?
?

?
3ah?b?0,
b
?
h ??
?
?
3a
?
?

2b
3
bc b
?
k???d?f(?),
2
?
3a3a
27a
?
?
三次函数
y?ax
3
?bx
2
?cx?d(a?0)
图象的对称中心为
b2b
3
bc
(?,??d).
3a
27a
2
3a
三、两个函数的图象成轴对称
3

已知函数
y?f(x)
，则函数
y? f(x?a)
与函数
y?f(a?x)
的图象关
于直线
x?a
对称.
证明：在函数
y?f(x?a)
的图象上任取一点
P
(x ,y)
，则
y?f(x?a)
，
?
P
(x,y)
关于直线
x?a
的对称点为
Q
(2a?x,y)
，
?
f[[a?(2a?x)]?f(x?a)?y
，
?
点
Q
(2a?x,y)
在函数
y?f(a?x)
的图象上，
?函数
y?f(x?a)
与函数
y?f(a?x)
的图象关于直线
x?a
对称.
特例 1.函数
y?f(x)
与
y?f(?x)
的图象关于y轴对称；
2.函数
y?f(a?x)
与函数
y?f(a?x)
的图象关于y轴对称.
实例 1.试求函数
y?sinx
与
y?cosx
的一条对称轴.
解：取
f(x)??sin(x?
?
4
)
，
则< br>y?sinx??sin(?x?
??
44
)?f(
?
4?x),
?

y?cosx??sin(x?
?
2
)? ?sin(x?
?
4
?
4
)?f(x?
?
4
),

.

?
函数
y?sinx
与
y? cosx
的一条对称轴直线
x?
同理直线
x?k
?
?
?
4
?
4
,(k?Z)
均是它们的对称轴.
一般地，两 函数
y?Asin(
?
x?
?
1
)
与
y? Asin(
?
x?
?
2
)
（
A
>0，< br>?
>0）
的对称轴为直线
x?
?
?
1
??
2
?,(k?Z)
.
?
2
?
2
?
2.求与函数
y?lg(1?x)
的图象关于直线
x?1
成轴对称的 函数的表达
k
?
?
解：取
f(x)?lg(2?x),

则
y?lg(1?x)?lg(2?x?1)?f(x?1),

式. ?y?f(x?1)
关于直线
x?1
成轴对称的函数为
y?f(1?x) ,

?y?f(1?x)?lg(2?1?x)?lg(3?x),
即为所求函数.
四、两个函数的图象成中心对称
已知函数
y?f(x)
，则函数
y ?f(x?a)?b
与函数
y??f(a?x)?b
的
图象关于点
( a,b)
对称.
4

证明：在函数
y?f(x ?a)?b
的图象上任取一点
P
(x,y)
，则
y?f(x?a)? b
，
?
P
(x,y)
关于点
(a,b)
的对称点 为
Q
(2a?x,2b?y)
，
?
?f[[a?(2a?x)]?b??f(x?a)?b?b?y?b?2b?y
，
?
点
Q
(2a?x,2b?y)
在函数
y??f(a?x) ?b
的图象上，
?
函数
y?f(x?a)?b
与函数
y? ?f(a?x)?b
的图象关于点
(a,b)
对
称.
特例 函数
y?f(x)
与
y??f(?x)
的图象关于原点对称.
实例 1.试求函数
y?sinx
与
y?cosx
的一个对称中心.
解：取
f(x)?sin(x?
?
4
),

?y? sinx?sin(x?
y?cosx??sin(?
?
4
?
?4
)?f(x?
?
4
),

?
2
?x )??sin(?
?
4
?x?
?
4
)??f(?
?
4
?x),

?
函数
y?sinx
与
y? cosx
关于点
(?
同理直点
(k
?
?
?
4
,0)
对称.
?
4
,0),(k?Z)
均是它们的对称点.
一般地，两函数y?Asin(
?
x?
?
1
)
与
y?Asin (
?
x?
?
2
)
（
A
>0，
?
>0）
的对称中心为点
(
k
?
?
?
?1
?
?
2
,0),(k?Z)
.
2
?
2.求与函数
y?lg(1?x)
的图象关于点（2，1）成中心对称的函数的表
达 式.
解：取
f(x)?lg
3?x
,

10
3?x?2
?y?lg(1?x)?lg?1?f(x?2)?1,
< br>10
?y?f(x?2)?1
关于点（2，1）对称函数为
y??f(2?x) ?1
,
?y??lg
3?2?x
?1??lg(5?x)?2
,即为所求函数.
10
5