高中数学函数图像变换归纳论文

高中数学函数图像变换归纳论文
摘 要：对《函数》、《三角函数》、《平面向量》的“图像 变换”
的异同进行归纳剖析，形成这一内容的知识体系与教学注意。
关键词：图像变换 平移变换 伸缩变换 对称变换
从《高中数学考试大纲》、《考试说明》以及高考命题趋势可以
知道，对“函数的图形变换”这一知识点的考察，在历年来高考试
题中频频出现。而函数图像有 关的试题，包含有“要从图中（或列
表中）读取各种信息；注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换；< br>注意函数的对称性、函数值的变化趋势；运用数形结合思想来解题
的能力”等等，各个方面都可以 设计考题。
本文仅从“图像变换”这一个角度，谈谈自己的点滴教学心
得。
在对“图像变换”的最初教学中，每每感到已经讲解得明明白
白、清清楚楚的知识点，总有 部分学生常在实际解题中出错或混淆，
是学生自身的知识迁移能力差？还是知识掌握的不牢固？或者根< br>本就是教学失败？对此，我进行了深深的思考。
高中的知识在涉及到“图象变换”的地方 主要有以下章节《函
数》、《三角函数》、《平面向量》，并且每次的思考角度与背景都有
不同 。
一、在《函数》这一部分中主要是从图像变换前后的差异入手，
从而归纳出函数图像 变换的规律，并加以记忆。
函数图像变换的几个重要性质：

①平移变换：
函数y=fx+a（a>0）的图像是把函数y=fx的图像沿x轴向左平
移a个单位得到的；
函数y=fx+a（（a<0）的图像是把函数y=fx的图像沿x轴向右
平移a个单位得到的；
函数y=fx+b（b>0）的图像是把函数y=fx助图像沿y轴向上平
移b个单位得到的；
函数y=fx+b（b<0）的图像是把函数y=fx助图像沿y轴向下平
移b个单位得到的.
②伸缩变换：
函数y=fωx（ω>0）的图像是把函数y=fx的图像沿x轴伸缩
为原来的1ω得到的；
函数y=Afx（A>0）的图像是把函数y=fx的图像沿y轴伸缩为
原来的A倍得到的.
③对称变换：
由函数y=f（x）图像作关于y轴的对称图像从而得到函数y=f
（-x）的图像。
由函数y=f（x）图像作关于x轴的对称图像从而得到函数y=-f
（x）的图像。
由函数y=f（x）图像作关于原点（O，0）的对称图像从而得到
函数y=-f（-x）的图像。
由函数y=f（x）图像去除y轴左边部分，保留y轴右边部分同

时作其关于y轴对称图像从而可以得到函数y=f（|x|）的图像。
由函数y=f（ x）图像保留x轴上方的图像不变，同时作出x轴
下方部分关于x轴的对称图像，（或者认为是将下方图 像关于x轴
翻折上去）从而可以得到函数y=|f（x）|的图像。
由函数y=fa+x图像作关于直线x=a对称的图像可以得到函数
y=fa-x的图像.
由函数y=f（x）图像关于直线y=x作出对称图像可以得到y=f-1
（x）。
说明：以上变换均在定义域允许的范围下或存在有意义的条件
下进行。
学生在记忆知识 点时可以依靠口诀：“左加右减，上加下减”
记平移变换；“纵乘横除”记伸缩变换；“奇偶相关，正负 变号”
记对称变换。
二、《三角函数》中的图像变换主要针对三角函数这一类型特别给出，作为函数的一种，其变化规律也应该符合以上结论。
三、《平面向量》中的图像平移变换，则是侧重对函数图像变
换中的平移变换进行学习与研究。
点F（x，y）按照向量=h，k平移后得到点F′（x′，y′），
其平移公式为x′= x+hy′=y+k
同样可以推导出：函数y=f（x）按照向量=h，k平移后得到函
数y-k=f（x-h）的图像。如果与前面平移规律相比较，可以对应为：
当h>0，k>0时，由函数y=f（x）向右平移h个单位，再向上

平移k个单位得到函数y-k=f（x-h）的图像。
当h>0，k<0时，由函数y =f（x）向右平移h个单位，再向下
平移k个单位得到函数y-k=f（x-h）的图像。
当h<0，k>0时，由函数y=f（x）向左平移h个单位，再向上
平移k个单位得到函 数y-k=f（x-h）的图像。
当h<0，k<0时，由函数y=f（x）向左平移h个单位 ，再向下
平移k个单位得到函数y-k=f（x-h）的图像。
由以上知识归纳，可以有三种不同的题型设计方法：
（1）已知平移前的函数解析式与平移向量 ，求平移后的函数
解析式；（2）已知平移前后的函数解析式，求平移向量；（3）已知
平移向 量与平移后的函数解析式，求平移前的函数解析式或解析式
中的字母的值或取值范围。
由于以上诸多的一般结论记忆困难，可以将平移向量在直角坐
标系中作出图像，再进行对应，可以解决在 叙述中的相互转换。
例题解析：
例1、设f（x）=2-x，g（x）的图像 与f（x）的图像关于直线
y=x对称，h（x）的图像由g（x）的图像向右平移1个单位得到，则h（x）为 。（答： h（x）=-log2（x-1））
分析：依据图象变换的顺序 ，首先得到g（x）=-log2x，再根
据“左加右减”得h（x）=-log2（x-1）。
例2、如若函数y=f（2x-1）是偶函数，则函数y=f（2x）的对
称轴方程是 。（答：x=-12）.

分析：函数y=f（2x）的图像可以看成由函数y=f（2x-1）的
图像向左平移a= h，k得到。所以图像的对称轴也由y轴向左平移
了12，所以函数y=f（2x）的对称轴为x=-1 2。
例3、把函数y=log2（2x-3）+4的图像按向量a平移后得到函
数y= log24x的图像，则a= ； （答：a=（-32，-3）） 评析：
这就是属于“已知平移 前后的函数解析式，求平移向量”这种类型
的题。初看，2x变换为4x应该有伸缩变换，单纯平移变换 似乎无
解，其实这里我们应该注意到log2（4x）=1+log22x，即说表面上
的伸缩 变换在对数中，可以由纵向的平移变换替换的.
分析：因为log24x=1+log22x， 所以，只需按照向量a=（-32，
-3）平移，就可以将y=log2（2x-3）+4的图象变换为 y=log24x的
图象。
例4、已知f（x）是R上的增函数，令F（x）=f（1 +x）-f（1-x），
则F（x）在R上的单调性是（ ）（答：A）
（A）增函数 （B）减函数 （C）先增后减 （D）先减后增
解法一：f（1-x）是由f（x）左右对称翻转后再右移1个单位
得到，
∴f（1-x）是减函数，则-f（1-x）是增函数，f（1+x）是由f
（x）右移1个单位得到，
仍然是增函数，
∴f（1+x）-f（1-x）是实数集上的增函数；
解法二：特殊化法，如f（x）=2x，则可以更快捷地得到结论

例5、要得到y=cos2（π4-x）的图像，只需将函数y=sin（2x-π3）
的图像（ ）（答：C）
（A）向左平移π3个单位 （B）向右平移π3个单位 （C）
向左平移π6个单位 （D）向右平移π6个单位
分析：注意到y=cos2（π4-x）=cos（π2-2x）=sin2x
因为y=sin 2x向右平移π6个单位可得到y=sin2（x-π6），即
y=sin（2x-π3）
故y=sin（2x-π3）向左移π6可移回得y=sin2x，也即y=cos2
（π4-x）.
通过对以上知识的归纳与深刻理解，学生对“图像变换”已经
感到心中有数。因为只有理解 了“图像变换”的本质，掌握了在不
同背景下的变换却拥有同一变换原理，才可以从容面对变化万千的< br>各种“图像变换”。
附练习：
（1）、若f（x+199）=4x2+4x+3，则函数f（x）的最小值为__
__。（答：2）；
（2）、要得到y=lg（3-x）的图像，只需作y=lgx关于_____
轴对称的图像，再向__ __平移3个单位而得到。（答：y；右）；
（3）、函数f（x）=x?lg（x+2）-1的图像与x轴的交点个数
有_ ___个。（答：2）
（4）、将函数y=bx+a+a的图像向右平移2个单位后又向下平
移2个单位，所得图 像如果与原图象关于直线y=x对称，那么（ ）

（答：C）
（A）a=-1，b≠0 （B）a=-1，b∈R （C）a=1，b≠0 （D）a=0，
b∈R
（5）、将函数y=f（x）的图像上 所有点的横坐标变为原来的
13（纵坐标不变），再将此图像沿x轴方向向左平移2个单位，所
得图像对应的函数为 （答：f（3x+6））；
参考文献：
[1] 《考试说明》、《教学大纲》等。